Đề kiểm tra Cấp số nhân lớp 11 (có lời giải) - Đề 3

Chọn B

Ta có cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có: $\ \{\begin{matrix}{u}_{k}=16 \\ {u}_{k+1}=36\end{matrix}\Rightarrow q=\frac{{u}_{k+1}}{{u}_{k}}=\frac{9}{4}\underset{}{\rightarrow }{u}_{k+2}={u}_{k+1}q=81$

Chọn B

Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân ta có: ${u_4} = {u_1}.{q^3} = ( - 4){.5^3} = - 500$.

Vậy ${u_4} = - 500$.

Chọn D

Dãy số đã cho lập thành cấp số nhân khi $\left\{ \begin{array}{l}b \ge 0\\b = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 2 = - 1\end{array} \right..$ Vậy không có giá trị nào của b.

Chọn C

Điều kiện: $\cos \alpha \ne 0 \Leftrightarrow \alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có: ${\cos ^2}\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{6}.{\mkern 1mu} \tan \alpha$$\Leftrightarrow 6{\cos ^2}\alpha = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{\cos \alpha }}$.

$\Leftrightarrow 6{\cos ^3}\alpha - {\sin ^2}\alpha = 0$$\Leftrightarrow 6{\cos ^3}\alpha + {\cos ^2}\alpha - 1 = 0$$\Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2}$.

Ta có: $\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 2.\,{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 1 = - \frac{1}{2}$.

Chọn D

Gọi $q$ $\left( {q \ne 0} \right)$ là công bội của cấp số nhân $a$, $b$, $c$, $d$, $e$. Khi đó $\frac{1}{a}$, $\frac{1}{b}$, $\frac{1}{c}$, $\frac{1}{d}$, $\frac{1}{e}$ là cấp số nhân có công bội $\frac{1}{q}$.

Theo đề Câu ta có

$\left\{ \begin{array}{l}a + b + c + d + e = 40\\\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{1}{e} = 10\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.\frac{{1 - {q^5}}}{{1 - q}} = 40\\\frac{1}{a}.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{q}} \right)}^5}}}{{1 - \frac{1}{q}}} = 10\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.\frac{{1 - {q^5}}}{{1 - q}} = 40\\\frac{1}{a}.\frac{{{q^5} - 1}}{{{q^4}\left( {q - 1} \right)}} = 10\end{array} \right.$$\Leftrightarrow {a^2}{q^4} = 4$.

Ta có $S = abcde$$= a.aq.a{q^2}.a{q^3}.a{q^4}$$= {a^5}{q^{10}}$.

Nên ${S^2} = {\left( {{a^5}{q^{10}}} \right)^2}$$= {\left( {{a^2}{q^4}} \right)^5} = {4^5}$.

Suy ra $\left| S \right| = \sqrt {{4^5}} = 32$.

Chọn A

Ta có $\frac{{{3^n} - 1}}{{{3^{n - 1}}}} = 3\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}} \right) = {S_n} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\left( {1 - {q^n}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\left( {1 - q} \right)\\q = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\q = \frac{1}{3}\end{array} \right..$ Khi đó

${u_5} = {u_1}{q^4} = \frac{2}{{{3^4}}}$

Chọn D

$\left\{ \begin{array}{l} - 6 = {u_2} = {u_1}q\\ - 486 = {u_6} = {u_1}{q^5} = {u_1}q.{q^4} = - 6.{q^4}\end{array} \right. \Rightarrow {q^4} = 81 = {3^4} \Rightarrow q = 3.$

Chọn C.

Ba số: $2x - 1;{\rm{ }}x;{\rm{ }}2x + 1$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân $\Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = {x^2}$$\Leftrightarrow 4{x^2} - 1 = {x^2}$ $\Leftrightarrow 3{x^2} = 1$$\Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}.$

Chọn B

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + q + {q^2} + {q^3}) = 15\\u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + {q^6}} \right) = 85\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}} = 15\\u_1^2\frac{{{q^8} - 1}}{{{q^2} - 1}} = 85\end{array} \right.$

$\Rightarrow {\left( {\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}}} \right)^2}\left( {\frac{{{q^2} - 1}}{{{q^8} - 1}}} \right) = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \frac{{({q^4} - 1)(q + 1)}}{{(q - 1)({q^4} + 1)}} = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.$

Từ đó ta tìm được ${u_1} = 1,{u_1} = 8$.

