Đề kiểm tra Cấp số nhân lớp 11 (có lời giải) - Đề 2

Chọn D Do $- \sqrt 3 \,;\,x\,\,;\,\, - 3\sqrt 3$ là một cấp số nhân $\Rightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$.

Vậy công bội của cấp số nhân là $q = \frac{x}{{ - \sqrt 3 }} = \pm \sqrt 3$.

Chọn A

Dãy số $- 2$, $2$, $- 2$, $2$, …, $- 2$, $2$, $- 2$, $2$, …. là cấp số nhân với số hạng đầu ${u_1} = - 2$, công bội $q = - 1$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi công thức ${u_n} = {3^n} + 1$ có ${u_1} = {3^1} + 1 = 4$, ${u_2} = {3^2} + 1 = 10$, ${u_3} = {3^3} + 1 = 28$. Nhận xét: $\frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} \ne \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}}$ nên $\left( {{u_n}} \right)$ không là cấp số nhân.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, xác định bởi hệ: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_n} = {u_{n - 1}} + 2{\rm{ }}\left( {n \in {\mathbb{N}^*}:n \ge 2} \right)\end{array} \right.$ có ${u_1} = 1$, ${u_1} = 3$, ${u_3} = 5$. Nhận xét: $\frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} \ne \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}}$ nên $\left( {{u_n}} \right)$ không là cấp số nhân.

Dãy số các số tự nhiên $1$, $2$, $3$, …. có ${u_1} = 1$, ${u_1} = 2$, ${u_3} = 3$. Nhận xét: $\frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} \ne \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}}$ nên không là cấp số nhân.

Chọn A

Áp dụng công thức số hạng tổng quát $P = \frac{1}{{f'\left( {{x_1}} \right)}} + \frac{1}{{f'\left( {{x_2}} \right)}} + \frac{1}{{f'\left( {{x_3}} \right)}}$$\left( {n \in \mathbb{N},\,n \ge 2} \right)$$P = {3.2^{2018}}$.

Chọn D

Gọi $q$là công bội của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$.

Với ${u_1} = 3,\;{u_5} = 48$suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_1}.{q^4} = 48\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{q^4} = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\q = \pm 2\end{array} \right.$.

Vậy công bội của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$là $q = \pm 2.$.

Chọn A

$2x - 3$; $x\,$; $2x + 3$lập thành cấp số nhân $\Leftrightarrow {x^2} = \left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right)$ $\Leftrightarrow {x^2} = 4{x^2} - 9$ $\Leftrightarrow {x^2} = 3$ $\Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3$.

Vì $x$ dương nên $x = \sqrt 3$.

Chọn D

Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với ${u_1} = 1$ ; $q = \frac{1}{2}$.

Khi đó : $S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}$ $= \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}}$$= 2$.

Lời giải

Chọn A

Bộ ba số $2x - 1$, $x$, $2x + 1$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên ta có $\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = {x^2}$$\Leftrightarrow 4{x^2} - 1 = {x^2}$$\Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Chọn C

Ta có ${5^{n - 1}} - 1 = {S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = \frac{{{u_1}}}{{q - 1}}\left( {{q^n} - 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = q - 1\\q = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\q = 5\end{array} \right..$ Khi đó

${u_4} = {u_1}{q^3} = {4.5^3} = 50$

Chọn B

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{4}\\\frac{1}{2} = {u_7} = {u_1}{q^6} = \frac{{{u_1}}}{{{4^6}}}\end{array} \right. \Rightarrow {u_1} = \frac{{{4^6}}}{2} = 2048$

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Sai

Ta có: ${u_2} = {u_1}q = 4,{u_4} = {u_1}{q^3} = 9 \Rightarrow \frac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_1}{q^3}}}{{{u_1}q}} \Rightarrow \frac{9}{4} = {q^2} \Rightarrow q = - \frac{3}{2}(q < 0)$.

Thay $q = - \frac{3}{2}$ vào ${u_2}$, ta được: ${u_1}\left( { - \frac{3}{2}} \right) = 4 \Rightarrow {u_1} = - \frac{8}{3}$.

Vậy cấp số nhân đã cho có số hạng đầu ${u_1} = - \frac{8}{3}$ và công bội $q = - \frac{3}{2}$.

