Đề kiểm tra Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto lớp 12 (có lời giải) - Đề 5

Có $\vec c = 2\vec a + \vec b$, gọi $\vec c = \left( {{c_1};{c_2};{c_3}} \right)$

$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{c_1} = 2.1 + \left( { - 1} \right) = 1\\{c_2} = 2.2 + 3 = 7\\{c_3} = 2.1 + 0 = 2\end{array} \right.$$

Vậy $\vec c = \left( {1;7;2} \right)$

Ta có: $3\overrightarrow b = \left( { - 3;3; - 3} \right)$; $2\overrightarrow c = \left( {4;8;14} \right)$

nên $\overrightarrow u = \vec a - 3\vec b + 2\overrightarrow c = \left( {6;4;19} \right)$.

$\overrightarrow {MN} \left( { - 3; - 2;2} \right);\overrightarrow {NP} \left( {2;\,m - 2;1} \right)$.

Tam giác $MNP$ vuông tại $N \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NP} = 0 \Leftrightarrow - 6 - 2\left( {m - 2} \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow m - 2 = - 2 \Leftrightarrow m = 0$.

Gọi $M\left( {x;y;z} \right)$. Vì M thuộc đoạn AB nên:

$\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x = - 2\left( {2 - x} \right)\\1 - y = - 2\left( { - 3 - y} \right)\\ - 2 - z = - 2\left( {5 - z} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{3}\\y = - \frac{5}{3}\\z = \frac{8}{3}\end{array} \right.$

Ta có $\cos \left( {\overrightarrow a ;{\rm{ }}\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .{\rm{ }}\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{3m - 9}}{{\sqrt {38} .\sqrt {2{m^2} + 6m + 10} }}$.

Góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là góc tù khi và chỉ khi $\cos \left( {\overrightarrow a ;{\rm{ }}\overrightarrow b } \right) < 0 \Leftrightarrow 3m - 9 < 0 \Leftrightarrow m < 3$.

Vì $m$ nguyên dương nên $m \in \left\{ {1;{\rm{ }}2} \right\}$. Vậy có 2 giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) Đúng, vì theo định nghĩa vec tơ $\vec a$ có tọa độ là $\vec a = \left( {1;2; - 3} \right)$.

b) Sai, vì khi $m = 1,n = 0$ thì $\mathop b\limits^ \to = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 0.\overrightarrow k$ nên tọa độ của vec tơ $\mathop b\limits^ \to = \left( {1;2;0} \right)$.

c) Đúng, vì khi $m = 1,n = 0$ thì $\mathop a\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\mathop k\limits^ \to + \overrightarrow i + 2\overrightarrow j = 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j - 3\mathop k\limits^ \to$ nên $\mathop a\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to = \left( {2;4; - 3} \right)$

d) Đúng, vì khi $m = 1,n = 0$ thì $2\mathop a\limits^ \to - \mathop b\limits^ \to = 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j - 3\mathop k\limits^ \to - \overrightarrow i - 2\overrightarrow j = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k$ nên $2\mathop a\limits^ \to - \mathop b\limits^ \to = \left( {1;2; - 3} \right)$.

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

a) Với $m = 1;n = 2$ thì $\overrightarrow b = \left( { - 1; - 8;3} \right)$ nên a) sai.

b) Với $m = 1;n = 0$ thì $\overrightarrow b = \left( {1;4; - 1} \right)$ nên $2\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {1; - 12;7} \right)$ nên b) đúng.

c) Để $\vec b = \vec 0$ thì $\left\{ \begin{array}{l}m - n = 0\\4m - 6n = 0\\{n^2} - 3m + 2 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\n = 0\\{n^2} - 3m + 2 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\n = 0\\2 = 0\end{array} \right.$ vô lý. Vậy c) sai.

d) Để $\vec a = \vec b$ thì $\left\{ \begin{array}{l}m - n = 1\\4m - 6n = - 4\\{n^2} - 3m + 2 = 3\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 4\\{n^2} - 3m + 2 = 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 4\\16 - 15 + 2 = 3\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 4\end{array} \right.$ $\Rightarrow m + n = 9$.

a) Sai vì trung điểm của đoạn thẳng $BC$ có tọa độ

$\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = 2\\{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{3}{2}\\{z_M} = \frac{{{z_B} + {z_C}}}{2} = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)$

b) Đúng vì trọng tâm tam giác $A'BC$ có tọa độ là

$$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_{A'}} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{7}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_{A'}} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{8}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_{A'}} + {z_B} + {z_C}}}{3} = 2\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{7}{3};\frac{8}{3};2} \right)$$

c) Sai vì

$\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AB'} } \right) = \frac{{5 \cdot 10 + \left( { - 2} \right) \cdot 3 + 2 \cdot 7}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{10}^2} + {3^2} + {7^2}} }} = \frac{{58}}{{\sqrt {33} \cdot \sqrt {158} }}$

d) Sai.

