Đề kiểm tra cuối học kỳ 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 2

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

2x$^{2}$ + 3x – 5 = (x + 1)$^{2}$

⇒ 2x$^{2}$ + 3x – 5 = x$^{2}$ + 2x + 1

⇒ x$^{2}$ + x – 6 = 0

⇒ x = 2 hoặc x = –3.

Với x = 2, ta có $\sqrt {{{2.2}^2} + 3.2 - 5} = 2 + 1$ (đúng)

Với x = –3, ta có $\sqrt {2{{\left( { - 3} \right)}^2} + 3.\left( { - 3} \right) - 5} = - 3 + 1$ (sai)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = 2 và x = –3 vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

Ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có (2x – 5)(x + 2) ≥ x$^{2}$ – 4.

⇔ 2x$^{2}$ – x – 10 ≥ x$^{2}$ – 4.

⇔ x$^{2}$ – x – 6 ≥ 0.

Tam thức bậc hai f(x) = x$^{2}$ – x – 6 có ∆ = (–1)$^{2}$ – 4.1.(–6) = 25 > 0.

Suy ra f(x) có hai nghiệm phân biệt là:

$${x_1} = \frac{{1 - \sqrt {25} }}{2} = - 2;\,\,{x_2} = \frac{{1 + \sqrt {25} }}{2} = 3.$$

Ta lại có a = 1 > 0.

Vì vậy:

⦁ f(x) dương với mọi x thuộc hai khoảng (–∞; –2) và (3; +∞);

⦁ f(x) âm với mọi x thuộc khoảng (–2; 3);

⦁ f(x) = 0 khi x = –2 hoặc x = 3.

Vậy bất phương trình x$^{2}$ – x – 6 ≥ 0 có tập nghiệm là (–∞; –2] ∪ [3; +∞).

Do đó ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bất phương trình bậc hai một ẩn x là bất phương trình có một trong các dạng:

ax$^{2}$ + bx + c ≤ 0; ax$^{2}$ + bx + c < 0; ax$^{2}$ + bx + c ≥ 0; ax$^{2}$ + bx + c > 0 với a ≠ 0.

Trong bốn phương án A, B, C, D, ta thấy chỉ có phương án A là có dạng bất phương trình bậc hai một ẩn dạng ax$^{2}$ + bx + c ≤ 0 với a = 3, b = – 12 và c = 1.

Ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0), ta có:

⦁ Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị x.

Do đó phương án B, D đều sai.

⦁ Nếu ∆ = 0 và ${x_0} = - \frac{b}{{2a}}$ là nghiệm kép của f(x) thì f(x) cùng dấu với a với mọi x ≠ x$_{0}$.

Do đó phương án C đúng.

⦁ Nếu ∆ > 0 và x$_{1}$, x$_{2}$ là hai nghiệm của f(x) (x$_{1}$ < x$_{2}$) thì f(x) trái dấu với a với mọi x trong khoảng (x$_{1}$; x$_{2}$); f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc hai khoảng (–∞; x$_{1}$); (x$_{2}$; +∞).

Do đó phương án A sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Từ sơ đồ cây, ta thấy có 4 kết quả có thể xảy ra.

Do đó số loại giao tử của kiểu gen AaBb là 4.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Việc chọn một trong các quả cầu trong hộp có hai phương án thực hiện:

Phương án 1: Chọn một quả cầu màu trắng, có 6 cách chọn.

Phương án 2: Chọn một quả cầu màu đen, có 3 cách chọn.

Theo quy tắc cộng, ta có tất cả 6 + 3 = 9 cách chọn một quả cầu trong hộp.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Việc chọn một đồ vật duy nhất có ba phương án thực hiện:

Phương án 1: Chọn một cây bút chì, có 8 cách chọn.

Phương án 2: Chọn một cây bút bi, có 6 cách chọn.

Phương án 3: Chọn một cuốn tập, có 10 cách chọn.

Theo quy tắc cộng, ta có tất cả 8 + 6 + 10 = 24 cách chọn một đồ vật duy nhất.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Mỗi cách lấy k phần tử của tập X và sắp xếp chúng theo một thứ tự gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $A_{12}^4 = 12.\left( {12 - 1} \right).\left( {12 - 2} \right).\left( {12 - 3} \right) = 12.11.10.9$.

