Đề kiểm tra Cấp số cộng lớp 11 (có lời giải) - Đề 2

Chọn B

Ba số $C_n^1;{\rm{ }}C_n^2;{\rm{ }}C_n^3$ theo thứ tự ${u_1},\,\,{u_2},\,\,{u_3}$ lập thành cấp số cộng nên

${u_1} + {u_3} = 2{u_2} \Leftrightarrow C_n^1 + C_n^3 = 2C_n^2\,\,\left( {n \ge 3} \right) \Leftrightarrow n + \frac{{\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n}}{6} = 2.\frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}$

$\Leftrightarrow 1 + \frac{{{n^2} - 3n + 2}}{6} = n - 1 \Leftrightarrow {n^2} - 9n + 14 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 2\\n = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 7\,\left( {n \ge 3} \right).$

Nhận xét: Nếu ${u_{k - 1}},\,\,{u_k},\,\,{u_{k + 1}}$ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng thì ta có ${u_{k - 1}} + {u_{k + 1}} = 2{u_k}.$

Chọn C

Ta có ${u_{n + 1}} = 1 - 2n$, Ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = - 2,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, suy ra $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng có ${u_1} = 1$ và công sai $d = - 2$. Vậy ${S_{60}} = \frac{{60}}{2}\left( {2{u_1} + 59d} \right) = - 3840$.

Chọn C

Gọi $d$là công sai của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$.

Ta có ${u_1} = 4,\;{u_3} = 10$suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\{u_1} + 2d = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\d = 3\end{array} \right.$.

Vậy công sai của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$là $d = 3.$.

Chọn C

Ta có ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Rightarrow {u_3} = {u_1} + 2d = - 3 + 2.4 = 5$.

Chọn C

Ta có: ${u_{12}} = {u_1} + 11d = 45$.

Chọn A

Ta có: số hạng tổng quát của cấp số cộng là: ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Rightarrow {u_7} = 2 + 6.3 = 20$.

Chọn D

Ta có: ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Leftrightarrow 100 = - 5 + \left( {n - 1} \right).3 \Leftrightarrow 100 = 3n - 8 \Leftrightarrow n = 36$.

Chọn D

Ta có $C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1} \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{k!\left( {14 - k} \right)!}} + \frac{{14!}}{{\left( {k + 2} \right)!\left( {12 - k} \right)!}} = 2\frac{{14!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {13 - k} \right)!}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right)}} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{2}{{\left( {k + 1} \right)\left( {13 - k} \right)}}$

$\Leftrightarrow \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) + \left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right) = 2\left( {k + 2} \right)\left( {14 - k} \right)$

$\Leftrightarrow {k^2} - 12k + 32 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 8\\k = 4\end{array} \right.$.

Chọn A

Gỉa sử phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng khi đó ta có:

${x_1} + {x_3} = 2{x_2}$,${x_1} + {x_2} + {x_3} = 0$ $\Leftrightarrow {x_2} = 0$.

Thay ${x_2} = 0$ vào phương trình $b = 0$. Ta có: $b = 0$ $\Rightarrow {x^3} + ax = 0$ $\Rightarrow a < 0.$

$\Rightarrow b = 0,a < 0$ thỏa mãn.

Chọn D

Ba số ${5^{x + 1}} + {5^{1 - x}}$; $\frac{a}{2}$; ${25^x} + {25^{ - x}}$, theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

$a = \left( {{5^{x + 1}} + {5^{1 - x}}} \right) + \left( {{{25}^x} + {{25}^{ - x}}} \right)$$\ge 2\sqrt {{5^{x + 1}} \cdot {5^{1 - x}}} + 2\sqrt {{{25}^x} \cdot {{25}^{ - x}}}$$= 12$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}{5^{x + 1}} = {5^{1 - x}}\\{25^x} = {25^{ - x}}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0$.

Như vậy nếu xét $a \in \left[ {0;2018} \right]$ thì ta nhận $a \in \left[ {12;2018} \right]$. Có $2007$ số $a$ thoả đề.

