Đề kiểm tra Các khái niệm mở đầu lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Chọn D

Hai điểm phân biệt, giả sử$A,B$ tạo thành hai vec tơ khác vec tơ- không là và .

Vì vậy từ 4 đỉnh $A,B,C,D$ của tam giác ta có 6 cặp điểm phân biệt nên có 12 vec tơ khác vec tơ – không được tạo thành.

Chọn D

Tập hợp điểm $D$ là đường tròn tâm $C$, bán kính bằng $\left| {\overrightarrow {AB} } \right|$

Chọn D

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \Rightarrow B \equiv C$

Chọn B

Các vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow {OB}$ là:

$\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {EB} ,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {FA} ,\overrightarrow {AF} .$

Chọn A

Cho vectơ $\overrightarrow a$, có vô số vectơ $\overrightarrow u$cùng hướng và cùng độ dài với vectơ $\overrightarrow a$. Nên có vô số vectơ $\overrightarrow u$ mà $\overrightarrow u = \overrightarrow a$.

Chọn D

Hình bình hành $ABGE$$\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {GE}$.

Đáp án D

Các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow {AB}$ là:

$\overrightarrow {FO} ,\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {ED}$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Ta có: $M$ là trung điểm của $AD;N$ là trung điểm $BC$.

$\Rightarrow MN//CD$ (tính chất đường trung bình hình thang). Do đó:

b) Có 4 vectơ (khác $\vec 0$) cùng phương $\overrightarrow {AB}$ mà giá không trùng với đường thẳng $AB$

là $\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {DC}$.

c) Có 2 vectơ (khác $\vec 0$) cùng hướng $\overrightarrow {AB}$ mà giá không trùng với đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {DC}$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Vì $|\overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {BD} |$ nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ có độ dài bằng nhau,

b) suy ra hình thang $ABCD$ cân.

c) Do đó hai cạnh bên $AD$ và $BC$ có độ dài bằng nhau hay $|\overrightarrow {AD} | = |\overrightarrow {BC} |$.

d) Điều ngược lại không đúng, xét hình bình hành $ABCD$ (cũng là hình thang có hai đáy $AB$ và $CD$) có $|\overrightarrow {AD} | = |\overrightarrow {BC} |$ nhưng $|\overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {BD} |$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) Ngũ giác có 5 cạnh do đó có 10 vectơ tạo thành từ các cạnh.

b) Ngũ giác có 5 đường chéo do đó cũng có 10 vectơ tạo thành từ các đường chéo.

c) Có 6 vectơ (khác $\vec 0$) được lập ra từ các cạnh của tam giác $ABC$?

d) Có 4 vectơ (khác $\vec 0$) được lập ra từ các đường chéo của tứ giác $ABCD$

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

a) Có 4 vectơ gốc $P$ là $\overrightarrow {PA} ,\overrightarrow {PB} ,\overrightarrow {PC} ,\overrightarrow {PD}$; có 4 vectơ gốc $A$ là $\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD}$.

b) Tương tự, mỗi gốc $B,C,D$ đều có 4 vectơ, vậy có $5.4 = 20$ vectơ tạo thành từ 5

điểm phân biệt $P,A,B,C,D$.

c) Vì $A,B,C,D$ đều thuộc $d$ nên tất cả các vectơ tạo thành từ 4 điểm $A,B,C,D$

đều cùng phương với $\overrightarrow {AB}$. Ta có $3.4 = 12$ vectơ tạo thành từ 4 điểm $A,B,C,D$.

d) Vậy có 11 vectơ cùng phương với $\overrightarrow {AB}$.

Ta có $\vec u$ khác vectơ không và cùng hướng với vectơ $\overrightarrow {BD}$ nên $\vec u$ là một trong hai vectơ $\overrightarrow {BO} ,\overrightarrow {OD}$.

Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác $ABD$: $B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} = 3{a^2} + {a^2} = 4{a^2} \Rightarrow BD = 2a$.

Vì vậy: $|\vec u| = |\overrightarrow {BO} | = |\overrightarrow {OD} | = \frac{{BD}}{2} = a$.

Gọi $G$ là trung điểm của $BE \Rightarrow GM$ là đường trung bình của $\Delta BCE$ ứng với cạnh đáy $EC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}GM = \frac{1}{2}EC = AE\\GM\parallel AE\end{array} \right.$

Suy ra: Tứ giác $AGME$ là hình bình hành (vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau).

Vì $N$ là giao điểm hai đường chéo hình bình hành $AGME$ nên $N$ là trung điểm của $AM$.

Do vậy hai vectơ $\overrightarrow {NA}$ và $\overrightarrow {NM}$ đối nhau.

Dễ thấy có 4 Vectơ-không là: $\overrightarrow {AA} ,\overrightarrow {BB} ,\overrightarrow {CC} ,\overrightarrow {DD}$.

Từ mỗi đỉnh của hình chữ nhật, ta lập được 3 vectơ khác vectơ-không nhận đỉnh đó làm điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh còn lại. Chẳng hạn với đỉnh $A$ ta có: $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD}$.

Suy ra có 12 vectơ khác $\vec 0$. Như vậy có tất cả 16 vectơ thỏa mãn.

Ta có $|\overrightarrow {AB} | = AB = a$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, Ta có

$\begin{array}{l}|\overrightarrow {AG} | = AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}\sqrt {A{B^2} - B{M^2}} = \frac{2}{3}\sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\\|\overrightarrow {BI} | = BI = \sqrt {B{M^2} + M{I^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{3}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\end{array}$

Theo qui tắc hình bình hành: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$

Tam giác $ABD$ đều canh $a$, nên $AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Vậy $|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} | = |\overrightarrow {AC} | = AC = 2AO = a\sqrt 3$