Đề kiểm tra Cấp số cộng lớp 11 (có lời giải) - Đề 1

Chọn A

Giữa $2$ và $22$ có thêm ba số hạng nữa lập thành cấp số cộng, xem như ta có một cấp số cộng có 5 số hạng với ${u_1} = 2;\,\,{u_5} = 22;$ta cần tìm ${u_2},\,\,{u_3},\,\,{u_4}.$

Ta có ${u}_{5}={u}_{1}+4d\Leftrightarrow d=\frac{{u}_{5}-{u}_{1}}{4}=\frac{22-2}{4}=5\underset{}{\rightarrow }\{\begin{matrix}{u}_{2}={u}_{1}+d=7 \\ {u}_{3}={u}_{1}+2d=12 \\ {u}_{4}={u}_{1}+3d=17\end{matrix}$

Chọn C

$a,b,c$theo thứ tự là cấp số cộng và $a + b + c = 15 \Rightarrow 3b = 15 \Rightarrow b = 5$.

Chọn C

Ta có bốn số $x, - 2,\,\,y,\,\,6$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 4\\2y = - 2 + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 6\\y = 2\end{array} \right.$.

Chọn D

Ta dùng công thức tổng quát ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - \frac{1}{2} + \left( {n - 1} \right)\frac{1}{2} = - 1 + \frac{n}{2}$, hoặc ${u_{n + 1}} = {u_n} + d = {u_n} + \frac{1}{2}$ để tính các số hạng của một cấp số cộng.

Ta có

Nhận xét: Dùng chức năng “lặp” của MTCT để tính:

Nhập: $X = X + \frac{1}{2}$ (nhập $X = X + d$).

Bấm CALC: nhập $- \frac{1}{2}$ (nhập ${u_1}$).

Để tính 5 số hạng đầu ta bấm dấu “=” liên tiếp để ra kết quả 4 lần nữa!

Chọn A

Theo giả thiết thì ta được một cấp số cộng có $n + 2$ số hạng với ${u_1} = - 3,\,\,{u_{n + 2}} = 23.$

Khi đó ${u}_{n+2}={u}_{1}+(n+1)d\Leftrightarrow n+1=\frac{{u}_{n+2}-{u}_{1}}{d}=\frac{23-(-3)}{2}=13\Leftrightarrow n=12\underset{}{\rightarrow }A$

Chọn B

Ta có ${u_{21}} = {u_1} + 20d$$\Rightarrow d = \frac{{{u_{21}} - {u_1}}}{{20}}$$= \frac{{50 - 10}}{{20}} = 2$.

Chọn B

Ta có: ${u_2} = {u_1} + d \Rightarrow d = - 3$

Khi đó ${u_{10}} = {u_1} + 9d \Leftrightarrow {u_{10}} = 4 + 9.( - 3) \Leftrightarrow {u_{10}} = - 23$.

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Đặt: ${u_1} = - 1;{u_2} = 2;{u_3} = 5;{u_4} = 8;{u_5} = 11;{u_6} = 14;{u_7} = 17$.

Ta có: ${u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = {u_5} - {u_4} = {u_6} - {u_5} = {u_7} - {u_6} = 3$.

Vậy dãy số hưu hạn đã cho là một cấp số cộng.

b) Công sai cấp số cộng là $d = 3$.

Với ${u_1} = - 1,n = 7,d = 3$ thì ${S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2} = \frac{{7[2( - 1) + 6.3]}}{2} = 56$.

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Ta có: ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d = \frac{3}{2} + (n - 1) \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{n}{2}$.

b) Xét $5 = 1 + \frac{n}{2} \Rightarrow n = 8 \in {\mathbb{N}^*}$; suy ra 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho.

c) Xét $\frac{{15}}{4} = 1 + \frac{n}{2} \Rightarrow n = \frac{{11}}{2} \notin {\mathbb{N}^*};$ suy ra $\frac{{15}}{4}$ không là một số hạng của cấp số cộng đã cho.

d) Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng là:

${S_{100}} = \frac{{100\left[ {2 \cdot \frac{3}{2} + (100 - 1) \cdot \frac{1}{2}} \right]}}{2} = 2625.{\rm{ }}$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) b) Ta có: ${a_{n + 1}} - {a_n} = 4(n + 1) - 3 - (4n - 3) = 4,\forall n \ge 1$.

Do đó $\left( {{a_n}} \right)$ là một cấp số cộng với số hạng đầu ${a_1} = 4 \cdot 1 - 3 = 1$ và công sai $d = 4$.

c) Ta có: ${b_{n + 1}} - {b_n} = \frac{{2 - 3(n + 1)}}{4} - \frac{{2 - 3n}}{4} = \frac{{2 - 3n - 3 - 2 + 3n}}{4} = - \frac{3}{4},\forall n \ge 1$.

Suy ra: $\left( {{b_n}} \right)$ là một cấp số cộng với số hạng đầu ${b_1} = \frac{{2 - 3.1}}{4} = - \frac{1}{4}$ và công sai $d = - \frac{3}{4}$

d) Ta có: ${c_{n + 1}} - {c_n} = {(n + 1)^2} - {n^2} = 2n + 1$ (phụ thuộc vào giá trị của $n$).

Suy ra $\left( {{c_n}} \right)$ không phải là một cấp số cộng.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Theo tính chất của cấp số cộng, ta có: $x = \frac{{ - 2 + 6}}{2} = 2$ và $6 = \frac{{x + y}}{2}$.

${\rm{ V\`i }}x = 2{\rm{ n\^e n }}6 = \frac{{2 + y}}{2} \Rightarrow y = 10.$

Vậy ${\rm{ }}P = y - x = 8$

Vậy ${\rm{ }}P = {x^2} + {y^2} = {2^2} + {10^2} = 104.$

Do ba số $\frac{1}{{b + c}},\frac{1}{{c + a}},\frac{1}{{a + b}}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên $\frac{1}{{c + a}} - \frac{1}{{b + c}} = \frac{1}{{a + b}} - \frac{1}{{c + a}} \Leftrightarrow \frac{2}{{c + a}} = \frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}}$.

$\Rightarrow 2{b^2} = {a^2} + {c^2} \Leftrightarrow {b^2} - {a^2} = {c^2} - {b^2}$. Suy ra ba số ${a^2},{b^2},{c^2}$ theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.

Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng với $n = 20$ và $d = 3$ ta có

$650 = {S_{20}} = \frac{{20}}{2}\left[ {2{u_1} + (20 - 1)3} \right].$

Suy ra ${u_1} = 4$.

Từ $2x,3x + 2{,}5x + 3$ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng ta suy ra

$2x + (5x + 3) = 2(3x + 2) \Leftrightarrow x = 1.$

Thử lại, ta có ba số tìm được là $2{,}5{,}8$ thoả mãn bài toán. Vậy $x = 1$.

Áp dụng công thức tính tổng của $n$ số hạng đầu của cấp số cộng ta có

$702 = {S_n} = \frac{n}{2}[2 \cdot 78 + (n - 1)( - 4)]$

Suy ra $n = 13$, tức là ta cần lấy 13 số hạng đầu.

Lúc 1 giờ đêm, toà tháp đánh 1 tiếng chuông; lúc 2 giờ đêm, toà tháp đánh 2 tiếng chuông; ...; lúc $12\;h$ trưa, toà tháp đánh 12 tiếng chuông. Ngoài ra, mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông (có 11 lần như thế từ 1 giờ đến 12 giờ).

Vậy tổng số tiếng chuông là: $S = (1 + 2 + 3 + \ldots + 12) + 1.11 = 89$