Đề kiểm tra Đường tiệm cận của đồ thị hàm số lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \,y = + \infty ,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \,y = - \infty$.

Suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x = 2$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{2}{3}} \right\}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^ + }} \,y = + \infty ,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^ - }} \,y = - \infty$.

Suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x = - \frac{2}{3}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;2} \right\}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \,y = + \infty ,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \,y = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \,y = + \infty ,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \,y = - \infty$.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là các đường thẳng $x = 2$ và $x = - 2$.

Tập xác định :$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \,y = + \infty ,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,y = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 - \infty } \,y = 2,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \,y = 2$

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x = 1$ và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng $y = 2$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 - 2x}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{3}{x} - 2}}{{1 + \frac{1}{x}}} = - 2$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3 - 2x}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{3}{x} - 2}}{{1 + \frac{1}{x}}} = - 2$.

Nên đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là $y = 2.$

Đáp án A: Xét hàm số $y = \frac{x}{{1 + \sqrt x }}$ có tập xác định $D = \left[ {0; + \infty } \right)$.

Ta có$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{1 + \sqrt x }} = + \infty$. Do đó đồ thị hàm số $y = \frac{x}{{1 + \sqrt x }}$ không có tiệm cận ngang.

Đáp án B: Xét hàm số $y = {x^3} - 3x$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Ta có$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} - 3x} \right) = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} - 3x} \right) = - \infty$. Do đó đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x$ không có tiệm cận ngang.

Đáp án C: Xét hàm số $y = {\log _2}x$ có tập xác định $D = \left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\log _2}x = + \infty$. Do đó đồ thị hàm số $y = {\log _2}x$ không có tiệm cận ngang.

Đáp án D: Xét hàm số $y = x + \sqrt {{x^2} + 4}$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} + 4} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 4}}{{x - \sqrt {{x^2} + 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \frac{4}{x}}}{{1 + \sqrt {1 + \frac{4}{{{x^2}}}} }} = 0.$

Do đó đồ thị hàm số $y = x + \sqrt {{x^2} + 4}$ có đường tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 0$.

Hàm số đa thức bậc hai và ba không có tiệm cận nên loại phương án A và B.

Hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ chỉ có tiệm cận đứng và ngang nên loại phương án C.

Ta có: $y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = x + \frac{1}{{x - 1}}$.

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0.$$

Vậy hàm số $y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}$ có tiệm cận xiên $y = x$.

Ta có $y = \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x - 1}} = x + 2 - \frac{1}{{x - 1}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0$.

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: $y = x + 2$.

Ta có $y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right) = 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right) = 0$.

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = - x + 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = + \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - \infty$.

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 2$.

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là $\left( {2;\, - 1} \right)$.

Ta có $y = \frac{{{x^2} + 4x + 16}}{x} = x + 4 + \frac{{16}}{x}$.

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 4} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{16}}{x}} \right) = 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 4} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{16}}{x}} \right) = 0$$

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên: $y = x + 4$.

Tọa độ giao điểm của đường tiệm cận xiên với hai trục tọa độ là : $A\left( {0;\,4} \right),\,B\left( { - 4;\,0} \right)$.

Diện tích tam giác $OAB$là $S = \frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}4.4 = 8$.

a) Đúng

Với là $m = - 1$ ta có: $y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = 2$.

b) Sai

Với là $m = 0$ ta có: $y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}} \Leftrightarrow y = x + 3 + \frac{2}{{x - 1}}$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên $y = x + 3$.

c) Sai

Với $m = 2$, ta có: $y = \frac{{3{x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}} \Leftrightarrow y = 3x + 5 + \frac{4}{{x - 1}}$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên $y = 3x + 5$.

Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tại 2 điểm $A\left( {0\,;\,5} \right)$ , $B\left( { - \frac{5}{3}\,;\,0} \right)$.

Diện tích tam giác $OAB$ là ${S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.5.\frac{5}{3} = \frac{{25}}{6}$.

d) Đúng

Với $m = 1$ ta có $y = \frac{{2{x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}}\,\,\left( C \right)$, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là ${d_1}:x = 1$, tiệm cận xiên là ${d_2}:y = 2x + 4$.

