Đề kiểm tra Dấu tam thức bậc hai lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Xét $\left( {9 - {x^2}} \right)\left( {2x - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 3\\x = 5\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu nên BPT có tập nghiệm $S = \left( { - 3;3} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)$.

Xét dấu $f(x) = - {x^2} + 2x + 3$

Vậy $- {x^2} + 2x + 3 > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;3} \right)$

Phương trình ${x^2} - x + 1 = 0$ vô nghiệm và $6{x^2} - 5x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.$

Bảng xét dấu của biểu thức $f\left( x \right)$

Từ bảng xét dấu ta có $f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {\frac{1}{3}\,;\,\frac{1}{2}} \right)$

Nên $3a + 2b = 2$.

Trường hợp 1. $m = 4$: $f\left( x \right) = 9x + 3 \le 0 \Leftrightarrow x \le - \frac{1}{3}$ (Loại vì không thỏa mãn với $\forall x \in \mathbb{R}$).

Trường hợp 2. $m \ne 4$:

$f\left( x \right) \le 0,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 4 < 0\\{\left( {2m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - 4} \right)\left( {m - 1} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 4\\24m - 15 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le \frac{5}{8}$.

Vậy $m \le \frac{5}{8}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có $\Delta = {a^2} - 4$.

Để tam thức $y = {x^2} - ax + 1$ có hai nghiệm dương phân biệt thì

$\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4 > 0\\a > 0\\1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a < - 2\\a > 2\end{array} \right.\\a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a > 2$.

Ta có $\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4m = {\left( {m - 1} \right)^2}$. Do đó $f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = - 2m\end{array} \right.$.

TH1: $- 2 < - 2m \Leftrightarrow m < 1$, ta có $f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 2; - 2m} \right)$.

$f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow - 2 < 0 < 1 < - 2m \Leftrightarrow m < \frac{{ - 1}}{2}$.

Suy ra: $m < \frac{{ - 1}}{2}$

TH2: $- 2 > - 2m \Leftrightarrow m > 1$, ta có $f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 2m; - 2} \right)$.

Suy ra không có giá trị $m$ thỏa đề.

Vậy $m < \frac{{ - 1}}{2}$ thỏa yêu cầu bài toán.

Ta đặt các kích thước của hàng rào như hình vẽ (với $x,\,y > 0$ và có đơn vị $m$)

Khi đó chi phí để trả cho nguyên vật liệu làm hàng rào là: $3x.50000 + 2y.60000 = 15000000$

$\Leftrightarrow 15x + 12y = 1500$ $\Rightarrow y = \frac{{500 - 5x}}{4}$.

Diện tích của khu vườn sau khi được rào lại là $S = x.2y = 2x.\frac{{500 - 5x}}{4} = \frac{1}{2}\left( { - 5{x^2} + 500x} \right)$.

Ta có $S = \frac{1}{2}\left( { - 5{x^2} + 500x} \right) = \frac{5}{2}\left( { - {x^2} + 2.50x - 2500 + 2500} \right)$.

$\Leftrightarrow S = \frac{5}{2}\left[ {2500 - {{\left( {x - 50} \right)}^2}} \right] \le 6250$.

Vậy diện tích khu vườn lớn nhất là $6250\,{m^2}$$\Leftrightarrow x = 50$.

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

Biểu thức ở các câu b), c) là các tam thức bậc hai.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Đồ thị hàm số $y = f(x)$ cắt trục hoành tại hai điểm $( - 2;0)$ và $(2;0)$ nên tam thức bậc hai $f(x)$ có hai nghiệm là ${x_1} = - 2,{x_2} = 2$. Đồ thị có bề lõm quay lên trên nên hệ số $a > 0$. Do đó, ta có bảng xét dấu sau:

b) Đồ thị hàm số $y = g(x)$ cắt trục hoành tại hai điểm $(3;0)$ và $(4;0)$ nên tam

thức bậc hai $f(x)$ có hai nghiệm là ${x_1} = 3,{x_2} = 4$. Đồ thị có bề lõm quay xuống dưới nên hệ số $a < 0$. Do đó, ta có bảng xét dấu sau:

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Biểu thức $f\left( x \right) = \left( {3x - 1} \right)\left( {3{x^2} - 4x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 1 = 0\\3{x^2} - 4x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x = 1.\end{array} \right.$

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu, với $x \in \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {\frac{1}{3};1} \right)$ thì $f(x) < 0$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

$f(x) = {x^2} - \frac{1}{x} = \frac{{{x^3} - 1}}{x} = \frac{{(x - 1)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{x}$.

Điều kiện: $x \ne 0$.

Xét $f(x) = 0 \Rightarrow (x - 1)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1}\\{{x^2} + x + 1}\end{array}} \right.$ (vô nghiệm) $\Rightarrow x = 1$.

Bảng xét dấu $f(x)$:

Kết luận: $f(x) > 0,\forall x \in ( - \infty ;0) \cup (1; + \infty );f(x) < 0,\forall x \in (0;1)$.

${x^4} + m{x^3} - 2\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + mx + 1 = 0$(1)

Nhận xét rằng $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho ${x^2} \ne 0$ ta được:

${x^2} + mx - 2\left( {{m^2} - 1} \right) + m \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + m\left( {x + \frac{1}{x}} \right) - 2{m^2} + 2 = 0.$

Đặt $t = x + \frac{1}{x}$, điều kiện $|t| \ge 2$, suy ra ${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} - 2$.

Khi đó, phương trình có dạng: $f(t) = {t^2} + mt - 2{m^2} = 0$ (2)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt tức (1) có nghiệm thỏa mãn $\left[ \begin{array}{l}2 < {t_1} < {t_2}\left( * \right)\\{t_1} < {t_2} < - 2\left( * \right)\\{t_1} < - 2 < 2 < {t_2}(**)\end{array} \right.$.

