Đề kiểm tra Cấp số cộng lớp 11 (có lời giải) - Đề 3

Chọn C

${u_7} = - 0{,}1 + 6.0{,}1 = 0{,}5$.

Chọn C

Gọi $d$là công sai của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$.

Ta có ${u_1} = 4,\;{u_3} = 10$suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\{u_1} + 2d = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\d = 3\end{array} \right.$.

Vậy công sai của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$là $d = 3.$.

Chọn B

Ta có: ${u_6} = {u_5} + d \Leftrightarrow 14 = 11 + d \Rightarrow d = 3$.

Chọn B

Do ba số ${x^2}$,${x^2} + 1$,$3x$ lập thành cấp số cộng nên $2\left( {{x^2} + 1} \right) = {x^2} + 3x$ $\Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.$.

Vậy $x \in \left\{ {1{,}2} \right\}$.

Chọn D

Giả sử phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng.

Khi đó:

${x_1} + {x_3} = 2{x_2}$; ${x_1} + {x_2} + {x_3} = 3 \Rightarrow {x_2} = 1$$\Rightarrow m = 11$

Khi đó ta có phương trình: ${x^3} - 3{x^2} - 9x + 11 = 0 \Rightarrow {x_1} = 1 - \sqrt {12}$; ${x_2} = 1$; ${x_3} = 1 + \sqrt {12}$.

Ba nghiệm này lập thành cấp số cộng.

Vậy $m = 11$.

Chọn A

Các số $C_n^{k - 1}$,${z_2} = b$,$C_n^{k + 1}$ theo thứ tự đó là số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm của một cấp số cộng nên ta có: $C_n^k - C_n^{k - 1} = C_n^{k + 1} - C_n^k$$\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!(n - k - 1)!}} + \frac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!(n - k + 1)!}} = 2\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {n - k + 1} \right)\left( {n - k} \right)}} = \frac{2}{{k\left( {n - k} \right)}}$$\Leftrightarrow {\left( {n - 2k} \right)^2} = n + 2$.

Do $n < 20$$\Rightarrow n + 2 < 22$mà $n + 2$là số chính phương, $n,k$nguyên dương nên có các trường hợp sau:

+ $n + 2 = 4$$\Rightarrow n = 2;k = 2$.

+ $n + 2 = 9$$\Rightarrow n = 7;k = 2$hoặc $n = 7;k = 5$.

+ $n + 2 = 16$$\Rightarrow n = 14;k = 5$hoặc $n = 14;k = 9$.

Mà $k + 1 \le n$nên chỉ có 4 bộ thỏa mãn.

Chọn D

Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 12\\{u_1} + 13d = 18\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 21\\d = 3\end{array} \right.$.

Khi đó, ${S_{16}} = \frac{{\left( {2{u_1} + 15d} \right).16}}{2}$ $= 8\left( { - 42 + 45} \right) = 24$.

Chọn C

Ta có ${u_{n + 1}} = 1 - 2n$, Ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = - 2,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, suy ra $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng có ${u_1} = 1$ và công sai $d = - 2$. Vậy ${S_{60}} = \frac{{60}}{2}\left( {2{u_1} + 59d} \right) = - 3840$.

Chọn B

Ta có $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_2} + {u_5} = 42}\\{{u_4} + {u_9} = 66}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2{u_1} + 5d = 42}\\{2{u_1} + 11d = 66}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_1} = 11}\\{d = 4}\end{array}} \right.$

Và ${S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)d}}{2} \Rightarrow {S_{346}} = 346.11 + \frac{{346.345.4}}{2} = 242546$.

Chọn C

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = - 15\\{u_{20}} = 60\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d = - 15\\{u_1} + 19d = 60\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 35\\d = 5\end{array} \right.$.

$\Rightarrow {S_{20}} = 20{u_1} + \frac{{20.19}}{2}.d$$= 20.\left( { - 35} \right) + \frac{{20.19}}{2}.5$$= 250$.

Chọn A

Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng.

Khi đó: ${u_{2013}} + {u_6} = 1000$$\Leftrightarrow {u_1} + 2012d + {u_1} + 5d = 1000$$\Leftrightarrow 2{u_1} + 2017d = 1000$.

Ta có: ${S_{2018}} = 2018{u_1} + \frac{{2017.2018}}{2}d$$= 1009.\left( {2{u_1} + 2017d} \right)$$= 1009000$.

Chọn B

Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$, ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = - 15\\{u_{20}} = 60\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d = - 15\\{u_1} + 19d = 60\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 35\\d = 5\end{array} \right.$.

Khi đó, tổng của $20$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là

${S_{20}} = \frac{{20}}{2}\left( {{u_1} + {u_{20}}} \right)$$= 250$.

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Ta có: ${S_{50}} = \frac{{50}}{2}\left( {2{u_1} + 49d} \right) = \frac{{50}}{2}(2 \cdot 5 + 49d) = 5150 \Rightarrow d = 4$.

Suy ra ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 5 + (n - 1)4 = 1 + 4n$.