Gọi $M\left( {x;\frac{{2{x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}}} \right) \in \left( C \right)$ khi đó $d\left( {M\,;\,{d_1}} \right) = \left| {x - 1} \right|$; $d\left( {M\,;\,{d_2}} \right) = \frac{3}{{\sqrt 5 .\left| {x - 1} \right|}}$

Khi đó $d\left( {M\,;\,{d_1}} \right).d\left( {M\,;\,{d_2}} \right) = \left| {x - 1} \right|.\frac{3}{{\sqrt 5 .\left| {x - 1} \right|}} = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}$.

a) Đúng. b) Đúng c) Sai d) Sai

Ta có $y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c$ là hàm số trùng phương nên bậc của mẫu là 8.

Suy ra: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} + 2f\left( x \right) - 3}} = 0$ .

Do đó đồ thị hàm số $y = g\left( x \right)$ có 1 tiệm cận ngang $y = 0$.

Ta có ${\left( {f\left( x \right)} \right)^2} + 2f\left( x \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{f\left( x \right) = 1}\\{f\left( x \right) = - 3}\end{array}} \right.$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

TH1: $f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 0\,(nghi\^e m\,k\'e p)}\\{x = {x_1}\left( {{x_1} < - 2} \right)}\\{x = {x_2}\left( {{x_2} > 2} \right)}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow$$f\left( x \right) - 1 = a{x^2}\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$.

TH2: $f\left( x \right) = - 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 2(nghi\^e m\,k\'e p)}\\{x = - 2(nghi\^e m\,k\'e p)}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow$$f\left( x \right) + 3 = a{\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x + 2} \right)^2}$.

$$\begin{array}{l} \Rightarrow g\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} + 2f\left( x \right) - 3}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{x^2} - 2x}}{{\left( {f\left( x \right) - 1} \right)\left( {f\left( x \right) + 3} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{a{x^2}\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)a{{\left( {x - 2} \right)}^2}{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{{a^2}x\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - 2} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\end{array}$$

Suy ra đồ thị h/s g(x) có 5 TCĐ là: $x = 0,\,x = {x_1},\,\,x = {x_2}\,x = \pm 2$.

Dó đó tổng số tiệm cận ngang và đứng là 6.

a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng.

Đồ thị hàm số $\left( {{C_m}} \right)$ $y = \frac{{2x + m}}{{mx - 3}}$ có điều kiện $x \ne \frac{3}{m}$. Với $m \ne 0$ thì hàm số só TCĐ $x = \frac{3}{m}$ và TCN $y = \frac{2}{m}$.

a) Với $m = - 1$ thì hàm số có TCĐ $x = - 3$ và TCN $y = - 2$. Vậy mệnh đề a) sai.

b) Với $m = 3$ thì hàm số có dạng $y = \frac{{2x + 3}}{{3x - 3}}$ và có TCĐ $x = 1$ nên điểm $A\left( {1;2} \right)$ thuộc tiệm cận đứng.

c) Với $m = 1$ thì hàm số có dạng $y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}$. Khi đó đồ thị có TCĐ $x = 3$và TCN $y = 2$; cùng với hai trục tọa độ là $x = 0$, $y = 0$ tạo thành hình chữ nhật có độ dài cạnh $2$ và $3$.

Suy ra diện tích hình chữ nhật là $6$.

d) Với $m = 1$ thì hàm số có dạng $y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}$, điểm $M\left( {{x_0};\frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 3}}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số.

Đồ thị có TCĐ là $x = 3$ và TCN là $y = 2$; Khoảng cách từ M đến hai tiệm cận lần lượt là:

và ${d_2}\left( {M;TCN} \right) = \left| {\frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 3}} - 2} \right|$. Khi đó:

$T = {d_1}\left( {M;TCN} \right).{d_2}\left( {M;TCN} \right)$

$\begin{array}{l} = \left| {{x_0} - 3} \right|\left| {\frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 3}} - 2} \right|\\ = \left| {2{x_0} + 1 - 2{x_0} + 6} \right| = 7\end{array}$

a) Sai b) Sai c) Đúng d) Sai.

Ta có: $y = - x - m + \frac{{{m^2} - m + 1}}{{1 - x}}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( { - x - m} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{m^2} - m + 1}}{{x - 1}} = 0$ nên đường thẳng $\left( d \right):y = - x - m$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (1).

a) Với $m = - 1$ đồ thị hàm số có tiệm cận xiên $\left( d \right):y = - x + 1$, Thay $x = 2$ vào $\left( d \right)$ ta được $y = - 1$nên điểm $M\left( {2; - 3} \right)$ không thuộc tiệm cận xiên .

b) Tiệm cận xiên $\left( d \right):y = - x - m$ cắt hai trục tọa độ tại hai điểm $A\left( {0; - m} \right)$ và $B\left( { - m;0} \right)$

Diện tích tam giác $OAB$: $S = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}\left| {{y_A}} \right|.\left| {{x_B}} \right| = \frac{1}{2}{m^2}$.