Nhận xét: Phương trình (2) có $ac = - 2{m^2} < 0$ nên $\left( * \right)$ không thể xảy ra.

Khi đó, để có $\left( {**} \right)$ thì điều kiện là:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{f(2) < 0}\\{f( - 2) < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{4 + 2m - 2{m^2} < 0}\\{4 - 2m - 2{m^2} < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{m^2} - m - 2 > 0}\\{{m^2} + m - 2 > 0}\end{array} \Leftrightarrow |m| > 2.} \right.} \right.} \right.$

Vậy với $|m| > 2$ thì thỏa mãn đề bài cho.

Vi ${m^2} + 2 > 0$ nên yêu câu bài toán $\Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2} \right){x^2} - 2(m + 1)x + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{\Delta ^\prime } < 0}\\{a > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{{(m + 1)}^2} - \left( {{m^2} + 2} \right) < 0}\\{{m^2} + 2 > 0}\end{array} \Leftrightarrow {{(m + 1)}^2} - \left( {{m^2} + 2} \right) < 0} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow 2m < 1 \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}{\rm{.}}\end{array}$

Vậy $m < \frac{1}{2}$ thỏa mãn

Hàm số xác định $\Leftrightarrow (m + 10){x^2} - 2(m - 2)x + 1 \ge 0(*)$.

Hàm số có tập xác định $D = \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\left( * \right)$ đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$.

+) $m = - 10:\left( * \right)$ trở thành: $24x + 1 \ge 0$ không đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$.

Suy ra $m = - 10$ loại.

+) $m \ne - 10:(*)$ đúng với $\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a < 0}\\{{\Delta ^\prime } \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m + 10 > 0}\\{{{(m - 2)}^2} - (m + 10) \le 0}\end{array}} \right.} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}{m^2} - 5m - 6 \le 0\\m > - 10\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l} - 1 \le m \le 6\\m > - 10\end{array}\end{array} \Leftrightarrow - 1 \le m \le 6.} \right.} \right.$

Vậy với $- 1 \le m \le 6$ thì hàm số đã cho có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Ta có $\Delta = {(3 - m)^2} - 4( - 2m + 3) = {m^2} + 2m - 3$

- Nếu $m = 1$ thì bpt trở thành ${x^2} + 2x + 1 > 0 \Leftrightarrow {(x + 1)^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne - 1$ thỏa mãn.

- Nếu $m = - 3$ thì bpt trở thành ${x^2} + 6x + 9 > 0 \Leftrightarrow {(x + 3)^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne - 3$ thỏa mãn

- Nếu $- 3 < m < 1$ thì $\Delta < 0$ mà hệ số $a = 1 > 0$ nên ${x^2} + (3 - m)x - 2m + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$

Suy ra tập nghiệm của bpt là $\mathbb{R}$ (thỏa mãn).

- Nếu $\left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m < - 3}\\{m > 1}\end{array}} \right.$ thì $\Delta > 0$ nên phương trình ${x^2} + (3 - m)x - 2m + 3 = 0$ có hai nghiệm.

Do đó ta có tập nghiệm của ${x^2} + (3 - m)x - 2m + 3 > 0$ là

$S = \left( { - \infty ;\frac{{ - 3 + m - \sqrt {{m^2} + 2m - 3} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{ - 3 + m + \sqrt {{m^2} + 2m - 3} }}{2}; + \infty } \right){\rm{. }}$

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x \le - 4$ khi và chi khi $( - \infty ; - 4] \subset \left( { - \infty ;\frac{{ - 3 + m - \sqrt {{m^2} + 2m - 3} }}{2}} \right)$

$\Leftrightarrow - 4 < \frac{{ - 3 + m - \sqrt {{m^2} + 2m - 3} }}{2} \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} + 2m - 3} < m + 5$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}m > - 5 \vee m > 1\\m > - 5m > - \frac{7}{2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l} - \frac{7}{2} < m < - 3\\m > 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}{m^2} + 2m - 3 > 0\\m + 5 > 0\\{m^2} + 2m - 3 < {(11 - m)^2}\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Kết hợp các trường hợp ta được $m > - \frac{7}{2}$ là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với $m = 4$, ta có $f(x) = - 1 < 0$: đúng với mọi $x$.

Với $m \ne 4$, yêu câu bài toán $\Leftrightarrow (m - 4){x^2} + (2m - 8)x + m - 5 < 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}a < 0\\{\Delta ^\prime } < 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}m - 4 < 0\\{(m - 4)^2} - (m - 4)(m - 5) < 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}m < 4\\m - 4 < 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow m < 4} \right.} \right.} \right.$$

Kết hợp hai trường hợp ta được $m \le 4$.

Hàm số xác định $\Leftrightarrow (m + 10){x^2} - 2(m - 2)x + 1 \ge 0(*)$.

Hàm số có tập xác định $D = \mathbb{R}$ khi và chỉ khi (*) đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$.

+) $m = - 10$ (*) trở thành: $24x + 1 \ge 0$ không đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$.

Suy ra $m = - 10$ loại.

+) $m \ne - 10$ (*) đúng với $\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}a < 0\\{\Delta ^\prime } \le 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}m + 10 > 0\\{(m - 2)^2} - (m + 10) \le 0\end{array}\end{array}} \right.} \right.$

$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}{m^2} - 5m - 6 \le 0\\m > - 10\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l} - 1 \le m \le 6\\m > - 10\end{array}\end{array} \Leftrightarrow - 1 \le m \le 6.} \right.$$

Vậy với $- 1 \le m \le 6$ thì hàm số đã cho có tập xác định $D = \mathbb{R}$.