Tam giác $ABC$ có trọng tâm $G\left( {\frac{2}{3};1;\frac{1}{3}} \right)$, tam giác $A'B'C'$ có trọng tâm $G'$.

Vì $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ nên $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {GG'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} - {x_G} = {x_{A'}} - {x_A}\\{y_{G'}} - {y_G} = {y_{A'}} - {y_A}\\{z_{G'}} - {z_G} = {z_{A'}} - {z_A}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} = \frac{{17}}{3}\\{y_{G'}} = 6\\{z_{G'}} = \frac{{16}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G'\left( {\frac{{17}}{3};6;\frac{{16}}{3}} \right)$.

a) Sai.

Tọa độ trọng tâm của tam giác $ABC$là $G\left( {2;\,\frac{2}{3};\,\frac{8}{3}} \right)$.

b) Đúng

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;2; - 3} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( { - 7; - 5; - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \sqrt {14} \\BC = \sqrt {75} = 5\sqrt 3 \end{array} \right.$

c) Đúng

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;2; - 3} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( { - 7; - 5; - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0 \Rightarrow$ tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

d) Đúng

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

$\Rightarrow$ tâm $I$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là trung điểm của cạnh huyền $AC$.

$\Rightarrow$$I\left( {1; - \frac{1}{2};3} \right)$. Vậy $a + 2b + c = 3.$

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;0} \right)$; $\overrightarrow {AD} = \left( {0;2;0} \right)$; $\overrightarrow {AA'} = \left( {0;0;2} \right)$.

Theo quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AC'} = \left( {1;2;2} \right)$.

Suy ra $AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|$$= \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} = 3.$

Vậy độ dài đoạn thẳng $AC' = 3.$

Ta có $\overrightarrow{MA}=(1-a;\ 3-b;\ -1-c);\ \overrightarrow{MB}=(3-a;\ -1-b;\ 5-c)$

$\overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {MB} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3.\left( {3 - a} \right)\\3 - b = 3.\left( { - 1 - b} \right)\\ - 1 - c = 3.\left( {5 - c} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = - 3\\c = 8\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {4; - 3;8} \right)$.

Vậy $a - b + c = 4 + 3 + 8 = 15$.

Ta có: $\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 45^\circ \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$\Leftrightarrow \frac{{1 - 2m}}{{\sqrt 6 .\sqrt {1 + {m^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $\Leftrightarrow \sqrt {3\left( {{m^2} + 1} \right)} = 1 - 2m$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 2m \ge 0\\3{m^2} + 3 = 1 - 4m + 4{m^2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \frac{1}{2}\\{m^2} - 4m - 2 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow m = 2 - \sqrt 6 \approx - 0.4494897$.

Suy ra $m \approx - 0.4$

Ta có $C'(6;10;4)$, $A'(0;0;4)$.

Gọi $I\left( {x;y;z} \right)$ là trung điểm của $A'C'$

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{6 + 0}}{2} = 3\\{y_I} = \frac{{10 + 0}}{2} = 5\\{z_I} = \frac{{4 + 4}}{2} = 4\end{array} \right.$

Vậy tọa độ của điểm treo quạt $I(3;5;4)$suy ra $a + b + c = 12$.

Ta có $AB = \sqrt {26}$, $BC = \sqrt {104} = 2\sqrt {26}$.

Theo tính chất phân giác ta có $\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{1}{2}$. Suy ra $\overrightarrow {DA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} \;\left( * \right)$.

Ta có $\overrightarrow {DA} = \left( {1 - a;2 - b; - 1 - c} \right)$ và $\overrightarrow {DC} = \left( { - 4 - a;7 - b;5 - c} \right)$.

Do đó $\left( * \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = - \frac{1}{2}\left( { - 4 - a} \right)\\2 - b = - \frac{1}{2}\left( {7 - b} \right)\\ - 1 - c = - \frac{1}{2}\left( {5 - c} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{2}{3}\\b = \frac{{11}}{3}\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};1} \right) \Rightarrow a + b + 2c = 5$.

Ta có $\overrightarrow {A'B'} = ( - 120;0;300)$

$O'(0;420;0) \Rightarrow \overrightarrow {A'O'} = ( - 240;0;0)$

Do đó $\cos \alpha = \frac{{\overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {O'A'} }}{{\left| {\overrightarrow {A'B'} } \right|.\left| {\overrightarrow {O'A'} } \right|}} = \frac{{120.240}}{{60\sqrt {29} .240}} = \frac{2}{{\sqrt {29} }} \Rightarrow \alpha = 68,{2^0}$