Theo giả thiết ta có: $S = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$.

c) Với $m = 1$ thì đồ thị hàm số có tiệm cận xiên $\left( d \right):y = - x - 1$ và tiệm cận đứng $x = 1$ cắt nhau tại điểm $I\left( {1; - 2} \right)$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

d) Với $m = 1$ thì đồ thị hàm số có tiệm cận xiên $\left( d \right):y = - x - 1$ cắt hai trục tọa độ tại hai điểm $A\left( {0; - 1} \right)$ và $B\left( { - 1;0} \right)$, Tiệm cận xiên và tiệm cận đứng $x = 1$ cắt nhau tại điểm $I\left( {1; - 2} \right)$. Tiệm cận đứng cắt trục $Ox$ tại $C\left( {1;0} \right)$ Khi đó ta có hình thang vuông $OAIC$ có diện tích là $\frac{3}{2}$.

Nhận xét: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f\left( x \right) \ge 1$.

Đồ thị hàm số $y = \frac{{f\left( x \right)}}{{f\left( x \right) - m + 2}}$ có hai đường tiệm cận ngang có phương trình là $y = \frac{5}{{7 - m}}$ và $y = \frac{2}{{4 - m}}$.

Xét phương trình $f\left( x \right) - m + 2 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = m - 2\,\,\left( * \right)$

Để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận thì $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt suy ra

$\left[ \begin{array}{l}1 < m - 2 < 2\\m - 2 = 3\\m - 2 \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 < m < 4\\m = 5\\m \ge 7\end{array} \right.$.

Vì $m \in \mathbb{Z},m \in \left[ {0\,;\,10} \right] \Rightarrow m \in \left\{ {5\,;\,7\,;\,8\,;\,9\,;\,10} \right\}$.

Đáp án: 5

Đáp án: 1

Điều kiện : ${f^2}\left( x \right) - 2\left( {m + 1} \right).f\left( x \right) + 5\left( {2m - 3} \right) \ne 0$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ne 5\\f\left( x \right) \ne 2m - 3\end{array} \right.$

+) Tiệm cận ngang:

Vì là đa thức bậc $3$ nên ${f^2}\left( x \right)$ là đa thức bậc $6$, do đó

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^4} - {x^2} + 2020}}{{{f^2}\left( x \right) - 2\left( {m + 1} \right).f\left( x \right) + 5\left( {2m - 3} \right)}} = 0$$\Rightarrow$ Đường thẳng $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $g\left( x \right)$.

+) Tiệm cận đứng:

Ta có: ${x^4} - {x^2} + 2020 > 0{\rm{ ,}}\forall x \in \mathbb{R}$.

${f^2}\left( x \right) - 2\left( {m + 1} \right).f\left( x \right) + 5\left( {2m - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 5\\f\left( x \right) = 2m - 3\end{array} \right.$.

Dựa vào đồ thị, ta thấy phương trình $f\left( x \right) = 5$ có $2$ nghiệm. Suy ra, đồ thị có $2$ tiệm cận đứng.

Do đó:

Đồ thị hàm số có đúng $6$ tiệm cận.

$\Leftrightarrow$$f\left( x \right) = 2m - 3$ có $3$ nghiệm phân biệt .

$\Leftrightarrow 1 < 2m - 3 < 5 \Leftrightarrow 2 < m < 4$.

$\Rightarrow m = 3$ (vì $m$là số nguyên).

Trường hợp 1: $m = 1$ ta có hàm số $y = \frac{{2x + 4}}{{ - 2x - 6}}$ có 2 đường tiệm cận là đường thẳng $x = - 3$ và$y = - 1$ (không thỏa mãn).

Trường hợp 2: $m \ne 1$

Đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 4}}{{\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx - 6}}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 0$.

