Đề kiểm tra Các quy tắc tính đạo hàm (có lời giải) - Đề 3

Với $u = u(x) = x + 3,$ ta có $y' = {\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}.$ Suy ra

$$y' = {\left( {\sqrt {x + 3} } \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {x + 3} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {x + 3} }} = \frac{1}{{2\sqrt {x + 3} }}.$$

Vận tốc tức thời của vật: $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 3{t^2} - 12t + 9$

Vận tốc của vật tại thời điểm $t = 4$ giây : $v\left( 4 \right) = {3.4^2} - 12.4 + 9 = 9$${\rm{m/s}}$

Chọn A

$y' = - 2.2x.\sin ({x^2}) = - 4x\sin ({x^2})$.

Chọn B

Ta có $y = \sqrt {\cos 6x} \Rightarrow y' = {\left( {\sqrt {\cos 6x} } \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {\cos 6x} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {\cos 6x} }} = \frac{{ - 6\sin 6x}}{{2\sqrt {\cos 6x} }} = \frac{{ - 3\sin 6x}}{{\sqrt {\sin 6x} }}$

Ta có: $f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 \Rightarrow f'\left( 0 \right) = \ln 2$.

Suy ra $A = 3f'\left( 0 \right) + \ln 2 = 3\ln 2 + \ln 2 = 4\ln 2$.

Chọn B

$s = - \frac{1}{2}{t^3} + 3{t^2} + 20$

$v(t) = s'(t) = \frac{{ - 3}}{2}{t^2} + 6t$

$v(t) = s'(t) = \frac{{ - 3}}{2}\left( {{t^2} - 4t + 4 - 4} \right)$$= \frac{{ - 3}}{2}\left[ {{{\left( {t - 2} \right)}^2} - 4} \right] = \frac{{ - 3}}{2}{\left( {t - 2} \right)^2} + 6 \le 6$

Vậy vận tốc đạt được giá trị lớn nhất tại thời điểm $t = 2\left( s \right)$.

Khi đó quãng đường vật đi được là:$s = s(2) = - 4 + 12 + 20 = 28(m)$.

Chọn A

Vận tốc tức thời của con lắc: $v\left( t \right) = x' = - \,2\pi \sin \left( {\pi t - \frac{\pi }{3}} \right)$.

$$v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - \,2\pi \sin \left( {\pi t - \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {\pi t - \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \pi t - \frac{\pi }{3} = k\pi ;\,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$

$\Leftrightarrow t = \frac{1}{3} + k;\,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

${y^\prime } = - 4 \cdot 3 \cdot {x^2} + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x - 2 + 0 = - 12{x^2} + x - 2$

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) ${y^\prime } = 2{(\sin x)^\prime } - 3{(\cos x)^\prime } = 2\cos x + 3\sin x$.

b) ${y^\prime } = 2{(\cot x)^\prime } - {(\tan x)^\prime } = - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$.

c) ${y^\prime } = {x^\prime } \cdot \cos x + {(\cos x)^\prime } \cdot x = \cos x - x\sin x$.

d)

$\begin{matrix}{y}^{'} & ={(2x)}^{'}\cdot {\sin }^{2}x+{({\sin }^{2}x)}^{'}\cdot 2x=2{\sin }^{2}x+2\sin x{(\sin x)}^{'}\cdot 2x \\ & =2{\sin }^{2}x+4x\sin x\cos x=2{\sin }^{2}x+2x\sin 2x\end{matrix}$

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) b) Ta có ${s^\prime }(t) = - 8\pi \sin \left( {2\pi t - \frac{\pi }{{12}}} \right)$ và ${s^{\prime \prime }}(t) = - 16{\pi ^2}\cos \left( {2\pi t - \frac{\pi }{{12}}} \right)$.

c) Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t = 5(\;s)$ là:

${s^\prime }(5) = - 8\pi \sin \left( {10\pi - \frac{\pi }{{12}}} \right) \approx 6{,}505(\;m/s).$

d) Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm $t = 5$ (s) là:

${s^{\prime \prime }}(5) = - 16{\pi ^2}\cos \left( {10\pi - \frac{\pi }{{12}}} \right) \approx - 152{,}533\left( {\;m/{s^2}} \right)$

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) Ta có $f'\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right) = {x^2} + x - 2$

b) $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = - 2$

c) $f'\left( x \right) = - 2 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = - 2 \Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = - 1$

d) $f'\left( x \right) = 10 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 10 \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \vee x = - 4$

Ta có:

$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{y^\prime }}&{ = {{(x\sin x)}^\prime } = {x^\prime } \cdot \sin x + {{(\sin x)}^\prime } \cdot x = \sin x + x\cos x}\\{{y^{\prime \prime }}}&{ = {{(\sin x + x\cos x)}^\prime } = {{(\sin x)}^\prime } + {{(x\cos x)}^\prime }}\\{}&{ = \cos x + {x^\prime } \cdot \cos x + {{(\cos x)}^\prime } \cdot x = 2\cos x - x\sin x}\end{array}$

Theo giạ thiết, ta có: ${x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = - 1$, gọi điểm $M(2; - 1)$ là toạ độ tiếp điểm.

Ta có: ${y^\prime } = {\left( { - {{\log }_2}x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{x\ln 2}}$ nên tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M$ có hệ số góc là ${y^\prime }(2) = \frac{{ - 1}}{{2\ln 2}}$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho tại điểm $M$ là:

$y + 1 = \frac{{ - 1}}{{2\ln 2}}(x - 2) \Leftrightarrow y = \frac{{ - 1}}{{2\ln 2}}x + \frac{1}{{\ln 2}} - 1.$

Vận tốc $v$ của vật được tính theo công thức: $v(t) = {s^\prime }(t) = {t^2} - 2t + 9$.

Ta có: ${t^2} - 2t + 9 = {(t - 1)^2} + 8 \ge 8 \Rightarrow v \ge 8$.

Vậy vận tốc nhỏ nhất của vật là $8(\;m/s)$ đạt được tại thời điểm $t = 1$ (giây).

Gia tốc của vật bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động

Ta có: ${x^\prime } = 2\pi \cos \pi t \Rightarrow a(t) = {x^{\prime \prime }}(t) = - 2{\pi ^2}\sin \pi t$

Vì $- 1 \le \sin \pi t \le 1 \Leftrightarrow - 2{\pi ^2} \le - 2{\pi ^2}\sin \pi t \le 2{\pi ^2} \Leftrightarrow - 2{\pi ^2} \le a(t) \le 2{\pi ^2}$

Gia tốc lớn nhất khi $\sin \pi t = - 1 \Leftrightarrow \pi t = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2} + 2k$

Với $k = 0 \Rightarrow t = - \frac{1}{2}(l);k = 1 \Rightarrow t = \frac{3}{2}$

Vậy tại $t = \frac{3}{2}$ giây là thời điểm đầu tiên vật có gia tốc lớn nhất.

Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được là $S(t)(km)$ là hàm số phụ