Giả sử $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân công bội $q,$ thì

Dãy ${u_1}{\rm{; }}{u_3}{\rm{; }}{u_5}{\rm{; }}...$là cấp số nhân công bội ${q^2}.$

Dãy $3{u_1}{\rm{; }}3{u_2};{\rm{ }}3{u_3}{\rm{; }}...$là cấp số nhân công bội $2q.$

Dãy $\frac{1}{{{u_1}}};{\rm{ }}\frac{1}{{{u_2}}};{\rm{ }}\frac{1}{{{u_3}}};{\rm{ }}...$là cấp số nhân công bội $\frac{1}{q}.$

Dãy ${u_1} + 2;{\rm{ }}{u_2} + 2;{\rm{ }}{u_3} + 2;{\rm{ }}...$không phải là cấp số nhân. Chọn D.

Cấp số nhân $2;{\rm{ }}\,8;{\rm{ }}\,x;{\rm{ }}\,128$ theo thứ tự đó sẽ là ${u_1};\,\,{u_2};\,\,{u_3};\,\,{u_4}$, ta có

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\\\frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{8}{2} = \frac{x}{8}\\\frac{{128}}{x} = \frac{x}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 32\\{x^2} = 1024\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 32\\\left[ \begin{array}{l}x = 32\\x = - 32\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 32$.

Gọi công bội của CSN bằng $q$. Suy ra ${u_4} = {u_2}.{q^2}$$\Rightarrow q = \pm 2$. Do CSN có các số hạng không âm nên $q = 2$.

Ta có ${S_{12}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{12}}}}{{1 - q}}$$= 3.\frac{{1 - {2^{12}}}}{{1 - 2}}$$= 3\left( {{2^{12}} - 1} \right)$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

a) Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân đã cho.

$\text{Ta có:}\{\begin{matrix}{u}_{1}+{u}_{5}=51 \\ {u}_{2}+{u}_{6}=102\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}+{u}_{1}{q}^{4}=51 \\ {u}_{1}q+{u}_{1}{q}^{5}=102\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}(1+{q}^{4})=51(1) \\ {u}_{1}q(1+{q}^{4})=102(2)\end{matrix}$

Nhận xét: Nếu ${u_1} = 0$ hay $q = 0$ thì (1) và (2) đều không thoả mãn, vì vậy ta có ${u_1}q \ne 0$. Chia theo vế (2) cho (1), ta được: $q = 2$.

Thay $q = 2$ vào (1) suy ra ${u_1} = \frac{{51}}{{1 + {2^4}}} = 3$.

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: ${u_n} = 3 \cdot {2^{n - 1}}$.

b) ${u_4} = {3.2^3} = 24$

c) Xét ${u_n} = 12288 \Leftrightarrow {3.2^{n - 1}} = 12288 \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = {2^{12}} \Leftrightarrow n = 13$.

Vậy 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho.

d) Tổng tám số hạng đầu của cấp số nhân là: ${S_8} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^8}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3.\left( {1 - {2^8}} \right)}}{{1 - 2}} = 765$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) Ta có: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{( - 7)}^{n + 1}} \cdot {5^{3(n + 1) - 1}}}}{{{{( - 7)}^n} \cdot {5^{3n - 1}}}} = \frac{{( - 7) \cdot {5^2}}}{{{5^{ - 1}}}} = - 7 \cdot {5^3} = - 875$ không đổi.

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội $q = - 875$.

b) Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} = 2}\\{{u_{n + 1}} = - 5{u_n}}\end{array}} \right.$. Khi đó $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{ - 5{u_n}}}{{{u_n}}} = - 5$

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội $q = - 5$.

c) Ta có: ${u_2} = u_1^2 = {2^2} = 4;{u_3} = u_2^2 = {4^2} = 16;{u_4} = u_3^2 = {16^2} = 256$

Khi đó: $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{4}{2} = 2;\frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} = \frac{{256}}{{16}} = 16$

Nhận thấy: $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}}(2 \ne 16)$

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ không là cấp số nhân.

d) Ta có: $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \left( { - \frac{1}{4}} \right):\left( { - \frac{1}{8}} \right) = 2;\frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} = 1:\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 2$

Nhận thấy: $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}}(2 \ne - 2)$

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ không là cấp số nhân.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Ngày thứ nhất Aladin ước 3 điều.

Ngày thứ hai Aladin ước 2.3 điều.

