Đề kiểm tra Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;0;0} \right)$.

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;1;1} \right)$.

$\cos \left( {\left( {Oyz} \right);\left( \alpha \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = 0$.

$\left( {\left( {Oyz} \right);\left( \alpha \right)} \right) = {90^0}$.

$\Delta :\frac{{x + 1}}{{ - 5}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{z}{{\sqrt 2 }}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( { - 5;3;\sqrt 2 } \right)$

$\cos \left( {\Delta ,Oy} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 5.0 + 3.1 + \sqrt 2 .0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {3^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{2}$$\Rightarrow \left( {\Delta ,Oy} \right) = 60^\circ$

Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1; - \sqrt 2 ;1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$.

$\sin \left( {\Delta ;\left( \alpha \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow j } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow j } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow j } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

$\left( {\Delta ;\left( {Oxz} \right)} \right) = {45^0}$.

$\left( P \right):x + 2y + 2z - 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2;2} \right)$.

$\left( Q \right):3x - 4y = 1$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 4;0} \right)$.

$\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.3 + 2.\left( { - 4} \right) + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \approx 71^\circ$.

Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {2; - 2;1} \right)$.

Đường thẳng $\Delta '$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {u'} = \left( {1;2;1} \right)$.

$\cos \left( {\Delta ;\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{3.\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{{18}}$.

$d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 5t\\y = - 2 + t\\z = 1\end{array} \right.$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {5;1;0} \right)$.

$(P):3x - 2y + 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {3; - 2;0} \right)$.

$\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {5.3 + 1.\left( { - 2} \right) + 0} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {d,\left( P \right)} \right) = 45^\circ$.

Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)$.

Đường thẳng $\Delta '$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {u'} = \left( {2;1;1} \right)$.

$\cos \left( {\Delta ;\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{1}{2}.$

Nên $\left( {\Delta ;\Delta '} \right) = {60^0}$.

Ta có $\left( {ABC} \right):\frac{x}{{\frac{8}{3}}} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{\frac{8}{5}}} = 1$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {\frac{3}{8};\frac{1}{2};\frac{5}{8}} \right)$

$\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = - 1 - 4t\\z = 5 - 5t\end{array} \right.$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( { - 3; - 4; - 5} \right)$.

$$\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\frac{3}{8}.\left( { - 3} \right) + \frac{1}{2}.\left( { - 4} \right) + \frac{5}{8}.\left( { - 5} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{3}{8}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{8}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = 1 \Rightarrow \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = 90^\circ$$

Trong khoảng thời gian ngắn đó, máy bay chuyển động trên đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ nhân $\overrightarrow v = \left( {0;\sqrt 3 ;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

$\sin \left( {\Delta ;\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow v ;\overrightarrow k } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow v .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow v } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{1}{2}$

Nên $\left( {\Delta ;\left( {Oxy} \right)} \right) = {30^0}$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua hai điểm $A$, $B$ nên $\left\{ \begin{array}{l}b - 1 = 0\\a - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow a = b = 1$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)$. Mặt $\left( {Oyz} \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow i = \left( {1;\,\,0;\,\,0} \right)$.

Gọi $\alpha$ là góc tọa bởi $\left( P \right)$ và $\left( {Oyz} \right)$ suy ra $\alpha = 60^\circ$.

Ta có: $\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} \Leftrightarrow \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt 1 }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} = 2\left| a \right|$ (*).

Thay $a = b = 1$ vào phương trình (*) ta được: $\sqrt {2 + {c^2}} = 2 \Rightarrow c = - \sqrt 2$.

Khi đó $a + b + c = 2 - \sqrt 2$.

· Gọi $O$là trung điểm của $BC$. Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Ta có: $OB = AB\sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$; $OA = AB\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

· Suy ra $A\left( {\frac{1}{2};0;0} \right)$, $B\left( {0; - \frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)$,$C\left( {0;\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)$, $I\left( {0;\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2}} \right)$, $B'\left( {0; - \frac{{\sqrt 3 }}{2};1} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ và $\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AI} } \right] = \left( { - \frac{{3\sqrt 3 }}{4}; - \frac{1}{4}; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$

· Gọi $\alpha$ là góc giữa $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {AB'I} \right)$. Suy ra: $\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \sqrt {\frac{3}{{10}}} = \frac{{\sqrt {30} }}{{10}}$.

a) Đúng

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\overrightarrow {{n_\alpha }} \left( {1; - 2;2} \right)$, véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \beta \right)$ là $\overrightarrow {{n_\beta }} \left( {2\,;\,m\,;\,m} \right)$.

b) Sai

Đường thẳng $\Delta$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {3\,;\,4\,;\,5} \right)$;

c) Sai

Đường thẳng $\Delta$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {3\,;\,4\,;\,5} \right)$; Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; - 2;2} \right)$.

