Đề kiểm tra Đạo hàm (có lời giải) - Đề 1

Xét $\Delta x$là số gia của biến số tại điểm ${x_0} = 1$.

Ta có: $\Delta y = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)$$= 2\left( {1 + \Delta x} \right) - \left( {2.1} \right) = 2\Delta x$

Xét $\Delta x$là số gia của biến số tại điểm ${x_0} = 3$.

Ta có: $\Delta y = f\left( {3 + \Delta x} \right) - f\left( 3 \right)$$= - {\left( {3 + \Delta x} \right)^2} - \left( { - {3^2}} \right)$$= - \Delta x\left( {6 + \Delta x} \right)$

Ta có $y = {x^2} + 2x = f\left( x \right)$.

Tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ bằng 2 có hệ số góc là:

$y'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{x - 2}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 4} \right) = 6$.

Đáp án $A$, $B$ đúng vì theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm.

Đáp án $C$ đúng vì đặt $h = \Delta x = x - {x_0}$.

Đáp án $D$ sai.

Gọi $\Delta x$ là số gia của đối số và $\Delta y$ tương ứng là số gia của hàm số.

Ta có:

$\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = {\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^3} - {2^3} = x_0^3 + {\left( {\Delta x} \right)^3} + 3{x_0}\Delta x\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - 8$.

Với ${x_0} = 2$ và $\Delta x = 1$ thì $\Delta y = 19$.

Ta có: $f\left( x \right) = 2x\left( {x - 1} \right) = 2{x^2} - 2x$.

Gọi $\Delta x$ là số gia của đối số và $\Delta y$ tương ứng là số gia của hàm số.

$\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = 2{\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^2} - 2\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - \left( {2x_0^2 - 2{x_0}} \right) = 4{x_0}\Delta x + 2{\left( {\Delta x} \right)^2} - 2\Delta x$

$\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{4{x_0}\Delta x + 2{{\left( {\Delta x} \right)}^2} - 2\Delta x}}{{\Delta x}} = 4{x_0} + 2\Delta x - 2$.

Đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm ${x_0} = 3$ là $f'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}}$

( nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn).

Gọi $\Delta Y$là số gia của biến số tại điểm $Y$

Ta có $\Delta C = C\left( {Y + \Delta Y} \right) - C\left( Y \right) = 2Y.\Delta Y + {\left( {\Delta Y} \right)^2} + 20\Delta Y$

$\Rightarrow \frac{{\Delta C}}{{\Delta Y}} = \frac{{2Y.\Delta Y + {{\left( {\Delta Y} \right)}^2} + 20\Delta Y}}{{\Delta Y}} = 2Y + \Delta Y + 20$

$\Rightarrow C'\left( Y \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta Y \to 0} \frac{{\Delta C}}{{\Delta Y}} = 2Y + 20$.

$\Rightarrow C'\left( {100} \right) = 2.100 + 20 = 220$.

Nếu tăng số lượng sản phẩm từ 100 lên 101 thì chi phí tăng theo là 220 (USD).

Gọi $\Delta t$ là số gia của biến số tại ${t_0}$

$$\Delta s = {\left( {{t_0} + \Delta t} \right)^3} - 2{\left( {{t_0} + \Delta t} \right)^2} + 30\left( {{t_0} + \Delta t} \right) - \left( {{t_0}^3 - 2{t_0}^2 + 30{t_0}} \right)$$

$= \left( {{t_0}^3 + 3{t_0}^2\Delta t + 3{t_0}{{\left( {\Delta t} \right)}^2} + {{\left( {\Delta t} \right)}^3}} \right) - 2\left( {{t_0}^2 + 2{t_0}\Delta t + {{\left( {\Delta t} \right)}^2}} \right) + 30\Delta t - \left( {{t_0}^3 - 2{t_0}^2} \right)$.

$$\,\,\,\,\, = 3{t_0}^2\Delta t + 3{t_0}{\left( {\Delta t} \right)^2} + {\left( {\Delta t} \right)^3} + 30\Delta t - 4{t_0}\Delta t - 2{\left( {\Delta t} \right)^2}$$

$\frac{{\Delta s}}{{\Delta t}}\, = 3{t_0}^2 + 3{t_0}\Delta t + {\left( {\Delta t} \right)^2} + 30 - 4{t_0} - 2\Delta t$.

$$v({t_0}) = s'({t_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \left( {3{t_0}^2 + 3{t_0}\Delta t + {{\left( {\Delta t} \right)}^2} + 30 - 4{t_0} - 2\Delta t} \right) = 3{t_0}^2\, - 4{t_0}\, + 30(m/s).$$

Vận tốc của vật là: $v\left( {{t_0}} \right) = s'\left( {{t_0}} \right) = 3{t_0}^2\, - 4{t_0} + 30 = 3{\left( {{t_0} - \frac{2}{3}} \right)^2} + \frac{{86}}{3} \ge \frac{{86}}{3}$, dấu bằng khi ${t_0} = \frac{2}{3}$