Khi đó ${u_n} = - \frac{8}{3}.{\left( { - \frac{3}{2}} \right)^{n - 1}}$

Vậy ${u_5} = - \frac{{27}}{2}$

$- \frac{{2187}}{{32}} \ne - \frac{8}{3}.{\left( { - \frac{3}{2}} \right)^7}$ nên không phải là số hạng thứ 8

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$.

Theo giả thiết, ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\{{u_1}{q^2} = 243 \cdot {u_1}{q^7}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\{{q^5} = \frac{1}{{243}}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{q = \frac{1}{3}}\\{{u_1} = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Năm số hạng đầu của $\left( {{u_n}} \right)$ là: ${u_1} = 2;{u_2} = \frac{2}{3};{u_3} = \frac{2}{9};{u_4} = \frac{2}{{27}};{u_5} = \frac{2}{{81}}$.

c) Số hạng tổng quát của cấp số nhân: ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = \frac{2}{{{3^{n - 1}}}}$.

Xét ${u_n} = \frac{2}{{6561}} \Rightarrow \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} = \frac{2}{{6561}}$

$\Rightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9.$

Vậy $\frac{2}{{6561}}$ là số hạng thứ 9 của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$.

d) Tổng chín số hạng đầu của cấp số nhân là: ${S_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2.\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^9}} \right)}}{{1 - \frac{1}{3}}} \approx 2{,}99985 < 3$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) $\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \frac{{{n^2} + 3n + 3}}{{{n^2} + n + 1}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, không phải là hằng số. Vậy $\left( {{a_n}} \right)$ không phải là cấp số nhân.

b) $\frac{{{b_{n + 1}}}}{{{b_n}}} = \frac{{(n + 3) \cdot {3^{n + 1}}}}{{(n + 2) \cdot {3^n}}} = \frac{{3(n + 3)}}{{n + 2}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, không phải là hằng số. Vậy $\left( {{b_n}} \right)$ không phải là cấp số nhân.

c) Từ công thức truy hồi của dãy số, suy ra ${c_1} = 2;{c_2} = 3;{c_3} = 2;{c_4} = 3; \ldots$

Vì $\frac{{{c_3}}}{{{c_2}}} \ne \frac{{{c_2}}}{{{c_1}}}$ nên $\left( {{c_n}} \right)$ không phải là cấp số nhân.

d) $\frac{{{d_{n + 1}}}}{{{d_n}}} = \frac{{{{( - 4)}^{2(n + 1) + 1}}}}{{{{( - 4)}^{2n + 1}}}} = 16,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Vậy $\left( {{d_n}} \right)$ là một cấp số nhân công bội $q = 16$.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} + {u_2} + {u_3} = 168}\\{{u_4} + {u_5} + {u_6} = 21}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} + {u_1} \cdot q + {u_1} \cdot {q^2} = 168}\\{{u_1} \cdot {q^3} + {u_1} \cdot {q^4} + {u_1} \cdot {q^5} = 21}\end{array}} \right.} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1}(1 + q + {q^2}) = 168}\\{{u_1}{q^3}(1 + q + {q^2}) = 21}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} = \frac{{168}}{{1 + q + {q^2}}}}\\{{q^3} = \frac{1}{8}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} = 96}\\{q = \frac{1}{2}}\end{array}.} \right.} \right.} \right.$

Ta có $24 = 96.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{3 - 1}}$

Ta có ${S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{96\left[ {1 - {{(\frac{1}{2})}^{10}}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{3069}}{{16}}$

Lời giải

${S_{10}} = \frac{{80\left( {1 - 0,{8^{10}}} \right)}}{{1 - 0{,}8}} \approx 357{,}05(\;m)$.

Gọi ${u_n}$ là số triệu đồng mà người kĩ sư đó nhận được ở năm thứ $n$. Vì người kĩ sư được công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là $5\%$ nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân có ${u_1} = 180$ và công bội $q = 1 + 5\% = 1{,}05$. Khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty thì mức lương năm của người kĩ sư đó là

${u_6} = {u_1}{q^5} = 229{,}73$ (triệu đồng)