Do đó ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Công việc chọn học sinh tham gia cuộc thi có 3 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn 3 học sinh giỏi lớp 12.

Mỗi cách chọn 3 học sinh giỏi trong số 4 học sinh giỏi lớp 12 là một tổ hợp chập 3 của 4 phần tử.

Do đó số cách chọn 3 học sinh lớp 12 là: $C_4^3$ (cách).

Công đoạn 2: Chọn 1 học sinh giỏi lớp 11.

Mỗi cách chọn 1 học sinh giỏi trong số 3 học sinh giỏi lớp 11 là một tổ hợp chập 1 của 3 phần tử.

Do đó số cách chọn 1 học sinh lớp 11 là: $C_3^1$ (cách).

Công đoạn 3: Chọn 1 học sinh giỏi lớp 10.

Mỗi cách chọn 1 học sinh giỏi trong số 5 học sinh giỏi lớp 10 là một tổ hợp chập 1 của 5 phần tử.

Do đó số cách chọn 1 học sinh lớp 10 là: $C_5^1$ (cách).

Vậy theo quy tắc nhân, ta có tất cả $C_4^3.C_3^1.C_5^1 = 60$ cách chọn 5 học sinh giỏi của trường đó.

Ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có tổng số mũ của a, b trong mỗi hạng tử khi khai triển (a + b)$^{n}$ luôn bằng n.

Vậy tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử khi khai triển biểu thức (a + 2b)$^{5}$ bằng 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

${\left( {xy + \frac{1}{y}} \right)^5}$

$= C_5^0{\left( {xy} \right)^5}{\left( {\frac{1}{y}} \right)^0} + C_5^1{\left( {xy} \right)^4}{\left( {\frac{1}{y}} \right)^1} + C_5^2{\left( {xy} \right)^3}{\left( {\frac{1}{y}} \right)^2}$

$+ C_5^3{\left( {xy} \right)^2}{\left( {\frac{1}{y}} \right)^3} + C_5^4{\left( {xy} \right)^1}{\left( {\frac{1}{y}} \right)^4} + C_5^5{\left( {xy} \right)^0}{\left( {\frac{1}{y}} \right)^5}$

$= {x^5}{y^5} + 5{x^4}{y^4}.\frac{1}{y} + 10{x^3}{y^3}.\frac{1}{{{y^2}}} + 10{x^2}{y^2}.\frac{1}{{{y^3}}} + 5xy.\frac{1}{{{y^4}}} + \frac{1}{{{y^5}}}$

$= {x^5}{y^5} + 5{x^4}{y^3} + 10{x^3}y + 10{x^2}.\frac{1}{y} + 5x.\frac{1}{{{y^3}}} + \frac{1}{{{y^5}}}$

Vậy số hạng chứa x3y trong khai triển ${\left( {xy + \frac{1}{y}} \right)^5}$ là 10x3y.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Theo nhị thức Newton, ta có:

$P\left( x \right) = {\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5}$

$= {\left( {{x^3}} \right)^5} + 5.{\left( {{x^3}} \right)^4}.\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 10.{\left( {{x^3}} \right)^3}.{\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2}$$+ 10.{\left( {{x^3}} \right)^2}.{\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^3} + 5.{x^3}.{\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4} + {\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5}$

$= {x^{15}} - 5.{x^{12}}.\frac{1}{{{x^2}}} + 10.{x^9}.\frac{1}{{{x^4}}} - 10.{x^6}.\frac{1}{{{x^6}}} + 5.{x^3}.\frac{1}{{{x^8}}} - \frac{1}{{{x^{10}}}}$

$= {x^{15}} - 5.{x^{10}} + 10.{x^5} - 10 + 5.\frac{1}{{{x^5}}} - \frac{1}{{{x^{10}}}}$.

Ta thấy số hạng không chứa x là số hạng thứ 4 (theo chiều số mũ của x giảm dần).

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

${\left( {1 + x} \right)^5}$

$= C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}.x + C_5^2{.1^3}.{x^2} + C_5^3{.1^2}.{x^3} + C_5^4.1.{x^4} + C_5^5.{x^5}$

$= C_5^0 + C_5^1.x + C_5^2.{x^2} + C_5^3.{x^3} + C_5^4.{x^4} + C_5^5.{x^5}$

Cho x = 3, ta có:

${\left( {1 + 3} \right)^5} = C_5^0 + C_5^1.3 + C_5^2{.3^2} + C_5^3{.3^3} + C_5^4{.3^4} + C_5^5{.3^5}$.

