Đề kiểm tra Đạo hàm (có lời giải) - Đề 3

Ta có: $f'(x) = 2x$; $f(2) = 3$.

Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là $k = f'(2) = 4$.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y - 3 = 4(x - 2)$ hay $y = 4x - 5$.

Ta có: $f'(x) = 2x$.

Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là $k = f'( - 1) = - 2$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

Với ${x_0}$ bất kì, ta có: $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{\rm{6x}} - 5 - \left( {6{x_0} - 5} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{6\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 6 = 6$.

Ta có: $f'(1){\rm{ }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3{x^2} - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3(x - 1)(x + 1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 3(x + 1) = 6.$

Vậy hệ số góc tiếp tuyến của parabol $y = f(x) = 3{x^2}$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = 1$ là $k = f'(1) = 6$.

Với ${x_0}$ bất kì, ta có: $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{(2x + 3) - (2{x_0} + 3)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2(x - {x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 2 = 2.$

Vậy hàm số $y = f(x) = 2x + 3$ có đạo hàm là hàm số $y' = 2$

Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( { - 2} \right)\left( {x + 2} \right) + f\left( { - 2} \right)$

Ta có: $f'( - 2){\rm{ }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{f(x) - f( - 2)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{ - {x^2} + 1 + 3}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{ - (x - 2)(x + 2)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} ( - x + 2) = 4.$

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = 4(x + 2) + ( - 3)$ hay $y = 4x + 5$.

Tập xác định: $D = R\backslash \{ - 1\}$

Đặt $y = f(x) = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}$ suy ra $y' = f'(x) = \frac{2}{{{{(x + 1)}^2}}}$

Đồ thị hàm số cắt trục tung nên ${x_0} = 0$. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị là

$$k = f'(0) = \frac{2}{{{{(0 + 1)}^2}}} = 2$$

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {x^3} - m{x^2} + \left( {2m - 3} \right)x - 1$ là

$$y' = 3{x^2} - 2mx + 2m - 3$$

Vì hệ số góc dương với mọi $x$ nên ta có

$$y' = 3{x^2} - 2mx + 2m - 3 > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3 > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 9 < 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 3} \right)^2} < 0 \Rightarrow m \in \emptyset$$

Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm của quãng đường $v(t)={s}^{'}(t)=-{t}^{2}+8t+9$

Vận tốc bằng không khi:

$v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - {t^2} + 8t + 9 = 0$$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{t = - 1\left( {ktm} \right)}\\{t = 9\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.$

Quãng đường vật chuyển động được đến thời điểm $t = 9$ là:

$s\left( t \right) = - \frac{1}{3}{.9^3} + {4.9^2} + 9.9 = 162\left( m \right)$

Dùng định nghĩa ta tính được đạo hàm của hàm số $s\left( t \right)$ tại ${t_0}$ là $s'\left( {{t_0}} \right) = - 3t_0^2 + 6{t_0} + 9 + m.$

Vậy vận tốc của chất điểm tại thời điểm ${t_0}$ là

$$v\left( {{t_0}} \right) = s'\left( {{t_0}} \right) = - 3{t_0}^2 + 6{t_0} + 9 + m = - 3{\left( {{t_0} - 1} \right)^2} + 12 + m \le 12 + m.$$

Dấu $'' = ''$ xảy ra $\Leftrightarrow {t_0} = 1.$

Vận tốc của vật đạt giá trị lớn nhất $v\left( {{t_0}} \right) = 12 + m$ khi ${t_0} = 1\left( {\rm{s}} \right){\rm{.}}$

Mà $\left\{ \begin{array}{l}v\left( 1 \right) = 12 + m\\m \ge 0\end{array} \right.$ nên $v\left( 1 \right) = 12$ là bé nhất khi $m = 0$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

${\rm{ Ta c\'o : }}\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{f^\prime }(1)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}}}\\{}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)(x + 3)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 3) = 4}\end{array}$

Vậy ${f^\prime }(1) = 4$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Ta có: ${f^\prime }(x) = {\left( {2{x^3}} \right)^\prime } = 6{x^2}$ nên tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ có hệ số góc là:

${f^\prime }( - 1) = 6 \cdot {( - 1)^2} = 6.;f( - 1) = - 2$

Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ là:

$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{y - f( - 1) = 6(x + 1)}&{ \Leftrightarrow y + 2 = 6(x + 1)}\\{}&{ \Leftrightarrow y = 6x + 4.}\end{array}$

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) ${f^\prime }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - x - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - x}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x = 1$.

b) ${f^\prime }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{1}{2}$.

c) ${f^\prime }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{{{x^2} + 1}} - f(0)}}{x} = = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{{{x^2} + 1}} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - x}}{{{x^2} + 1}} = 0$.

d) ${f^\prime }(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\frac{1}{{x + 1}} - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{3}}}{{x - 2}} = = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ - 1}}{{3(x + 1)}} = - \frac{1}{9}$.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Ta có: ${y^\prime } = - \frac{4}{{{{(x - 1)}^2}}} \Rightarrow {y^\prime }( - 1) = - 1$.

Vì ${x_0} = - 1$ nên ${y_0} = - 2 \Rightarrow$ Tiếp điểm $M( - 1; - 2)$.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M( - 1; - 2)$ là $y = - x - 3$.

${\rm{ Ta c\'o }}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^3} - 16}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 2\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) = 24.$

Vậy ${\rm{ }}{f^\prime }(2) = 24.{\rm{ }}$

Ta có: ${x_0} = - 2 \Rightarrow {y_0} = {( - 2)^3} + 2 \cdot {( - 2)^2} - 3 = - 3$

${f^\prime }( - 2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^3} + 2{x^2}}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2}(x + 2)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {x^2} = 4$

Vậy phương trình tiếp tuyến là: $y = {y^\prime }\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} = 4(x + 2) - 3 = 4x + 5$.

Ta có $r = 6\% = 0{,}06;1$ tháng $= \frac{1}{{12}}$ năm.

Công thức tính tổng số tiền lãi và vốn sau $t$ năm là $T = A \cdot {e^{rt}}$

Số tiền người đó nhận được sau 1 tháng là $S = {20.10^6} \cdot {e^{0{,}06 \cdot \frac{1}{{12}}}} \simeq 20100250$ đồng.

Ta có $s(3) = 625$ nghìn con $\Rightarrow s(0) \cdot {2^3} = 625 \Rightarrow s(0) = \frac{{625}}{8}$ nghìn con.

Để số lượng vi khuẩn là 20 triệu con $\Rightarrow s(0) \cdot {2^t} = 20000 \Rightarrow {2^t} = 20000:\frac{{625}}{8}$

$\Rightarrow {2^t} = {2^8} \Rightarrow t = 8$.

Vậy thời gian để số vi khuẩn đạt 20 triệu con là 8 phút.

Theo công thức tăng trưởng mũ: $S = A \cdot {e^{n \cdot r}}$

$\Rightarrow 110000000 = 78685800 \cdot {e^{1{,}2\% \cdot n}} \Leftrightarrow n = \frac{1}{{1{,}2\% }}\ln \frac{{110000000}}{{78685800}} \simeq 27{,}91$

$\Rightarrow$ Sau 28 năm thì dân số Việt Nam đạt 110 triệu người.

Vậy dân số nước ta đạt 110 triệu người vào năm 2029.