Vận tốc nhỏ nhất của vật là $\frac{{86}}{3}\,\,m/s$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Với bất kì ${x_0}{\rm{, ta c\'o : }}\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{f^\prime }\left( {{x_0}} \right)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2{x^3} - 2x_0^3}}{{x - {x_0}}}}\\{}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x \cdot {x_0} + x_0^2} \right)}}{{x - {x_0}}}}\\{}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2\left( {{x^2} + x \cdot {x_0} + x_0^2} \right)}}{1} = 6x_0^2.}\end{array}$

Vậy ${f^\prime }(x) = {\left( {2{x^3}} \right)^\prime } = 6{x^2}$ trên $\mathbb{R}$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Với ${x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 1$

Ta có ${f^\prime }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x + 3) = 3$

Vậy phương trình tiếp tuyến là: $y = 3x + 1$

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 1 = f(0);\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = b$

Hàm số liên tục tại $x = 0 \Leftrightarrow b = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = - 1$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} a = a$

Hàm số có đạo hàm tại điểm $x = 0 \Leftrightarrow a = - 1$

Vậy$a = - 1,b = 1$ là giá trị cần tìm.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Hàm số liên tục tại $x = 1$ nên ta có $a + b = \frac{1}{2}$.

Hàm số có đạo hàm tại $x = 1$ nên giới hạn 2 bên của $\frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}$ bằng nhau và ta có:

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ax + b - \left( {a.1 + b} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{a\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} a = a$$

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x + 1} \right)}}{2} = 1$$

Vậy $a = 1;b = - \frac{1}{2}$.

Toạ độ giao điểm của $(C)$ với trục hoành là điểm $( - 1;0)$.

Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $( - 1;0)$ là:

$y - 0 = {f^\prime }( - 1)(x + 1) \Leftrightarrow y = - \frac{1}{3}(x + 1) \Leftrightarrow y = - \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}.$

Ta có: $f(0) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^3} + {x^2} + 1} - 1}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^3} + {x^2} + 1} + 1}} = \frac{1}{2}$.

Vậy ${f^\prime }(0) = \frac{1}{2}$.

Ta có: $\frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + x + |x + 1|}}{{x(x + 1)}}$

Nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x(x + 1)}} = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x(x + 1)}} = 2$.

Do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}}$.

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm ${x_0} = - 1$.

Vận tốc tức thời của chất điểm tại $t = 5$ là:

${s^\prime }(5) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{s(t) - s(5)}}{{t - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{\frac{1}{2}{t^2} - \frac{{25}}{2}}}{{t - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{\frac{1}{2}(t - 5)(t + 5)}}{{t - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{1}{2}(t + 5) = 5.{\rm{ }}$

Vậy $v(5) = {s^\prime }(5) = 5(\;m/s)$.

Với bất kì ${t_0}$, ta có:

${s^\prime }\left( {{t_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{s(t) - s\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{4{,}9{t^2} - 4{,}9t_0^2}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} 4{,}9\left( {t + {t_0}} \right) = 9{,}8{t_0}.$

Do đó, vận tốc của quả bóng tại thời điểm $t$ là $v(t) = {s^\prime }(t) = 9{,}8t$.

Mặt khác, vì chiều cao của toà tháp là $461{,}3\;m$ nên quả bóng sẽ chạm đất tại thời điểm ${t_1}$.

Từ đó, ta có: $4{,}9t_1^2 = 461{,}3 \Leftrightarrow {t_1} = \sqrt {\frac{{461{,}3}}{{4{,}9}}}$ (giây).

Vậy vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất là:

$v\left( {{t_1}} \right) = 9{,}8{t_1} = 9{,}8 \cdot \sqrt {\frac{{461{,}3}}{{4{,}9}}} \approx 95{,}1(\;m/s).$

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ, sao cho đỉnh cầu là gốc tọa độ và mặt cắt của cây cầu có hình dạng parabol $y = - a{x^2}$ (với $a$ là hằng số dương).

Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol bằng $k = {y^\prime }\left( {{x_0}} \right) = - 2a{x_0}, - 200 \le {x_0} \le 200$.

Hệ số góc xác định độ dốc của mặt cầu (độ dốc dương) là $|k| = 2a|x| \le 400a$.

Vì độ dốc của mặt cầu không vượt quá ${10}^{^{\circ}}$ nên ta có:

$400a\le \tan {10}^{^{\circ}}\Leftrightarrow a\le \frac{4{,}408174518}{10000}.$

Chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là đoạn $OI$, cũng chính là độ lớn của tung độ điểm $B$ khi a đạt giá trị lớn nhất.

Do đó, $OI=|-a\cdot {200}^{2}|=17{,}6(m)$.

Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là $17{,}6\;m$.