${S_{85}} = \frac{{85}}{2}\left( {2{u_1} + 84d} \right) = \frac{{85}}{2}(2 \cdot 5 + 84 \cdot 4) = 14705.{\rm{ }}$

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) b) Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng, ta có: ${u_5} = 18 \Leftrightarrow {u_1} + 4d = 18$;

$\begin{array}{l}4{S_n} = {S_{2n}} \Leftrightarrow \frac{{4n}}{2}\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right] = \frac{{2n}}{2}\left[ {2{u_1} + (2n - 1)d} \right]\\ \Leftrightarrow 4{u_1} + (2n - 2)d = 2{u_1} + (2n - 1)d \Leftrightarrow 2{u_1} - d = 0.\end{array}$

Từ (1) và (2) suy ra ${u_1} = 2,d = 4$.

c) Số hạng tổng quát ${u_n} = 2 + (n - 1)4 = 4n - 2$ suy ra ${u_{15}} = 58$

d) Tổng 15 số hạng đầu cấp số cộng là:

${S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left( {2{u_1} + 14d} \right) = \frac{{15}}{2}(2 \cdot 2 + 14 \cdot 4) = 450.{\rm{ }}$

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

$\begin{matrix}\text{Ta có:} & \{\begin{matrix}{u}_{1}+{u}_{7}=26 \\ {u}_{2}^{2}+{u}_{6}^{2}=466\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2{u}_{1}+6d=26 \\ {({u}_{1}+d)}^{2}+{({u}_{1}+5d)}^{2}=466\end{matrix} \\ & \Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}=13-3d(1) \\ {({u}_{1}+d)}^{2}+{({u}_{1}+5d)}^{2}=466(2)\end{matrix}\end{matrix}$

Thay (1) vào (2), ta được: ${(13 - 2d)^2} + {(13 + 2d)^2} = 466 \Leftrightarrow 8{d^2} + 338 = 466$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{d = 4}\\{d = - 4}\end{array}} \right.$

Vì $d < 0$nên ta nhận $d = - 4$, khi đó ${u_1} = 25$

Ta có: ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 25 + (n - 1)( - 4) = 29 - 4n$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với $\frac{{ - 2}}{3};\frac{{ - 1}}{3};0;\frac{1}{3};\frac{2}{3};1;\frac{4}{3}$

Ta thấy: ${u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = \ldots = \frac{1}{3}$.

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng với ${u_1} = \frac{{ - 2}}{3};d = \frac{1}{3}$.

b) Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 7 - 3n$.

Ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = [7 - 3(n + 1)] - (7 - 3n) = - 3$

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng với ${u_1} = 7 - 3.1 = 4;d = - 3$.

c) Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {n^2} + n + 1$.

Ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = {(n + 1)^2} + (n + 1) + 1 - \left( {{n^2} + n + 1} \right) = 2n + 2$ phụ thuộc vào $n$.

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ không là cấp số cộng.

d) Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {( - 1)^n} + 3n$.

Ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = {( - 1)^{n + 1}} + 3(n + 1) - \left[ {{{( - 1)}^n} + 3n} \right] = - {( - 1)^n} + 3 - {( - 1)^n} = 3 - 2{( - 1)^n}$ phụ thuộc vào $n$.

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ không là cấp số cộng.

Theo tính chất cấp số cộng ta có: $\left( {10 - 3x} \right) + \left( {7 - 4x} \right) = 2\left( {2{x^2} + 3} \right)$

$\Leftrightarrow 17 - 7x = 4{x^2} + 6 \Leftrightarrow 4{x^2} + 7x - 11 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee {\rm{ }}x = - \frac{{11}}{4}$.

Gọi n là số các số hạng đầu cần lấy tổng, ta có:

$2700 = {S_n} = \frac{n}{2}[2 \times 5 + (n - 1) \times 2] = \frac{n}{2}(8 + 2n)$

Do đó $4n + {n^2} - 2700 = 0$. Giải phương trình bậc hai này ta được $n = - 54$ hoặc $n = 50$

Vậy phải lấy 50 số hạng đầu.

Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu ${u_1} = 15$ và công sai $d = 3$. Gọi n là số các số hạng đầu cua cấp số cộng cần lấy tổng, ta có:

$870 = {S_n} = \frac{n}{2}[2 \times 15 + (n - 1) \times 3] = \frac{n}{2}(27 + 3n)$

Do đó $27n + 3{n^2} - 1740 = 0$, suy ra $n = 20,n = - 29$

Vậy cần phải thiết kế 20 hàng ghế

Số tiền lương trong 10 năm của anh Nam lập thành một cấp số cộng, gồm 10 số hạng, với số hạng đầu là ${u_1} = 100$ và công sai $d = 20$. Tổng các số hạng này là:

${S_{10}} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_{10}} = \frac{{10}}{2}\left[ {2{u_1} + (10 - 1)20} \right] = \frac{{10}}{2}(2 \times 100 + 9 \times 20) = 1900$

Vậy tổng số tiền lương anh Nam nhận sau 10 năm là 1900 triệu đồng

Đổi $2{,}4\;m = 240\;cm;1{,}2\;m = 120\;cm$.

Số viên gạch ở hàng đầu tiên là ${u_1} = 240:10 = 24$.

Số viên gạch ở hàng trên cùng là: ${u_n} = 120:10 = 12.$

Vì mỗi hàng ở phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ở ngay phía dưới nó nên ta thu được cấp số cộng có công sai $d = - 1$.

Như vậy ${u_n} = 12 = {u_1} + (n - 1)( - 1) \Rightarrow n = 13$.

Vậy số viên gạch hình vuông cần thiết để ốp hết bức tường đó là

${S_{13}} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_{13}}} \right)13}}{2} = 234$.

Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng với ${S_n} = 2040$, ${u_1} = 10,d = 4$ để tìm $n$, ta được $2040 = {S_n} = \frac{n}{2}[2 \cdot 10 + (n - 1)4].$

Suy ra $n = 30$, tức là góc khán đài đó có 30 hàng ghế.