Đề kiểm tra Các quy tắc tính đạo hàm (có lời giải) - Đề 1

Ta có $f'\left( x \right) = 3\left( {{x^2} - 1} \right)$.

Ta có $f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;1} \right)$.

Ta có $f'\left( x \right) = (x + 2)'({x^2} + 1) + (x + 2)({x^2} + 1)' = {x^2} + 1 + 2x(x + 2) = 3{x^2} + 4x + 1$.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x = 1$ là $f'\left( 1 \right) = 8$.

Ta có:

$\begin{array}{l}y' = {x^2} - 4mx + m + 3\\y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 4{m^2} - m - 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{4} \le m \le 1\end{array}$

Phương trình vận tốc có dạng $s(t) = a{t^3} + b{t^2} + ct + d$

Đồ thị qua các điểm $\left\{ \begin{array}{l}\left( {0;1} \right)\\\left( {1;3} \right)\\\left( {2;5} \right)\\\left( {3;1} \right)\end{array} \right.\,\,\,\,\,{\rm{n\^e n}}\,\left\{ \begin{array}{l}d = 1\\3 = a + b + c + d\\5 = 8a + 4b + 2c + d\\1 = 27a + 9b + 3c + d\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 1\\c = 0\\b = 3\\a = - 1\end{array} \right.$

Khi đó: $s(t) = - {t^3} + 3{t^2} + 1$

Theo bài ${v_{\max }} \Leftrightarrow {\left( { - 3{t^2} + 6t} \right)_{\max }} \Leftrightarrow t = - \frac{6}{{ - 3}} = 2.$

Chọn đáp án D

Điều kiện: $x > 0,x \in \mathbb{N}$.

Doanh nhiệp thu được lợi nhuận là:

$P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)$$= \left( {4000x - 33{x^2}} \right) - \left( {2{x^3} - 3{x^2} + 400x + 5000} \right)$ $= - 2{x^3} - 30{x^2} + 3600x - 5000$

Lợi nhuận biên là: $P'\left( x \right) = - 6{x^2} - 60x + 3600$.

Lợi nhuận tối đa đạt được tại một trong các điểm ${x_0}$ mà $P'\left( {{x_0}} \right) = 0$.

$$P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 30\;(loai)\\x = 20\;\;(Thoa\;man)\end{array} \right.$$

Ta có bảng xét dấu của $P'\left( x \right)$:

Từ bảng xét dấu của $P'\left( x \right)$ ta có:

Khi $x < 20$ thì $P'\left( x \right) > 0$ nên nếu tiếp tục sản xuất thì lợi nhuận tăng.

Khi $x > 20$ thì $P'\left( x \right) > 0$ nên nếu tiếp tục sản xuất thì lợi nhuận giảm.

Vậy mức sản lượng tối ưu là $20$.

Doanh thu lúc đó là: $P\left( {20} \right) = 39000$ nghìn đồng hay $39$ triệu đồng.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

${y^\prime } = \frac{{{{(x - 3)}^\prime }(2x + 1) - {{(2x + 1)}^\prime }(x - 3)}}{{{{(2x + 1)}^2}}} = \frac{{2x + 1 - 2(x - 3)}}{{{{(2x + 1)}^2}}} = \frac{7}{{{{(2x + 1)}^2}}}$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

a) ${y^\prime } = {\left( {{x^2} + x} \right)^\prime } \cdot {e^x} + {\left( {{e^x}} \right)^\prime } \cdot \left( {{x^2} + x} \right) = (2x + 1){e^x} + {e^x}\left( {{x^2} + x} \right) = \left( {{x^2} + 3x + 1} \right){e^x}$.

b) ${y^\prime } = \frac{{{{\left( {{x^3}} \right)}^\prime } \cdot \ln x - {{(\ln x)}^\prime } \cdot {x^3}}}{{{{(\ln x)}^2}}} = \frac{{3{x^2}\ln x - \left( {\frac{1}{x}} \right){x^3}}}{{{{(\ln x)}^2}}} = \frac{{3{x^2}\ln x - {x^2}}}{{{{(\ln x)}^2}}}$

c) ${y^\prime } = \frac{{{{\left( {2{x^2}} \right)}^\prime } \cdot {2^x} - {{\left( {{2^x}} \right)}^\prime } \cdot 2{x^2}}}{{{{\left( {{2^x}} \right)}^2}}} = \frac{{4x \cdot {2^x} - {2^x} \cdot \ln 2 \cdot 2{x^2}}}{{{2^{2x}}}} = \frac{{4x - 2 \cdot \ln 2 \cdot {x^2}}}{{{2^x}}}$.

d) ${y^\prime } = {(3x)^\prime } \cdot {\log _3}x + {\left( {{{\log }_3}x} \right)^\prime } \cdot 3x = 3{\log _3}x + \frac{1}{{x\ln 3}} \cdot 3x = 3{\log _3}x + \frac{3}{{\ln 3}}$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

$f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sqrt[3]{{\cos 2.\frac{\pi }{2}}} = - 1$.