Ngày thứ ba Aladin ước $2.2.3 = {2^2}.3$ điều.

Ngày thứ tư Aladin ước $2 \cdot {2^2} \cdot 3 = {2^3} \cdot 3$ điều. ...

Ngày thứ 10 Aladin ước ${2^9}.3$ điều.

Vậy sau 10 ngày Aladin đã ước: $3\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + \ldots + {2^9}} \right) = 3\left( {\frac{{1 - {2^{10}}}}{{1 - 2}}} \right) = 3069$ điều.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) b) Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_4} - {u_2} = 54}\\{{u_5} - {u_3} = 108}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1}{q^3} - {u_1}q = 54}\\{{u_1}{q^4} - {u_1}{q^2} = 108}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1}q\left( {{q^2} - 1} \right) = 54}\\{{u_1}{q^2}\left( {{q^2} - 1} \right) = 108}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} = \frac{{54}}{{q({q^2} - 1)}}}\\{\frac{1}{q} = \frac{{54}}{{108}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} = \frac{{54}}{{2({2^2} - 1)}}}\\{q = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} = 9}\\{q = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

c) Ta có: ${S_n} = 4599 \Leftrightarrow \frac{{{u_1} \cdot \left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = 4599 \Leftrightarrow \frac{{9 \cdot \left( {1 - {2^n}} \right)}}{{1 - 2}} = 4599$

$\Leftrightarrow - 9.\left( {1 - {2^n}} \right) = 4599 \Leftrightarrow 1 - {2^n} = - 511 \Leftrightarrow {2^n} = 512 \Leftrightarrow n = 9$

Vậy tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng 4599.

d) Ta có: ${u_k} = 576 \Leftrightarrow {u_1} \cdot {q^{k - 1}} = 576 \Leftrightarrow {9.2^{k - 1}} = 576 \Leftrightarrow {2^{k - 1}} = 64 \Leftrightarrow k - 1 = 6 \Leftrightarrow k = 7$

Vậy số 576 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.

Giả sử rằng các số hạng của cấp số nhân đều là số dương.

Theo giả thiết ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_4} = 125}\\{{u_{10}} = \frac{{125}}{{64}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1}{q^3} = 125}\\{{u_1}{q^9} = \frac{{125}}{{64}}}\end{array}} \right.} \right.$.

Chia vế theo vế của hai phương trình ta có ${q^6} = \frac{1}{{64}} \Leftrightarrow q = \pm \frac{1}{2}$.

Với $q = \frac{1}{2} \Rightarrow {u_1} = 1000 \Rightarrow {u_{14}} = {u_1}{q^{13}} = \frac{{125}}{{1024}}$.

Với $q = - \frac{1}{2} \Rightarrow {u_1} = - 1000$ (loại).

Vậy ${u_{14}} = \frac{{125}}{{1024}}$.

Số vi khuẩn mỗi giờ tạo thành cấp số nhân với ${u_1} = 5000$ và công bội $q = 1.08$

Công thức tổng quát: ${u_n} = 5000 \times {1.08^{n - 1}}$

Sau 5 giờ số vi khuẩn là: ${u_5} = 5000 \times {1.08^{5 - 1}} = 5161$ (con vi khuẩn)

Gọi ${u_n}$ là số triệu đồng mà cô Hoa có trong chương trình tích luỹ ở lần gửi thứ $n$ (vào đầu tháng thứ $n$ ). Kí hiệu $a = 0{,}5$ triệu đồng, $r = 0{,}5\%$.

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 1 là ${u_1} = a$.

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 2 là ${u_2} = {u_1}(1 + r) + a$.

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 3 là

${u_3} = {u_2}(1 + r) + a = a{(1 + r)^2} + a(1 + r) + a.$

Tương tự cho các tháng tiếp theo, suy ra số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng $n$ là

${u_n} = a{(1 + r)^{n - 1}} + a{(1 + r)^{n - 2}} + \ldots + a(1 + r) + a = a\frac{{{{(1 + r)}^n} - 1}}{{(1 + r) - 1}} = a\frac{{{{(1 + r)}^n} - 1}}{r}$

Vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180, cô ấy sẽ tích luỹ được ${u_{180}} = a\frac{{{{(1 + r)}^{180}} - 1}}{r} = 145{,}41$ (triệu đồng). Khi đó, tuổi của con gái cô Hoa là $3 + 180:12 = 18$ tuổi.