Đề kiểm tra Dãy số lớp 11 (có lời giải) - Đề 3

Chọn C

ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {2(n + 1) - 3} \right] - \left( {2n - 3} \right) = 2 > 0$.

Chọn C

Xét $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{n}{{n + 2}}$.

Với $\forall n \ge 1$ $\Rightarrow 0 < {u_n} < 1$. Vậy dãy $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn.

Chọn B

Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{a.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{a.{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}}$.

Chọn D

Ta có.

Chọn B

Ta có ${u_1} = 3$;

${u_2} = {u_1} + 1 = 3 + 1 = 4$;

${u_3} = {u_2} + 2 = 4 + 2 = 6$.

Suy ra ${u_1} + {u_2} + {u_3} = 3 + 4 + 6 = 13.$.

Chọn D

Từ công thức truy hồi ta có:${u_1} = 2$;${u_2} = 3$;${u_3} = 5$;${u_4} = 9$;${u_5} = 17$….

Xét:${u_{n + 2}} = 3{u_{n + 1}} - 2{u_n}$$\Rightarrow {u_n} = \frac{{3{u_{n + 1}} - {u_{n + 2}}}}{2}$.

Vậy:${u_1} = 2 = 1 + 1 = {2^0} + 1$.

${u_2} = 3 = 2 + 1 = {2^1} + 1$.

${u_3} = 5 = 4 + 1 = {2^2} + 1$.

${u_4} = 9 = 8 + 1 = {2^3} + 1$.

${u_5} = 17 = 16 + 1 = {2^4} + 1$

………….

Vậy công thức tổng quát của dãy số là:${u_n} = {2^{n - 1}} + 1$.

Qua đó ta thấy đáp án ${u_n} = \frac{{{n^2} + 5}}{3}$sai.

Chọn D

${u_5} = \frac{{{5^2} + 3}}{{{{2.5}^2} - 1}} = \frac{{28}}{{49}} = \frac{4}{7}$.

Chọn C

Xét ${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {a - 5} \right)\left( {n + 1} \right) + 5 - a - \left[ {\left( {a - 5} \right)n + 5 - a} \right] = a - 5$.

Để dãy số $\left( {{u_n}} \right)$là dãy giảm thì $a - 5 < 0,\forall n \in \mathbb{N}* \Leftrightarrow a < 5,\forall n \in \mathbb{N}*$.

Chọn A

Ta có $\left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{2n + 1}}} \right| = \frac{1}{{2n + 1}} < \frac{1}{{2n}} \le \frac{1}{2}$ nên dãy ${u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{2n + 1}}$ bị chặn.

Chọn B

Từ công thức

Xét đáp án A với A loại.

Xét đáp án B, ta thấy đều thỏa mãn.

Xét đáp án C với C loại.

Dễ thấy đáp án D không thỏa mãn.

Chọn A

Ta thấy dãy $\left( {\frac{\pi }{{n + 1}}} \right)$ là dãy số giảm và $\frac{\pi }{{n + 1}} \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right],\forall n \in \mathbb{N}*$.

Mặt khác hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right]$ nên $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm và bị chặn.

Chọn A

Xét dãy $\left( {{u_n}} \right),\,\,{u_n} = \frac{n}{{n + 1}};\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Ta có $0 < n < n + 1\,;\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$$\Rightarrow 0 < \frac{n}{{n + 1}} < 1\,;\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$nên $0 < {u_n} < 1\,;\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Suy ra dãy số $\left( {{u_n}} \right)$bị chặn.

Xét dãy $\left( {{u_n}} \right),\,\,{u_n} = n + 1;\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ta có ${u_n} = n + 1 \ge 2\,;\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$bị chặn dưới.

Xét dãy $\left( {{u_n}} \right),\,\,{u_n} = - n\,;\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ta có ${u_n} = - n \le - 1\,;\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$bị chặn trên.

Xét dãy $\left( {{u_n}} \right),\,\,{u_n} = {n^2}\,;\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ta có ${u_n} = {n^2} \ge 1\,;\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$bị chặn dưới.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) b) c) Ta có: ${u_1} = 1;{u_2} = \frac{5}{4};{u_3} = \frac{7}{5};{u_4} = \frac{3}{2};{u_5} = \frac{{11}}{7}$.

d) Xét $\frac{{2n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{167}}{{84}} \Leftrightarrow 84(2n + 1) = 167(n + 2) \Leftrightarrow n = 250$.

