Đề kiểm tra Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (có lời giải) - Đề 1

$$\left. \begin{array}{l}SA \bot (ABC)\\AB \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot AB.$$

$$\left. \begin{array}{l}SA \bot (ABCD)\\BD \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot BD \Rightarrow \left( {SA,BD} \right) = 90^\circ .$$

$$\left. \begin{array}{l}BC \bot SB,BC \bot AB\\SB \cap AB = \left\{ {\left. B \right\}} \right.\\SB,AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right).$$

Theo bài ra ta có: $SA \bot \left( {ABCD} \right)\quad (1)$.

Do $O$ là tâm của hình chữ nhật $ABCD$ và $I$ là trung điểm của $SC$ nên $OI$ là đường trung bình của tam giác $SAC$. Suy ra $OI{\rm{//}}\,SA\quad \,(2).$

Từ (1) và (2) và theo Định lý 3, a) ta có: $IO \bot \left( {ABCD} \right)$.

Do $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right.$ nên $BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC$ vuông tại $B$. Suy ra $O$ là trung điểm của $SC$. Mặt khác $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $\left( {ABC} \right)$ nên $OH \bot \left( {ABC} \right)$.

Theo giả thiết, lại có: $SA \bot \left( {ABC} \right)$. Vậy theo Định lý 3, b) ta có: $OH{\rm{//}}\,SA.$

Gọi $S$ là diện tích mái nghiêng phẳng là: $S = 1{,}2 \times 10 \times 15 = 180\,\,m$

Gọi $S'$ là diện tích bóng mát che phủ trên mặt đáy tại thời điểm 12 giờ trưa của mái nghiêng

Ta có: ${S}^{'}=S.\cos 30^{\circ}=180\times \cos 30^{\circ}\approx 155{,}9\ {m}^{2}.$

Giả sử các cạnh và các đỉnh của món quà lưu niệm dạng hình chóp có đáy là hình vuông cạnh 5cm, các cạnh bên có độ dài bằng nhau và bằng 7cm được mô tả như hình bên

Ta có $SA = SC$, $SB = SD$ nên tam giác $SAC$, $SBD$ cân tại $S$. Do đó $SO \bot AC,SO \bot BD$$\Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$. Do đó $SO$ là chiều cao của khối chóp.

Xét tam giác $ACD$ có $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {{5^2} + {5^2}} = \frac{5}{{\sqrt 2 }}$cm.

Xét tam giác $SAO$ có $SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{7^2} - \frac{{25}}{2}} = \frac{{\sqrt {146} }}{2} \approx 6{,}041522987$cm.

Vì kết quả làm tròn đến hàng phần trăm nên $SO = 6{,}04$cm.

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

a) Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA({\rm{do }}SA \bot (ABC))}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAB)} \right.$,

mà $SB \subset (SAB)$ nên $BC \bot SB$ hay tam giác $SBC$ vuông tại $B$.

b) Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{AH \bot SB}\\{AH \bot BC({\rm{do }}BC \bot (SAB))}\end{array} \Rightarrow AH \bot (SBC)} \right.$.

c) Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{SC \bot AK}\\{SC \bot AH({\rm{do }}AH \bot (SBC))}\end{array} \Rightarrow SC \bot (AHK)} \right.$,

mà $HK \subset (AHK)$ nên $SC \bot HK$ hay $(SC,HK)={90}^{^{\circ}}$

d) Vì $(AHK) \equiv (ADK)$ mà $SC \bot (AHK)$ nên $SC \bot (ADK) \Rightarrow SC \bot AD$. (1)

Mặt khác $SA \bot AD$ (do $SA \bot (ABC),AD \subset (ABC)$ ). (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AD \bot (SAC) \Rightarrow AD \bot AC$ hay $(AC,AD)={90}^{^{\circ}}$

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

Ta có $BC \bot AI$ (vì $AB = AC$)

$BC \bot DI$ (vì $BD = CD) \Rightarrow BC \bot (ADI)$

Ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{BC \bot (ADI)}\\{AD \subset (ADI)}\end{array} \Rightarrow BC \bot AD} \right.$