$y = \sqrt[3]{{\cos 2x}} \Rightarrow {y^3} = \cos 2x \Rightarrow y'3{y^2} = - 2\sin 2x \Rightarrow y' = \frac{{ - 2\sin 2x}}{{3{{\left( {\sqrt[3]{{\cos 2x}}} \right)}^2}}}$.

$f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$ .

$3.{\left( {\sqrt[3]{{\cos 2x}}} \right)^2}.\frac{{ - 2\sin 2x}}{{3{{\left( {\sqrt[3]{{\cos 2x}}} \right)}^2}}} + 2\sin 2x = - 2\sin 2x + 2\sin 2x = 0$.

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

Ta có:

$y' = \cos x.{e^{\sin x}}$

$2y'\sin x = 2\cos x.{e^{\sin x}}.\sin x$$= \sin 2x.{e^{\sin x}}$

$y'' = - \sin x.{e^{\sin x}} + {\cos ^2}x.{e^{\sin x}}$

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;2} \right\}$ $= {\cos ^2}x.{e^{\sin x}} - \sin x.{e^{\sin x}} - \left( { - \sin x.{e^{\sin x}} + {{\cos }^2}x.{e^{\sin x}}} \right)$$= 0$

Ta có: ${y^\prime } = {\left( {x \cdot {2^{2x}}} \right)^\prime } = {\left( {x \cdot {4^x}} \right)^\prime } = {x^\prime } \cdot {4^x} + {\left( {{4^x}} \right)^\prime } \cdot x = {4^x} + {4^x} \cdot \ln 4 \cdot x$;

${y^{\prime \prime }} = {\left( {{4^x} + {4^x} \cdot \ln 4 \cdot x} \right)^\prime } = {\left( {{4^x}} \right)^\prime } + \ln 4 \cdot {\left( {x \cdot {4^x}} \right)^\prime }$ (${\left( {x \cdot {4^x}} \right)^\prime }$làm giống bước trên)

$= {4^x}\ln 4 + \ln 4 \cdot \left( {{4^x} + {4^x} \cdot \ln 4 \cdot x} \right) = 2 \cdot {4^x}\ln 4 + {\ln ^2}4 \cdot {4^x} \cdot x = {4^x} \cdot \ln 4(2 + x\ln 4).$

Theo giả thiết, ta có: ${x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 3$, gọi điểm $M(2;3)$ là toạ độ tiếp điểm.

Ta có: ${y^\prime } = {\left( {{x^3} - x - 3} \right)^\prime } = 3{x^2} - 1$ nên tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M$ có hệ số góc là ${y^\prime }(2) = 11$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho tại điểm $M$ là:

$y - 3 = 11(x - 2) \Leftrightarrow y = 11x - 19.$

Ta có: ${s^\prime }(t) = 3{(\sin 2t)^\prime } + 2{(\cos 2t)^\prime } = 6\cos 2t - 4\sin 2t$.

Và ${s^{\prime \prime }}(t) = 6{(\cos 2t)^\prime } - 4{(\sin 2t)^\prime } = - 12\sin 2t - 8\cos 2t$.

Gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t = \frac{\pi }{4}$ là:

$a\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = {s^{\prime \prime }}\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 12\left[ {\sin \left( {2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right)} \right] - 8\left[ {\cos \left( {2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right)} \right] = - 12$

Đạo hàm của hàm số $f$ biểu thị tốc độ tăng dân số của thành phố đó (tính bằng nghìn người/ năm), ta có: ${f^\prime }(t) = \frac{{120}}{{{{(t + 5)}^2}}}$.

Từ năm 2015 đến năm 2025 nghĩa là $t = 10$.

Vậy tốc độ tăng dân số tại thời điểm $t = 10$ là:

${f^\prime }(10) = \frac{{120}}{{{{(10 + 5)}^2}}} = \frac{8}{{15}} \approx 0{,}533{\rm{ }}$(nghìn người/năm)

Đạo hàm của hàm số $T$ biểu thị tốc độ thay đổi của nhiệt độ.

Ta có: ${T^\prime }(t) = - 0{,}2t + 1{,}2$.

Vậy tốc độ thay đổi nhiệt độ tại thời điểm $t = 2$ là:

${T}^{'}(2)=-0{,}2.2+1{,}2=0{,}8({}^{^{\circ}}F/\text{ngày}).$