Chọn C

Ta có: ${u_n} = 1 - 3n$ $\Rightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1 - 3.1 = - 2\\{u_{10}} = 1 - 3.10 = - 29\end{array} \right.$.

Áp dụng công thức: $S = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{{10\left( {{u_1} + {u_{10}}} \right)}}{2} = - 155$.

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Ta có: ${u_6} = {u_1} + 5d \Leftrightarrow 27 = - 3 + 5d \Leftrightarrow d = 6$.

Vậy ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d = - 3 + (n - 1) \cdot 6 = - 9 + 6n$

${S_{85}} = \frac{{85}}{2}\left( {2{u_1} + 84d} \right) = \frac{{85}}{2}[2 \cdot ( - 3) + 84 \cdot 6] = 21165$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{S_7} = 77}\\{{S_{12}} = 192}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{7}{2}\left( {2{u_1} + 6d} \right) = 77}\\{\frac{{12}}{2}\left( {2{u_1} + 11d} \right) = 192}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{7{u_1} + 21d = 77}\\{12{u_1} + 66d = 192}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} = 5}\\{d = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.$.

Khi đó: ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 5 + 2(n - 1) = 3 + 2n$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là: ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 5 + (n - 1) \cdot ( - 7) = - 7n + 12$

a) Ta có: ${u_{11}} = - 7.11 + 12 = - 65$.

b) ${u_5} + {u_7} = - 60$

c) Ta có: $- 849 = - 7n + 12 \Rightarrow n = 123$.

d) Ta có $- 114 = - 7n + 12 \Rightarrow n = 18$

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d$.

Khi đó: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} - {u_3} + {u_5} = 15}\\{{u_1} + {u_6} = 27}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} - \left( {{u_1} + 2d} \right) + \left( {{u_1} + 4d} \right) = 15}\\{{u_1} + \left( {{u_1} + 4d} \right) = 27}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} + 2d = 15}\\{2{u_1} + 5d = 27}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} = 21}\\{d = - 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.$.

Suy ra ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 21 + (n - 1).( - 3) = - 3n + 24$

Vậy ${u_{11}} = - 9$

Ta có $- 6048 = - 3n + 24 \Rightarrow n = 2024$

Ba số $10 - 3x,2{x^2} + 3{,}7 - 4x$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi

$\left( {2{x^2} + 3} \right) - (10 - 3x) = (7 - 4x) - \left( {2{x^2} + 3} \right) \Leftrightarrow 4{x^2} + 7x - 11 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1}\\{x = \frac{{ - 11}}{4}}\end{array}} \right.$

Ta có: ${u_n} - {u_{n - 1}} = ( - 2n + 3) - [ - 2(n - 1) + 3] = - 2$, với mọi $n \ge 2$

Do đó $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng có số hạng đầu là ${u_1} = 1$ và công sai bằng $d = - 2$

Ta có: ${u_n} - {u_{n - 1}} = (4n - 3) - [4(n - 1) - 3] = 4$, với mọi $n \ge 2$

Do đó $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng có số hạng đầu là ${u_1} = 1$ và công sai bằng $d = 4$

Số hạng tổng quát: ${u_n} = 1 + 4(n - 1)$

Giá của chiếc xe sau n năm là: ${u_n} = 680 - 55(n - 1)$

Vậy sau 5 năm sử dụng giá của chiếc xe là: ${u_5} = 680 - 55(5 - 1) = 460$

Dân số mỗi năm của thành phố lập thành cấp số cộng có ${u_1} = 1200$, công sai $d = 30$

Dân số mỗi năm có dạng tổng quát là: ${u_n} = 1200 + 30(n - 1)$

Dân số của năm 2030 tức $n = 11;{u_{11}} = 1200 + 30(11 - 1) = 1500$

Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng với

$\begin{array}{l}{S_n} = 319200,{u_1} = 35000,d = 1400,\\319200 = {S_n} = \frac{n}{2}[2 \cdot 35000 + (n - 1) \cdot 1400].\end{array}$

Suy ra $n = 8$.

Vậy sau 8 năm làm việc thì tổng lương mà anh Nam nhận được là 319200 đô la.