Ta có: $\sin \left( {\Delta ,\left( \alpha \right)} \right) = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right)} \right| = \frac{{\left| {3.1 + 4.\left( { - 2} \right) + 5.2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}$.

d) Đúng

Đường thẳng $\Delta$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {3\,;\,4\,;\,5} \right)$; véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \beta \right)$ là $\overrightarrow {{n_\beta }} \left( {2\,;\,m\,;\,m} \right)$.

Ta có: $\sin \left( {\Delta ,\left( {\left( \beta \right)} \right)} \right) = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {3.2 + 4.m + 5.m} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} .\sqrt {{2^2} + {m^2} + {m^2}} }} = \frac{{\left| {6 + 9m} \right|}}{{5\sqrt 2 .\sqrt {4 + 2{m^2}} }} = \frac{{\left| {6 + 9m} \right|}}{{10.\sqrt {2 + {m^2}} }}$.

Do góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $\left( \beta \right)$ bằng $60^\circ$nên ta có: $\begin{array}{l}\sin 60^\circ = \frac{{\left| {6 + 9m} \right|}}{{10.\sqrt {2 + {m^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\left| {6 + 9m} \right|}}{{10.\sqrt {2 + {m^2}} }} \Leftrightarrow 3.25.\left( {2 + {m^2}} \right) = 9.{\left( {3m + 2} \right)^2} \Leftrightarrow 2{m^2} + 36m - 38 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m = 1}\\{m = - 19}\end{array}} \right.\end{array}$

a) Sai

Với $m = 1$ thì mặt phẳng $\left( Q \right)$ có phương trình: $x + y + 2019 = 0$.

Mặt phẳng $(P):x + 2y - 2z + 1 = 0$ có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\,2;\, - 2} \right)$.

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\,1;\,0} \right)$.

$\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2.1 + \left( { - 2} \right).0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy góc giữa mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt phẳng $\left( Q \right)$ bằng $45^\circ$.

b) Đúng.

Ta có $\overrightarrow {OH} = \left( {2;\,2;\,1} \right)$ là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng$\left( R \right)$.

$\left| {cos\left( {\overrightarrow {OH} ,\,\overrightarrow {{n_1}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.2 + 2.2 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{9}$.

Vậy côsin góc giữa mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt phẳng $\left( R \right)$ là $\frac{4}{9}$.

c) Sai.

Mặt phẳng $(P):x + 2y - 2z + 1 = 0$ có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\,2;\, - 2} \right)$.

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\,m;\,m - 1} \right)$.

$\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\left| {1.1 + 2m - 2\left( {m - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {m^2} + {{\left( {m - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2{m^2} - 2m + 2} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {m^2} - m - 1 = 0$.

$\Rightarrow {m_1} + {m_2} = 1$.

d) Sai.

$\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2m - 2\left( {m - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {m^2} + {{\left( {m - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt {2{m^2} - 2m + 2} }} = \frac{1}{{3.\sqrt {2{{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{2}} }} \le \frac{1}{{3\sqrt {\frac{3}{2}} }}$ Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow {\rm{ }}m = \frac{1}{2}$.

a) Đúng

Véc tơ chỉ phương của đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ lần lượt là ${\overrightarrow u _{_1}} = \left( {1\,;\, - \sqrt 2 \,;\,1} \right)$, ${\overrightarrow u _{_2}} = \left( {1\,;\, - 2\,;\,1} \right)$.

b) Sai

Ta có: $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 - \sqrt 2 .\left( { - 2} \right) + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{2 + 2\sqrt 2 }}{{2\sqrt 6 }} = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 6 }}$

c) Sai

Véc tơ chỉ phương của đường thẳng ${d_1}$ và $\Delta$ lần lượt là ${\overrightarrow u _{_1}} = \left( {1\,;\, - \sqrt 2 \,;\,1} \right)$, ${\overrightarrow u _{_\Delta }} = \left( {1\,;\,\sqrt 2 \,;\,m} \right)$.