Suy ra $S = C_5^0 + 3C_5^1 + {3^2}C_5^2 + {3^3}C_5^3 + {3^4}C_5^4 + {3^5}C_5^5 = {4^5}$.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Độ dài vectơ $\overrightarrow a$ là: $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điểm C là trung điểm của đoạn thẳng AB với A(2; 5) và B(6; 7) nên ta có:

${x_C} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{2 + 6}}{2} = 4$

${y_C} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{5 + 7}}{2} = 6$

Vậy C(4; 6).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Do $\overrightarrow {OA} = \left( {2;10} \right)$ nên A có tọa độ là (2; 10).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: A(1; 2), B(2; 3) nên $\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1;3 - 2} \right) = \left( {1;1} \right)$;

C(1; ‒1), D(4; 5) nên $\overrightarrow {CD} = \left( {4 - 1;5 + 1} \right) = \left( {3;3} \right)$.

Ta thấy: $\overrightarrow {CD} = 3\overrightarrow {AB}$ nên $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CD}$ cùng hướng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng có phương trình tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = t + 1\\y = 3t + 2\end{array} \right.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1;3} \right)$

Đường thẳng có phương trình tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = t + 1\\y = 2t + 3\end{array} \right.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1;2} \right).$

Đường thẳng có phương trình tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = t + 2\\y = t + 3\end{array} \right.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1;1} \right).$

Đường thẳng có phương trình tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = t + 3\\y = 2t + 1\end{array} \right.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1;2} \right).$

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Góc giữa 2 đường thẳng luôn là một góc nhỏ hơn hoặc bằng 90°.

Do đó chỉ có B là thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1;3} \right)$ nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3; - 1} \right)$.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {3; - 1} \right)$ và đi qua điểm M(3; 4) nên có phương trình tổng quát là: 3(x – 3) – 1.(y – 4) = 0 hay 3x – y – 5 = 0.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( {1;2} \right)$

Suy ra đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow n = \left( {2; - 1} \right)$.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2; - 1} \right)$ và đi qua điểm A(1; 3) nên có phương trình tổng quát là:

2(x – 1) – (y – 3) = 0 hay 2x – y + 1 = 0.

Đường thẳng d cắt 2 trục tọa độ Ox và Oy lần lượt tại M$\left( { - \frac{1}{2};0} \right)$ và $N\left( {0;1} \right)$.

Vậy phương trình đoạn chắn của đường thẳng d là: $\frac{x}{{ - \frac{1}{2}}} + \frac{y}{1} = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(a; b) tại điểm M(${x_0};{y_0}$) nằm trên đường tròn có dạng: (a – x$_{0}$)(x – x$_{0}$) + (b – y$_{0}$)(y – y$_{0}$) = 0.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tiếp tuyến của đường tròn có vectơ pháp tuyến là vectơ nối giữa tâm và tiếp điểm.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta loại phương án D vì không có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0.

Xét phương án A: x$^{2}$ + y$^{2}$ + 2x – 4y + 9 = 0 có a = –1, b = 2 và c = 9.

Do đó a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = (–1)$^{2}$ + 2$^{2}$ – 9 = –4 < 0 nên loại A.

Xét phương án B: x$^{2}$ + y$^{2}$ – 6x + 4y + 13 = 0 có a = 3; b = –2 và c = 13

Do đó a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = 3$^{2}$ + (–2)$^{2}$ – 13 = 0 nên loại B.

Xét phương án C: 2x$^{2}$ + 2y$^{2}$ – 8x – 4y + 2 = 0

Û x$^{2}$ + y$^{2}$ – 4x – 2y + 1 = 0.

Có a = 2; b = 1 và c = 1.

Do đó a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = 2$^{2}$ + 1$^{2}$ – 1 = 4 > 0 nên chọn C.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Từ phương trình Hypebol $\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1$ ta có a$^{2}$ = 16 và b$^{2}$ = 9

Mà a, b > 0 nên a = 4 và b = 3.