Ta có $AI = AD \Rightarrow AH \bot DI$

Mặt khác $AH \bot BC$ (do $BC \bot (ADI)) \Rightarrow AH \bot (BCD)$

Vậy $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $(BCD)$.

a) Sai

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$; $\Delta SAB$ và $\Delta ABC$ lần lượt cân tại $S$ và $C$ nên:

$\left\{ \begin{array}{l}SM \bot AB\\CM \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SMC} \right)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot \left( {SMC} \right)\\SC \subset \left( {SMC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot SC$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Xét phương án a:

Vì: $\left\{ \begin{array}{l}OC \bot OB(gt)\\OC \bot OA\left( {gt} \right)\end{array} \right.$

Mà $OB \cap OA = O \in \left( {OAB} \right)$.

Nên $OC \bot \left( {OAB} \right) \Rightarrow OC \bot AB$. Vậy a đúng.

Xét phương án b và c:

Vì: $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CH\\AB \bot OC\,(cmt)\\CH \cap OC = C \in \left( {COH} \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow AB \bot \left( {COH} \right)$$\Rightarrow AB \bot OH$.

Lại vì: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot OA\left( {OA \bot \left( {COB} \right)} \right)\\OA \cap AH = A \in \left( {AOH} \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow BC \bot \left( {AOH} \right) \Rightarrow BC \bot OH$

Ngoài ra $\left\{ \begin{array}{l}OH \bot CB\\OH \bot AB\\CB \cap AB = B \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)$.

Vì vậy b,c đúng.

Hơn nữa, xét phương án d, vì $OH \bot OA$ và $OH \bot AB$ thì $OH \bot \left( {OAB} \right)$. Trái với giả thiết $OC \bot \left( {OAB} \right)$ nên d sai.

Gọi độ dài của hàng rào xây bằng xi măng là $x{\rm{ }}\left( {x > 5} \right)$ và độ dài hai hàng rào vuông góc với nó là $y.$

Vì diện tích khu đất rào được bằng $600{{\rm{m}}^2}$ nên $xy = 600 \Rightarrow y = \frac{{600}}{x}.$

Độ dài dây thép để làm hàng rào là

$\left( {x - 5} \right) + 2y = x - 5 + 2.\frac{{600}}{x} = x + \frac{{1200}}{x} - 5.$

Suy ra tổng chi phí là

$f\left( x \right) = \left( {x + \frac{{1200}}{x} - 5} \right).14000 + x.28000 = 42000x + \frac{{16800000}}{x} - 70000.$

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có $f\left( x \right) \ge 2\sqrt {42000x.\frac{{16800000}}{x}} + 5 = 1610000.$

Đẳng thức xảy ra khi $42000x = \frac{{16800000}}{x} \Leftrightarrow x = 20.$

Suy ra chu vi của khu đất là $2\left( {x + y} \right) = 2\left( {20 + \frac{{600}}{{20}}} \right) = 100{\rm{ m}}.$

Ta thấy xào đồ được gắn vào tường và song song với mặt sàn nhà, nên xào đồ được gắn theo phương thẳng đứng so với mặt tường, tức là vuông góc với mặt tường. Mà $CD$ là đường thẳng nằm trên mặt tường nên ta có $AD \bot CD$.

Xét tam vuông $ACD$, vuông tại $D$, ta có: $AC = \sqrt {A{D^2} + C{D^2}} = \sqrt {0,{3^2} + {3^2}} \approx 3$m

Ta đặt các điểm như hình minh họa trên. Vì thanh treo quần áo được đặt theo phương thẳng đứng với sàn nhà nên nó vuông góc với sàn nhà cũng như vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên hình tròn dưới đế của thanh.

Xét tam giác $ABC$, vuông tại $B$, ta có: $AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}} = \sqrt {1,{{80278}^2} - 1,{8^2}} \approx 0{,}1$m.

Vậy đường kính đường tròn của đế thanh treo quần áo là $0{,}2$m.