Đề kiểm tra Cấp số nhân lớp 11 (có lời giải) - Đề 1

Chọn C

Xét đáp án C: ${1}^{2};\ {2}^{2};\ {3}^{2};{\text{4}}^{2};\ \cdots \underset{}{\rightarrow }\frac{{u}_{2}}{{u}_{1}}=4\cancel{=}\frac{9}{4}=\frac{{u}_{3}}{{u}_{2}}$

Các đáp án A, B, D đều là các cấp số nhân.

Nhận xét: Dãy $\left( {{u_n}} \right)$với ${u_n}\not = 0$ là cấp số nhân $\Leftrightarrow {u_n} = a.{q^n}\,$, tức là các số hạng của nó đều được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của cùng một cơ số $q$ (công bội), các số hạng liên tiếp (kể từ số hạng thứ hai) thì số mũ của chúng cách đều nhau. Ví dụ

là cấp số nhân và ${u_n} = {2^n}.$

là cấp số nhân và ${u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.$

là cấp số nhân và ${u_n} = {a^{2n - 1}} = \frac{1}{a}.{\left( {{a^2}} \right)^n}.$

Chọn D

Các đáp án A, B, C đều là các cấp số nhân công bội lần lượt là ${u_m} = {u_k}.{q^{m - k}}.$

Xét đáp án D: $\frac{1}{π};\ \frac{1}{{π}^{2}};\ \frac{1}{{π}^{4}};\ \frac{1}{{π}^{6}};\ \cdots \underset{}{\rightarrow }\frac{{u}_{2}}{{u}_{1}}=\frac{1}{π}\cancel{=}\frac{1}{{π}^{2}}=\frac{{u}_{3}}{{u}_{2}}$

Chọn B

Cấp số nhân: $1;\ 2;\ 4;\ 8;\ 16;\ 32;\ldots \underset{}{\rightarrow }\{\begin{matrix}{u}_{1}=1 \\ q=\frac{{u}_{2}}{{u}_{1}}=2\end{matrix}$

Chọn A

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$có số hạng tổng quát là ${u_n} = {3.2^{n + 1}}{\rm{ }}\left( {\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right) \Rightarrow {u_{n + 1}} = {3.2^{n + 2}}$.

Xét thương $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{3.2}^{n + 2}}}}{{{{3.2}^{n + 1}}}} = 2 = const$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$là một cấp số nhân có công bội $q = 2$và có số hạng đầu là ${u_1} = {3.2^{1 + 1}} = 12$.

Chọn D

Nhận thấy $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}$nên các dãy số ở đáp án A, B và C không phải là cấp số nhân.

Riêng đối với dãy $1\,,\,2\,,4\,,\,8\,,16\,,\,32\,,...$ở đáp án D thỏa mãn: ${u_{n + 1}} = 2.{u_n}\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Vậy dãy số $1\,,\,2\,,4\,,\,8\,,16\,,\,32\,,...$là cấp số nhân với ${u_1} = 1$và công bội $q = 2$.

Chọn A

Dãy số ${u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 2}}}}$ là cấp số nhân với số hạng đầu ${u_1} = 3$, công bội $q = \frac{1}{3}$.

a) Sai

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương.

Ví dụ dãy $- 5$; $- 2$; $1$; $3$; … là dãy số có $d = 3 > 0$ nhưng không phải là dãy số dương.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Ta có: ${u_{n + 1}} = {(\sqrt 5 )^{2(n + 1) - 3}} = {(\sqrt 5 )^{2n - 1}} \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{(\sqrt 5 )}^{2n - 1}}}}{{{{(\sqrt 5 )}^{2n - 3}}}} = {(\sqrt 5 )^2} = 5,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Do đó $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}$ với công bội $q = 5$.

b) Ta có: ${v_{n + 1}} = \frac{2}{{n + 1}} \Rightarrow \frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{n}{{n + 1}}$ (tỉ số này còn phụ thuộc vào $n$).