Do đó độ dài trục thực của Hypebol là 2a = 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Từ phương trình Parabol y$^{2}$ = 14x ta có 2p = 14 suy ra $\frac{p}{2} = \frac{7}{2}$.

Do đó phương trình đường chuẩn của Parabol là $x + \frac{7}{2} = 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: 2a = 20 và 2b = 10, do đó: a = 10 và b =5

Khi đó ta có phương trình Elip: $\frac{{{x^2}}}{{{{10}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{5^2}}} = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Khi đó $M\left( {\frac{3}{2};2} \right),\,\,N\left( {\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right)$

Đường trung trực d của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua M và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

$x - \frac{3}{2} + 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 4y - 11 = 0$

Đường trung trực ∆ của đoạn thẳng AC là đường thẳng đi qua N và nhận $\overrightarrow {AC} = \left( {3;5} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

$3\left( {x - \frac{5}{2}} \right) + 5\left( {y - \frac{7}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 5y - 25 = 0$

Đường thẳng d cắt đường thẳng ∆ cắt nhau tại điểm $I\left( {\frac{{45}}{2}; - \frac{{17}}{2}} \right)$ cách đều ba điểm A, B, C.

Do đó đường tròn đi qua ba điểm A, B, C có tâm $I\left( {\frac{{45}}{2}; - \frac{{17}}{2}} \right)$ và bán kính ${R^2} = I{A^2} = {\left( {1 - \frac{{45}}{2}} \right)^2} + {\left( {1 + \frac{{17}}{2}} \right)^2} = \frac{{1105}}{2}$

Ta có ${\left( {\frac{{45}}{2}} \right)^2} + {\left( { - \frac{{17}}{2}} \right)^2} - \frac{{1105}}{2} = 26$

Khi đó đường tròn (C) có phương trình là:

x$^{2}$ + y$^{2}$ – 45x + 17y + 36 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

⦁ Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử ngẫu nhiên được gọi là không gian mẫu. Do đó phương án A sai.

⦁ Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một hoạt động mà ta không thể biết trước được kết quả của nó. Do đó phương án B, C đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

⦁ Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một hoạt động mà ta không thể biết trước được kết quả của nó. Do đó phương án A sai.

⦁ Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố. Do đó phương án B đúng.

⦁ Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử ngẫu nhiên được gọi là không gian mẫu. Do đó phương án C sai.

⦁ Một kết quả thuộc biến cố được gọi là kết quả làm cho biến cố xảy ra, hoặc kết quả thuận lợi cho biến cố đó. Do đó phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

⦁ Ta thấy mỗi thẻ đều được đánh số từ 1 đến 5, đây là các số đều lớn hơn hoặc bằng 1.

Do đó khi tính tổng các số ghi trên cả ba tấm thẻ, ta sẽ được tổng các số đó đều lớn hơn hoặc bằng 3.

Vì vậy biến cố X là biến cố chắc chắn.

⦁ Ta có thể rút được 3 thẻ đều được ghi số 1.

Khi đó tổng các số ghi trên cả ba tấm thẻ là bằng 3 < 4 và 3 ≠ 8.

Do đó biến cố Y và biến cố Z không phải là biến cố chắc chắn.

⦁ Trong các số từ 1 đến 5, ta thấy số 5 lớn nhất.

Giả sử ba tấm thẻ được rút ra đều được ghi số 5.

Khi đó tổng ba số là 15.

Vì vậy không có 3 thẻ nào có tổng các số ghi trên thẻ cộng lại lớn hơn 15.

Do đó biến cố T là biến cố không thể.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xác suất của biến cố H là một số, kí hiệu là P(H), được xác định bởi công thức:

$P\left( H \right) = \frac{{n\left( H \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}$.

Trong đó n(H) và n(Ω) lần lượt kí hiệu số phần tử của tập H và Ω.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

⦁ Ta tìm số phần tử của không gian mẫu:

Giai đoạn 1: Chọn 1 tấm thẻ trong số 5 tấm thẻ ở hộp thứ nhất, ta có $C_5^1$ cách chọn.

Giai đoạn 2: Chọn 1 tấm thẻ trong số 5 tấm thẻ ở hộp thứ hai, ta có $C_5^1$ cách chọn.

Giai đoạn 3: Chọn 1 tấm thẻ trong số 5 tấm thẻ ở hộp thứ ba, ta có $C_5^1$ cách chọn.

