Đề kiểm tra Dãy số lớp 11 (có lời giải) - Đề 1

Chọn B

Ta có: ${u_{10}} = \frac{{{2^{10 - 1}} + 1}}{{10}}$$= 51{,}3$.

Chọn B

Ta có ${u_8} = {\left( { - 1} \right)^{8 + 1}}\sqrt {8 + 1} = - 3$.

Chọn A

${u_n} = 3 + 4{n^2} \Rightarrow {u_5} = 3 + {4.5^2} = 103$.

Chọn B

Ta có ${u_{n + 1}} = {3^{n + 1}} = {3.3^n}.$.

Chọn D

$\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ ta có: ${n^2} < {\left( {n + 1} \right)^2}$ nên A sai; $2n < 2\left( {n + 1} \right)$ nên B sai; ${n^3} - 1 < {\left( {n + 1} \right)^3} - 1$ nên C sai.

Với ${u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n - 1}}$ thì ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{ - 3}}{{\left( {n - 1} \right).n}} < 0$ nên dãy ${u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n - 1}}$ giảm.

Chọn D

$\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) - 1 - \left( {2n - 1} \right) = 2 > 0$nên ${u_{n + 1}} > {u_n}$vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$tăng.

Chọn A

Ta có ${u_n} = \frac{1}{{n + 2}}$$\Rightarrow {u_{n + 1}} = \frac{1}{{\left( {n + 1} \right) + 2}} = \frac{1}{{n + 3}}$ suy ra ${u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm (loại B, D).

Với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ ta có ${u_n} = \frac{1}{{n + 2}} > 0.$

và $n + 2 > 1$$\Rightarrow {u_n} = \frac{1}{{n + 2}} < 1.$

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.

Chọn A

Ta có ${U_{100}} = \frac{{100 - 1}}{{100 + 2}} = \frac{{33}}{{34}}$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Ta có: ${u_1} = - \frac{1}{2};{u_2} = - \frac{2}{3};{u_3} = - \frac{3}{4};{u_4} = - \frac{4}{5};{u_5} = - \frac{5}{6}$.

b) Ta có: ${u_{10}} = - \frac{{10}}{{11}},{u_{100}} = - \frac{{100}}{{101}}$.

c) Xét $- \frac{{85}}{{86}} = \frac{{ - n}}{{n + 1}} \Leftrightarrow 85n + 85 = 86n \Leftrightarrow n = 85$.

Vậy $- \frac{{85}}{{86}}$ là số hạng thứ 85 của dãy $\left( {{u_n}} \right)$.

d) Xét $- \frac{{99}}{{101}} = \frac{{ - n}}{{n + 1}} \Leftrightarrow 99n + 99 = 101n \Leftrightarrow n = \frac{{99}}{2} \notin {\mathbb{N}^*}$ (loại).

Vậy $- \frac{{99}}{{101}}$ không phải là số hạng của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Ta có: $2{u_{n + 1}} = {u_n} + {u_{n + 2}} \Rightarrow {u_{n + 2}} - {u_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {u_n} \Rightarrow {v_{n + 2}} = {v_{n + 1}}$

Tương tự, ta chứng minh được ${v_{n + 1}} = \ldots = {v_2} = 1$, hay dãy $\left( {{v_n}} \right)$ là dãy không đổi.

b) Ta có: ${u_n} - {u_{n - 1}} = 1 \Rightarrow {u_n} = {u_{n - 1}} + 1$

Suy ra ${u_n} = \left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right) + \left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right) + \ldots + \left( {{u_2} - {u_1}} \right) + {u_1}$

$= 1 + 1 + \ldots + 1 + {u_1} = n - 1 + 2023 = n + 2022.{\rm{ }}$

Khi đó ${u_{2024}} = 4046$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Ta có:

$\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = 2n - 1 \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + 2n - 1\\{u_2} = 2 + 2.1 - 1 = 3\end{array}$

Khi đó: ${u_3} = 3 + 2.2 - 1 = 6$

${u_4} = 6 + 2.3 - 1 = 11$

Suy ra: ${u_n} = 2 + {(n - 1)^2}$

c) Ta có ${u_{2024}} = 4092531$

d) Ta có ${u_{2023}} = 4088486$

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

Nhận xét: ${u_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Ta có: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} }}{{\sqrt {n + 1} - \sqrt n }}$

$= \frac{{(\sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} )(\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} )(\sqrt {n + 1} + \sqrt n )}}{{(\sqrt {n + 1} - \sqrt n )(\sqrt {n + 1} + \sqrt n )(\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} )}} = \frac{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }}{\rm{. }}$

Vì $0 < \sqrt {n + 1} + \sqrt n < \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1}$ nên $\frac{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} < 1$

hay $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Suy ra ${u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

Năm số hạng đầu của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là $2;\sqrt 6 ;2\sqrt 2 ;\sqrt {10} ;2\sqrt 3$.

Dự đoán công thức số hạng tổng quát ${u_n} = \sqrt {2(n + 1)}$.

Ta có: ${u_2} = {u_1} + 1 = 5;{u_3} = {u_2} + 2 = 7;{u_4} = {u_3} + 3 = 10$.

Do đó, số hạng thứ năm của dãy số là ${u_5} = {u_4} + 4 = 14$.

Giá trị của máy photocopy sau 1 năm sử dụng là

${T_1} = 50 \cdot 75\% = 37{,}5$ (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 2 năm sử dụng là

${T_2} = {T_1} \cdot 75\% = 28{,}125$(triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 3 năm sử dụng là

${T_3} = {T_2} \cdot 75\% = 21{,}0938$(triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 4 năm sử dụng là

${T_4} = {T_3} \cdot 75\% = 15{,}8203$(triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 5 năm sử dụng là

${T_5} = {T_4} \cdot 75\% = 11{,}8652$ (triệu đồng).

Chú ý. Tổng quát, giá trị của máy photocopy sau $n$ năm sử dụng là

${T_n} = {T_1} \cdot {(0{,}75)^{n - 1}}$(triệu đồng).