Ta có $\cos \left( {{d_1},\Delta } \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 - \sqrt 2 .\sqrt 2 + 1.m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\sqrt 2 }^2} + {m^2}} }} = \frac{{\left| {m - 1} \right|}}{{2\sqrt {{m^2} + 3} }}.$

Do góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng ${d_1}$ bằng $60^\circ$nên ta có:

$$\cos 60^\circ = \frac{{\left| {m - 1} \right|}}{{2\sqrt {{m^2} + 3} }} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{\left| {m - 1} \right|}}{{2\sqrt {{m^2} + 3} }} \Leftrightarrow \left| {m - 1} \right| = \sqrt {{m^2} + 3} \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 = {m^2} + 3 \Leftrightarrow m = - 1$$

d) Sai

Véc tơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ và $\Delta$ lần lượt là $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1\,;\,\sqrt 2 \,;\,0} \right)$, ${\overrightarrow u _{_\Delta }} = \left( {1\,;\,\sqrt 2 \,;\,m} \right)$.

Ta có $\cos \left( {AB,\Delta } \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1.1 + \sqrt 2 .\sqrt 2 + 0.m} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\sqrt 2 }^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\sqrt 2 }^2} + {m^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 \sqrt {{m^2} + 3} }}.$

Do góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng ${d_1}$ bằng $45^\circ$nên ta có:

$$\cos 45^\circ = \frac{1}{{\sqrt 3 \sqrt {{m^2} + 3} }} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{{\sqrt 3 \sqrt {{m^2} + 3} }} \Leftrightarrow \sqrt 6 \sqrt {{m^2} + 3} = 2 \Leftrightarrow 3{m^2} + 7 = 0$$

Không có giá trị nào của tham số $m$thỏa mãn góc giữa đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng $AB$bằng $45^\circ$

a) Sai.

Ta có ${D_1}\left( {0;\,0;\,0} \right)$, ${A_1}\left( {0;\,1;\,0} \right)$, C$_{1}$(1;0;0), ${B_1}\left( {1;\,1;\,0} \right)$.

$\overrightarrow {{D_1}{A_1}} = \left( {0;\,1;\,0} \right)$, $\overrightarrow {{D_1}{C_1}} = \left( {1;\,0;\,0} \right)$.

Một vectơ pháp tuyến của $\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)$ là $\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {{D_1}{A_1}} ;\,\overrightarrow {{D_1}{C_1}} } \right] = \left( {0;\,0;\, - 1} \right)$.

b) Sai.

Ta có $D\left( {0;\,0;\,x} \right)$, $\overrightarrow {D{B_1}} = \left( {1;\,1;\, - x} \right)$.

Vì góc của ${B_1}D$ mặt phẳng $\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)$ bằng $60^\circ$.

Suy ra $sin\left( {{B_1}D;\,\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {D{B_1}} } \right)} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$$\Leftrightarrow \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 6 = 0 \Rightarrow x = \sqrt 6$.

c) Sai.

Ta có $C\left( {1;\,0;\,x} \right),\,\overrightarrow {{D_1}{B_1}} = \left( {1;\,1;\,0} \right),\,\overrightarrow {{D_1}C} = \left( {1;\,0;\,x} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {C{B_1}{D_1}} \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {{D_1}{B_1}} ,\,\overrightarrow {{D_1}C} } \right] = \left( {x;\, - x;\, - 1} \right)$.

Vì góc giữa mặt phẳng $\left( {C{B_1}{D_1}} \right)$ và mặt phẳng $\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)$bằng $45^\circ$.

Suy ra $\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow 2{x^2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

d) Sai

Gọi góc giữa đường thẳng ${B_1}D$ mặt phẳng $\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)$ là $\alpha$.

Khi đó $\sin \alpha = \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} < 1$.

Không tồn tại $x$để góc giữa đường thẳng ${B_1}D$ mặt phẳng $\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)$ lớn nhất.

Đường thẳng ${d_1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 2; - 3} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 4;1;5} \right)$.

Do đó $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| { - 4 - 2 - 15} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 9} .\sqrt {16 + 1 + 25} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy góc giữa hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ là $30^\circ$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2\,;\,1\,;\, - 2} \right)$, mặt phẳng $\left( Q \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1\,;\, - 2\,;\,2} \right)$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ ta có

$\cos \,\alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 - 1.2 - 2.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{9}$.

Ta có : $\overrightarrow {AB} = \left( {0;15;\frac{{ - 4}}{5}} \right)$, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)$.

$$\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {0.0 + 15.0 + 1.\frac{{ - 4}}{5}} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {{15}^2} + {{\left( {\frac{{ - 4}}{5}} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + 1} }} = \frac{{4\sqrt {5641} }}{{5641}}$$

$$\Rightarrow \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) \approx 3^\circ$$

Vậy góc giữa đường bay và sân bay khoảng $3^\circ$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ, ta có mặt phẳng $\left( {A'B'C'D'} \right)$ trùng với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ nên có phương trình $z = 0$, suy ra vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)$.