Vậy $\frac{{167}}{{84}}$ là số hạng thứ 250 của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{1.2}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}\\\frac{1}{{2.3}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\\\frac{1}{{3.4}} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\\...................\\\frac{1}{{n(n + 1)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}\end{array} \right.$

Suy ra: ${u_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + \ldots + \frac{1}{{n(n + 1)}}$

$= \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{n}{{n + 1}}.$

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: ${u_n} = \frac{n}{{n + 1}}$.

a) Số hạng ${u_1} = \frac{1}{2}$

b) Số hạng ${u_3} = \frac{3}{4}$

c) $\frac{{10}}{{11}}$ là số hạng thứ 10 của dãy số

d) ${u_{2023}} + {u_{2024}} < 2$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Với mọi số nguyên dương $n$, ta có:

$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_{n + 1}} - {u_n}}&{ = n + 1 + \frac{1}{{n + 1}} - \left( {n + \frac{1}{n}} \right)}\\{}&{ = 1 - \frac{1}{{(n + 1)n}} = \frac{{(n + 1)n - 1}}{{(n + 1)n}} > 0({\rm{v\`i }}(n + 1)n > 1,\forall n \ge 1).}\end{array}$

Suy ra ${u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Vì vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $n,\frac{1}{n}$, ta được:

$n + \frac{1}{n} \ge 2\sqrt {n \cdot \frac{1}{n}} = 2{\rm{ hay }}{u_n} \ge 2,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.$

Vì vậy dãy số đã cho bị chặn dưới.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Sau 1 tháng, số tiền bà Hoa nhận được là: ${T_1} = 200{\left( {1 + \frac{{0{,}05}}{{12}}} \right)^1} \approx 200{,}83$ (triệu đồng)

Sau 2 tháng, số tiền bà nhận được là: ${T_2} = 200{\left( {1 + \frac{{0{,}05}}{{12}}} \right)^2} \approx 201{,}67$ (triệu đồng);

Sau 14 tháng, số tiền bà nhận được là: ${T_{14}} = 200{\left( {1 + \frac{{0{,}05}}{{12}}} \right)^{14}} \approx 211{,}99$ (triệu đồng).

Sau 17 tháng, số tiền bà nhận được là: ${T_{17}} = 200{\left( {1 + \frac{{0{,}05}}{{12}}} \right)^{17}} \approx 214{,}65$ (triệu đồng).

Dãy số bị chặn dưới vì ${u_n} = 2n - 1 > - 1,\forall n \in \mathbb{N}*$

Dãy số không bị chặn trên

Từ giả thiết ta có:

$\begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_2} = {u_1} + 2\\{u_3} = {u_2} + 2\\...\\{u_{50}} = {u_{49}} + 2\end{array}$

Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được:

${u_{50}} = 1 + 2.49 = 99$

Ta sẽ chứng minh ${u_n} = {2.3^n} - 5{\rm{ }}\left( 1 \right)$ bằng phương pháp quy nạp.

Với $n = 1$, ta có: ${u_1} = {2.3^1} - 1 = 1$ (đúng). Vậy $\left( 1 \right)$ đúng với $n = 1.$

Giả sử $\left( 1 \right)$ đúng với $n = k\left( {k \in {N^*}} \right)$. Có nghĩa là ta có: ${u_k} = {2.3^k} - 5{\rm{ }}\left( 2 \right)$

Ta phải chứng minh $\left( 1 \right)$ đúng với $n = k + 1.$ Có nghĩa ta phải chứng minh:

${u_{n + 1}} = {2.3^{k + 1}} - 5.$

Từ hệ thức xác định dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ và từ (2) ta có:

${u_{k + 1}} = 3{u_k} + 10 = 3.\left( {{{2.3}^k} - 5} \right) + 10 = {2.3^k}.3 - 15 + 10 = {2.3^{k + 1}} - 5$ (đpcm).

Lời giải

Ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{n + 1 + 1}} - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{{ - 1}}{{(n + 1)(n + 2)}} < 0,\forall n \in \mathbb{N}{\rm{*}}$

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm

Công thức ${u_n}$ được viết lại: ${u}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{5}{2(2{n}^{2}-3)}\ (1)$

Dễ thấy $\forall n \ge 1$ ta có:$- 1 \le \frac{1}{{2{n^2} - 3}} \le \frac{1}{5}.$ Do đó từ $\left( 1 \right)$ suy ra $- 2 \le {u_n} \le 1{\rm{ }}\left( {\forall n \ge 1} \right)$

Từ đó suy ra$\left( {{u_n}} \right)$ là một dãy số bị chặn.

a) Số tiền ông An nhận được sau 1 tháng: ${A_1} = 100{\left( {1 + \frac{{0.06}}{{12}}} \right)^1} = 100.5$ (triệu đồng)

Số tiền ông An nhận được sau 2 tháng: ${A_2} = 100{\left( {1 + \frac{{0.06}}{{12}}} \right)^2} = 101.0025$ (triệu đồng)

b) Số tiền ông An nhận được sau 1 năm: ${A_{12}} = 100{\left( {1 + \frac{{0.06}}{{12}}} \right)^{12}} = 106.1678$ (triệu đồng)