Do đó $\left( {{v_n}} \right)$ không phải là một cấp số nhân.

c) Ta có: ${w_{n + 1}} = \frac{{{3^{n + 2}}}}{{{2^{n + 1}}}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^n}}} \Rightarrow \frac{{{w_{n + 1}}}}{{{w_n}}} = \frac{{\frac{3}{2} \cdot \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^n}}}}}{{\frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^n}}}}} = \frac{3}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Do đó $\left( {{w_n}} \right)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu ${w_1} = \frac{{{3^2}}}{{{2^1}}} = \frac{9}{2}$ với công bội $q = \frac{3}{2}$

d) Đặt ${u_1} = 16;{u_2} = 4;{u_3} = 1;{u_4} = \frac{1}{4};{u_5} = \frac{1}{{16}};{u_6} = \frac{1}{{64}}$.

Ta có: ${u_2} = {u_1} \cdot \frac{1}{4};{u_3} = {u_2} \cdot \frac{1}{4};{u_4} = {u_3} \cdot \frac{1}{4};{u_5} = {u_4} \cdot \frac{1}{4};{u_6} = {u_5} \cdot \frac{1}{4}$.

Vì vậy dãy số hữu hạn đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng $\frac{1}{4}$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Gọi $q$ là công bội và ${S_{21}}$ là tổng của 21 số hạng đầu của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_4} + {u_6} = - 540}\\{{u_3} + {u_5} = 180}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\left( {{u_3} + {u_5}} \right)q = - 540}\\{{u_3} + {u_5} = 180}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{180q = - 540}\\{{u_3} + {u_5} = 180}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{q = - 3}\\{{u_1}{{( - 3)}^2} + {u_1}{{( - 3)}^4} = 180}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{q = - 3}\\{{u_1}(9 + 81) = 180}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{q = - 3}\\{{u_1} = 2}\end{array}} \right.} \right.\end{array}$

Số $- 486 = 2.{( - 3)^5}$ nên số $- 486$ là số hạng thứ 6

Suy ra ${S_{21}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{21}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2\left[ {1 - {{( - 3)}^{21}}} \right]}}{{1 - ( - 3)}} = \frac{{1 + {3^{21}}}}{2}$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Đặt ${u_1};{u_2};{u_3};{u_4}$ theo thứ tự là số đo bốn góc của tứ giác $ABCD$, gọi $q$ là công bội của cấp số nhân ${u_1};{u_2};{u_3};{u_4} \Rightarrow q = 2$.

Ta có: $\{\begin{matrix}{u}_{1}+{u}_{2}+{u}_{3}+{u}_{4}={360}^{^{\circ}} \\ q=2\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}\cdot \frac{1-{q}^{4}}{1-q}={360}^{^{\circ}} \\ q=2\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}\cdot \frac{1-{2}^{4}}{1-2}={360}^{^{\circ}} \\ q=2\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}={24}^{^{\circ}} \\ q=2\end{matrix}.$

Vậy số đo bốn góc của tứ giác $ABCD$ là: ${24}^{^{\circ}};{48}^{^{\circ}};{96}^{^{\circ}};{192}^{^{\circ}}$

Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là ${u_1}$ và công bội là $q$.

Theo giả thiết, ta có:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_5} - {u_2} = 78}\\{{u_6} - {u_3} = 234}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} \cdot {q^4} - {u_1} \cdot q = 78}\\{{u_1} \cdot {q^5} - {u_1} \cdot {q^2} = 234}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} \cdot q \cdot \left( {{q^3} - 1} \right) = 78}\\{{u_1} \cdot {q^2} \cdot \left( {{q^3} - 1} \right) = 234.}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Suy ra $q = 3,{u_1} = 1$.

Do ba số $\frac{2}{{b - a}},\frac{1}{b},\frac{2}{{b - c}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên $\frac{1}{b} - \frac{2}{{b - a}} = \frac{2}{{b - c}} - \frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{{ - b - a}}{{b - a}} = \frac{{b + c}}{{b - c}} \Rightarrow {b^2} = ac \Leftrightarrow \frac{b}{a} = \frac{c}{b}$.

Suy ra ba số $a,b,c$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.