Đề kiểm tra Các quy tắc tính đạo hàm (có lời giải) - Đề 2

Ta có $y = \frac{{{x^2}}}{{2x + 1}}$ nên $y' = \frac{{2x\left( {2x + 1} \right) - 2{x^2}}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} + 2x}}{{{{\left( {2{x^2} + 1} \right)}^2}}}$.

Do đó $a = 2$ và $b = 2$; suy ra $a + b + ab = 8$.

Vận tốc tại thời điểm $t$ là $v(t) = s'(t) = - \frac{3}{2}{t^2} + 18t$ với $t \in \left[ {0;10} \right]$.

Ta có : $v'(t) = - 3t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = 6$.

Suy ra: $v\left( 0 \right) = 0;v\left( {10} \right) = 30;v\left( 6 \right) = 54$. Vậy vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng $54\,\,\left( {m{\rm{/}}s} \right)$

Chọn A

Gọi $v\left( t \right) = p.{t^2} + q.t + r$ đi qua $O\left( {0;0} \right);$$I(\frac{1}{2};8)$ và $M\left( {1;0} \right)$ ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}r = 0\\\frac{1}{4}p + \frac{1}{2}q + r = 8\\p + q + r = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}r = 0\\q = 32\\p = - 32\end{array} \right.$. Vậy $v\left( t \right) = - 32{t^2} + 32.t$

Gia tốc vật là $a = v'\left( t \right) = - 64t + 32$

Lúc $t = 0{,}25\left( h \right)$ thì gia tốc là $a = 16\left( {km/{h^2}} \right)$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

${y}^{'}=4\cdot {x}^{3}-4\cdot 2\cdot x+3\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}+0-(-\frac{1}{{x}^{2}})=4{x}^{3}-8x+\frac{3}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{{x}^{2}}$

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) ${y^\prime } = \frac{{{{(9x - 5)}^\prime }}}{{(9x - 5)\ln 2}} = \frac{9}{{(9x - 5)\ln 2}}$

b) ${y^\prime } = 2{(3x + 1)^\prime } \cdot {e^{3x + 1}} = 6{e^{3x + 1}}$.

c) ${y^\prime } = {\left( {{x^3} - 1} \right)^\prime } \cdot {3^{{x^3} - 1}} \cdot \ln 3 = 3 \cdot \ln 3 \cdot {x^2} \cdot {3^{{x^3} - 1}}$.

d) ${y^\prime } = \frac{{{{(\sqrt x )}^\prime }}}{{\sqrt x }} = \frac{1}{{2\sqrt x \sqrt x }} = \frac{1}{{2x}}$.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) Ta có: ${y^\prime } = 3{x^2} - 2x + 9 \Rightarrow {y^{\prime \prime }} = 6x - 2$.

Vậy ${y^{\prime \prime }}( - 2) = - 14$.

b) Ta có: ${y^\prime } = - 6\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow {y^{\prime \prime }} = - 18\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)$.

Vậy ${y^{\prime \prime }}\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = - 9\sqrt 2$.

c) Ta có: ${y^\prime } = 4{e^{2x - 1}} \Rightarrow {y^{\prime \prime }} = 8{e^{2x - 1}}$.

Vậy ${y^{\prime \prime }}(1) = 8e$.

d) Ta có: ${y^\prime } = \frac{{{{(1 - 2x)}^\prime }}}{{1 - 2x}} = - \frac{2}{{1 - 2x}} \Rightarrow {y^{\prime \prime }} = 2\frac{{{{(1 - 2x)}^\prime }}}{{{{(1 - 2x)}^2}}} = - \frac{4}{{{{(1 - 2x)}^2}}}$.

Vậy ${y^{\prime \prime }}( - 3) = \frac{{ - 4}}{{49}}$.

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

${f^3}(2 - x) - 2{f^2}(2 + 3x) + {x^2}.g(x) + 36x = 0$, $\,\,\forall x \in \mathbb{R}$$\left( 1 \right)$.

Vì $\left( 1 \right)$đúng$\,\forall x \in \mathbb{R}$ nên cũng đúng với$x = 0 \Rightarrow {f^3}(2) - 2{f^2}(2) = 0\,\,$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}f(2) = 0\\f(2) = 2\end{array} \right.$

Lấy đạo hàm hai vế của $\left( 1 \right)$ta có:

$- 3{f^2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x) + 2x.g(x) + {x^2}.g'(x) + 36 = 0\,$, $\,\forall x \in \mathbb{R}$

Cho $x = 0$$\Rightarrow - 3{f^2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\,$$\left( 2 \right)$.

Ta thấy $f(2) = 0$ không thỏa mãn $\left( 2 \right)$nên $f(2) = 2$, khi đó $f'(2) = 1$$\Rightarrow 3f(2) + 4f'(2) = 10$..

Vậy $A = 3.f\left( 2 \right) + 4.f'\left( 2 \right) = 10$.

Ta có: ${y^\prime } = {(2\sin x - \ln x)^\prime } = 2\cos x - \frac{1}{x}$;

${y^{\prime \prime }} = {\left( {2\cos x - \frac{1}{x}} \right)^\prime } = 2{(\cos x)^\prime } - {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } = - 2\sin x + \frac{1}{{{x^2}}}$

$y = \frac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x \cdot \cos x}} = \frac{{ - \cos 2x}}{{\frac{1}{2}\sin 2x}} = - 2\cot 2x$

$\Rightarrow {y^\prime } = - 2\frac{{ - 2}}{{{{\sin }^2}2x}} = \frac{4}{{{{\sin }^2}2x}} \Rightarrow {y^\prime }\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{16}}{3}$.

Ta có: $v(t) = {x^\prime } = - 4\pi \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)$.

Thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 nghĩa là $v(t) = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 4\pi \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \pi t - \frac{{2\pi }}{3} = k\pi \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} + k(k \in \mathbb{Z}).\end{array}$

Vậy các thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 là:

$t = \frac{2}{3} + k(k \in \mathbb{Z})(s)$

Ta có: ${w^\prime }(t) = \frac{{57}}{{25000}}{t^2} - \frac{3}{{25}}t + 1{,}8$.

Tốc độ thay đổi cân nặng của em bé đó tại thời điểm 15 tháng tuổi là:

${w^\prime }(15) = \frac{{57}}{{25000}} \cdot {15^2} - \frac{3}{{25}} \cdot 15 + 1{,}8 = 0{,}513{\rm{ (pound/th\'a ng) }}$