Để đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 4}}{{\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx - 6}}$ có 3 đường tiệm cận thì phương trình $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx - 6 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác $- 2$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\\Delta ' = {m^2} + 6m - 6 > 0\\\left( {m - 1} \right).{\left( { - 2} \right)^2} - 2m.\left( { - 2} \right) - 6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\left[ \begin{array}{l}m > - 3 + \sqrt {15} \\m < - 3 - \sqrt {15} \end{array} \right.\\8m - 10 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\left[ \begin{array}{l}m > - 3 + \sqrt {15} \\m < - 3 - \sqrt {15} \end{array} \right.\\m \ne \frac{5}{4}\end{array} \right.$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 3 - \sqrt {15} \\\left\{ \begin{array}{l}m > - 3 + \sqrt {15} \\m \ne 1\\m \ne \frac{5}{4}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty \,;\, - 3 - \sqrt {15} } \right) \cup \left( { - 3 + \sqrt {15} \,;\,1} \right) \cup \left( {1\,;\,\frac{5}{4}} \right) \cup \left( {\frac{5}{4}\,;\, + \infty } \right)$$

Mà $m$nhận giá trị nguyên trên đoạn $\left[ { - 2025\,;\,2025} \right]$ nên ta có $m$ nguyên thỏa mãn $- 2025 \le m \le - 7$ hoặc $2 \le m \le 2025$.

Số các giá trị nguyên của $m$thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $\left( { - 7 + 2025 + 1} \right) + \left( {2025 - 2 + 1} \right) = 4043$

Vậy có 4043 giá trị của $m$ để đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.

Đáp án: $- 9$.

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\{x^2} + 4x + m \ne 0\end{array} \right.$.

Ta có: là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số có $3$ đường tiệm cận $\Leftrightarrow$ Đồ thị hàm số có $2$ đường tiệm cận đứng $\Leftrightarrow$ Phương trình ${x^2} + 4x + m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left( { - \infty ;1} \right]$.

Ta có: ${x^2} + 4x + m = 0$$\Leftrightarrow {x^2} + 4x = - m$.

Bảng biến thiên của hàm số $y = g\left( x \right) = {x^2} + 4x$:

Phương trình ${x^2} + 4x + m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left( { - \infty ;1} \right]$ $\Leftrightarrow - 5 \le m < 4$.

$\Rightarrow$$S = \left\{ { - 5\,;\, - 4\,;\, - 3\,;\, - 2\,;\, - 1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,} \right\}$.

Vậy tổng giá trị các phần tử của tập $S$ bằng $- 9$.

Gọi $x\,$là độ dài đáy nhỏ của hình thang $\left( {x > 0} \right)$. Ta có :

Đáy lớn là $2x\,$.

Chiều cao của hình thang là $h = \frac{{2S}}{{x + 2x}}\, = \frac{{16}}{x}$.

Độ dài cạnh còn lại của hình thang là $\sqrt {{x^2} + {{\left( {\frac{{16}}{x}} \right)}^2}} \, = \sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}}$.

Khi đó $P\left( x \right) = x + \frac{{16}}{x} + 2x + \sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}} = 3x + \sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}} + \frac{{16}}{x}$ (tập xác định $D = \left( {0;\, + \infty } \right)$).

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {3x + \sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}} + \frac{{16}}{x}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left[ {3 + \sqrt {1 + \frac{{256}}{{{x^4}}}} + \frac{{16}}{{{x^2}}}} \right] = + \infty$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

+ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x}\left[ {3{x^2} + \sqrt {{x^4} + 256} + 16} \right] = + \infty$ nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là trục $Oy$

+$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {P\left( x \right) - 4x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}} - x + \frac{{16}}{x}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{256}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}} + x}} + \frac{{16}}{{{x^2}}}} \right] = 0$.

Khi đó đồ thị hàm số có 1 tiệm cận xiên $y = 4x$.

Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.

Theo giả thiết, ta có:

$T\left( x \right) = C\left( x \right) + 4000x = {x^2} + 2000x + {10^8}$.

$M\left( x \right) = \frac{{T\left( x \right)}}{x} = x + \frac{{{{10}^8}}}{x} + 2000$ .

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {M\left( x \right) - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x + \frac{{{{10}^8}}}{x} + 2000 - \left( {x + 2000} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{{10}^8}}}{x}} \right] = 0$

Khi đó đồ thị hàm số có 1 tiệm cận xiên $y = x + 2000$. Khi số lượng cuốn tạp chí phát hành cực lớn thì chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí $M\left( x \right)$ sẽ tiệm cận với đường $y = x + 2000$.