Ta có $A\left( {0\,;\,0\,;\,a} \right)$, $C\left( {a\,;\,a\,;\,a} \right)$,$D'\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)$,$\overrightarrow {AC} = \left( {a\,;\,a\,;\,0} \right)$,$\overrightarrow {AD'} = \left( {a\,;\,0\,;\, - a} \right)$ nên mặt phẳng $\left( {ACD'} \right)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1;1;0} \right)$,$\overrightarrow v = \left( {1;0; - 1} \right)$. Mặt phẳng $\left( {ACD'} \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; - 1;1} \right)$. Gọi $\varphi$ là góc giữa mặt phẳng $\left( {ACD'} \right)$ và mặt phẳng $\left( {A'B'C'D'} \right)$.

Ta có $\cos \varphi = = \left| {\frac{{1.0 + 0.\left( { - 1} \right) + 1.1}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }}} \right| = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ .

Chọn hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục là centimét) sao cho các cạnh của hình hộp trùng

với các trục tọa độ như hình trên.

Do hình hình hộp có kích thước đáy là $1\,{\rm{m}} \times 1\,{\rm{m}}$ nên $A\left( {100;0;25} \right)$, $B\left( {0;0;b} \right)$, $C\left( {0;100;75} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 100;0;b - 25} \right)$ và $\overrightarrow {AC} = \left( { - 100;100;50} \right)$.

Nên ${\overrightarrow n _{\left( {ABC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2500 - 100b;7500 - 100b; - 10000} \right) = 100\left( {25 - b;75 - b; - 100} \right)$.

Để góc giữa mặt nước và mặt đáy bể đạt giá trị nhỏ nhất thì $\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {Oxy} \right)} \right)$ đạt giá trị lớn nhất.

Khi đó $\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}},\overrightarrow k } \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}.\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}} \right|\left| {\overrightarrow k } \right|}}$.

$= \frac{{100}}{{\sqrt {{{\left( {25 - b} \right)}^2} + {{\left( {75 - b} \right)}^2} + {{\left( { - 100} \right)}^2}} }} = \frac{{100}}{{\sqrt {2{b^2} - 200b + 16250} }}$.

Để $\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{100}}{{\sqrt {2{b^2} - 200b + 16250} }}$ đạt giá trị lớn nhất

thì biểu thức $P = 2{b^2} - 200b + 16250$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Dễ thấy biểu thức $P = 2{b^2} - 200b + 16250$ là một hàm số bậc hai nên đạt giá trị nhỏ nhất là $P = 11250$

tại $b = 50$ hay giá trị $\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {Oxy} \right)} \right)$ đạt giá trị lớn nhất là $\frac{{2\sqrt 2 }}{3}$ khi $b = 50$.

Ta có $(d):\{\begin{matrix}x=3+2t \\ y=1+t \\ z=-3+2t\end{matrix}$, gọi $I$ là giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$, ta có phương

trình $3 + 2t - 3.\left( {1 + t} \right) - 3 + 2t + 2 = 0$$\Leftrightarrow t = 1$. Khi đó $I\left( {5\,;\,2\,;\, - 1} \right)$.

Gọi $M$ là điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng $\left( d \right)$$\left( {M \ne I} \right)$, $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $\left( P \right)$ và giao tuyến $\left( \Delta \right)$ của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Khi đó góc giữa $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$là $\widehat {MKH}$.

$\tan \widehat {MKH} = \frac{{MH}}{{HK}} \ge \frac{{MH}}{{HI}}$. Suy ra $\widehat {MKH}$ nhỏ nhất khi $HK = HI$ hay $I \equiv K$ khi đó $\left( d \right) \bot \left( \Delta \right)$.

$\left( d \right)$ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2\,;\,1\,;\,2} \right)$ và $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1\,;\, - 3\,;\,1} \right)$ nên $\left( \Delta \right)$ có

vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{n_1}} } \right] = \left( {7\,;\,0\,;\, - 7} \right)$ hay $\overrightarrow{{u}_{2}}=(1\ ;\ 0\ ;\ -1)$

$\left( Q \right)$chứa $\left( \Delta \right)$ và $\left( d \right)$ nên nhận $\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {{u_2}} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( {1;\, - 4\,;\,1} \right)$làm vectơ pháp tuyến.

Vậy mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $M\left( {3\,;1\,;\, - 3} \right)$ và nhận $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1\,; - 4\,;\,1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương

trình

$1.\left( {x - 3} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + \left( {z + 3} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x - 4y + z + 4 = 0$.

Vậy $m = 4$.