Theo quy tắc nhân, ta có tất cả $C_5^1.C_5^1.C_5^1 = 125$ cách chọn.

Do đó n(Ω) = 125.

⦁ Tính số phần tử của biến cố theo yêu cầu bài toán:

Gọi A: “Kết quả thu được là số chẵn”.

Trường hợp 1: 2 thẻ là số lẻ (trong {1; 3; 5}) và 1 thẻ là số chẵn (trong {2; 4}).

Khi đó ta có $C_3^1.C_3^1.C_2^1 = 18$ cách chọn.

Trường hợp 2: Cả 3 thẻ đều là số chẵn.

Khi đó ta có $C_2^1.C_2^1.C_2^1 = 8$ cách chọn.

Kết hợp cả hai trường hợp, ta được n(A) = 18 + 8 = 26.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{26}}{{125}}$.

Ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 5! = 120.

Gọi biến cố A: “Số tìm được không có dạng $\overline {135xy}$ ”.

Suy ra biến cố đối của biến cố A là: $\bar A$: “Số tìm được có dạng $\overline {135xy}$”.

⦁ x có 2 cách chọn là x = 7 hoặc x = 9.

⦁ y có 1 cách chọn.

Theo quy tắc đếm, ta có $n\left( {\bar A} \right)$ = 1.1.1.2.1 = 2 cách chọn.

Vì vậy xác suất của biến cố $\bar A$ là: $P\left( {\bar A} \right) = \frac{{n\left( {\bar A} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{{120}} = \frac{1}{{60}}$.

Ta có $P\left( A \right) + P\left( {\bar A} \right) = 1$.

Suy ra $P\left( A \right) = 1 - P\left( {\bar A} \right) = 1 - \frac{1}{{60}} = \frac{{59}}{{60}}$.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ điểm I(a; 0).

Khi đó:

$\overrightarrow {AI} \left( {a - 3; - 1} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + 1} = \sqrt {{a^2} - 6a + 10}$

$\overrightarrow {BI} \left( {a + 2; - 4} \right) \Rightarrow IB = \sqrt {{{\left( {a + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} + 4a + 20}$

Mà IA = IB = R nên $\sqrt {{a^2} - 6a + 10} = \sqrt {{a^2} + 4a + 20}$

⇒ a$^{2}$ – 6a + 10 = a$^{2}$ + 4a + 20

⇒ – 10a = 10

⇒ a = – 1

Thay vào lại phương trình ta thấy a = -1 thỏa mãn.

Suy ra I(– 1; 0) và $R = IA = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} - 6\left( { - 1} \right) + 10} = \sqrt {17}$.

Vì vậy phương trình đường tròn (C) là: (x + 1)$^{2}$ + y$^{2}$ = 17.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $n\left( \Omega \right) = C_5^1$

Gọi A là biến cố: “Lấy được một quả màu đen”.

Để lấy được một quả bóng đen từ hộp thứ nhất có: n(A) = $C_3^1$.

Vì vậy xác suất để biến cố A xảy ra là: P(A) = $\frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_3^1}}{{C_5^1}} = \frac{3}{5}$.

b) Ta có: $n\left( \Omega \right) = C_5^1C_{10}^1$

Gọi B là biến cố: “Lấy được 2 quả cùng màu”.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố B được chia làm 2 phương án:

Phương án 1: Hai quả bóng lấy ra đều màu đen có $C_3^1.C_4^1$ cách.

Phương án 2: Hai quả bóng lấy ra đều màu trắng có $C_2^1.C_6^1$ cách.

⇒ n(B) = $C_3^1.C_4^1$.

Vì vậy xác suất để biến cố B xảy ra là: P(B) = $\frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_3^1.C_4^1 + C_2^1.C_6^1}}{{C_5^1.C_{10}^1}} = \frac{{12}}{{25}}$.

Hướng dẫn giải

Cách để thực hiện được chia làm 3 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn 3 bưu thiếp có: $C_5^3$ cách.

Công đoạn 2: Ứng 3 bưu thiếp số cách chọn 3 bì thư là: $C_6^3$ cách.

Công đoạn 3: Có 3! Cách để nhét 3 bưu thiếp vào mỗi phong bì tương ứng.

Vậy có: $C_5^3.C_6^3.2! = 1\,200$ cách.