Đề kiểm tra Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

Gọi $I\left( {x;y;z} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {IA} \left( {1 - x;2 - y; - 4 - z} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {IB} \left( { - 2 - x;3 - y; - z} \right)$$\Rightarrow 2\overrightarrow {IB} \left( { - 4 - 2x;6 - 2y; - 2z} \right)$.

$\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3x - 3 = 0\\ - 3y + 8 = 0\\ - 3z - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = \frac{8}{3}\\z = - \frac{4}{3}\end{array} \right.$. Vậy $I\left( { - 1;\frac{8}{3}; - \frac{4}{3}} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow a = \left( {2; - 1;3} \right) \Rightarrow$ $2\overrightarrow a = \left( {4; - 2;6} \right)$.

$\overrightarrow b = \left( {5;3; - 2} \right) \Rightarrow$$- 3\overrightarrow b = \left( { - 15; - 9;6} \right)$.

Vậy $\overrightarrow {2a} .\left( { - 3\overrightarrow b } \right) = 4.\left( { - 15} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 9} \right) + 6.6 = - 6$.

Do $M$ nằm trên trục $Ox$suy ra $M\left( {x;0;0} \right)$.

$\overrightarrow {AM} \left( {x - 1;1; - 2} \right)$, $\overrightarrow {BC} \left( { - 3; - 2;2} \right)$.

$\begin{array}{l}AM \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( { - 3} \right) + 1.\left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right).2 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow - 3\left( {x - 1} \right) - 6 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow - 3\left( {x - 1} \right) = 6\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x - 1 = - 2 \Leftrightarrow x = - 1.\end{array}$

a) Đúng.

Ta có $\overrightarrow x = \overrightarrow a + \overrightarrow b = (3;4;2)$ .

b) Sai.

Ta có $\overrightarrow y = \overrightarrow a + \overrightarrow c = (5;2; - 1)$.

c) Sai.

Ta có $\overrightarrow z = \overrightarrow b + \overrightarrow c = (6;2; - 5)$.

d) Đúng.

Ta có $\overrightarrow k = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = (7;4; - 2)$.

Ta có: $\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( { - 2; - 3;6} \right)$

a) Đúng.

b) Sai.

c) Sai vì $\overrightarrow b - \overrightarrow a = \left( {2;\,3\,; - 4} \right)$.

d) Đúng vì $\overrightarrow a - \overrightarrow x = \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow x = \overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( { - 2; - 3;6} \right)$.

Suy ra hoành độ của vectơ $\overrightarrow x$ là $- 2 \in \left( { - 3;1} \right)$.

a) Đúng.

Ta có $\overrightarrow x = \overrightarrow a - 3\overrightarrow b = (2; - 9;6)$ .

b) Sai.

Ta có $\overrightarrow y = 2\overrightarrow a + \overrightarrow c = (7; - 7;11)$.

c) Đúng.

Ta có $\overrightarrow z = 2\overrightarrow b + \overrightarrow c = (3;3;3)$.

d) Đúng.

Ta có $\overrightarrow k = 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b - \overrightarrow c = (1;1; - 2)$.

Gọi $M\left( {a\,;0\,;0} \right),N\left( {0\,;b\,;0} \right),P\left( {0\,;0\,;\,c} \right)$.

$$\begin{array}{l}\overrightarrow {DM} = \left( {a - 4;1; - 3} \right)\\\overrightarrow {DN} = \left( { - 4;b + 1; - 3} \right)\\\overrightarrow {DP} = \left( { - 4;1;c - 3} \right)\end{array}$$

Ta có $DM,DN,DP$ đôi một vuông góc với nhau nên

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {DM} .\overrightarrow {DN} = 0\\\overrightarrow {DM} .\overrightarrow {DP} = 0\\\overrightarrow {DN} .\overrightarrow {DP} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4\left( {a - 4} \right) + b + 1 + 9 = 0\\ - 4\left( {a - 4} \right) + 1 - 3\left( {c - 3} \right) = 0\\16 + b + 1 - 3\left( {c - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4a + b = - 26\\ - 4a - 3c = - 26\\b - 3c = - 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{13}}{4}\\b = - 13\\c = \frac{{13}}{3}\end{array} \right.$.

a) Sai.

b) Sai.

c) Đúng vì: ${V_{DMNP}} = \frac{1}{6}DM.DN.DP = \frac{1}{6}.\frac{{13}}{4}.13.\frac{{13}}{3} = \frac{{2197}}{{72}} > 29$.

d) Gọi $\overrightarrow x = \left( {m\,;n\,;p} \right)$

$$\overrightarrow {DM} = \left( { - \frac{3}{4};\,1\,; - 3} \right);\,\,\overrightarrow {DN} = \left( { - 4; - 12; - 3} \right);\,\,\,\overrightarrow {DP} = \left( { - 4;1\,;\,\frac{4}{3}} \right)$$

$$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow x .\overrightarrow {DM} = 1\\\overrightarrow x .\overrightarrow {DN} = 2\\\overrightarrow x .\overrightarrow {DP} = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{3}{4}m + n - 3p = 1\\ - 4m - 12n - 3p = 2\\ - 4m + n + \frac{4}{3}p = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{{88}}{{169}}\\n = - \frac{{35}}{{169}}\\p = - \frac{{90}}{{169}}\end{array} \right.$$

$m\, + n\, + p = \frac{{ - 37}}{{169}}$.

Suy ra d) sai.

Trả lời: $z = 3.$

Ta có: $\vec a + \vec b = \left( {0;0;z - 3} \right).$

$\vec a + \vec b = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow z - 3 = 0 \Leftrightarrow z = 3.$

Vậy $z = 3.$

Trả lời: $\left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right| \approx 15{,}7$.

Ta có: $\overrightarrow a = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + 6\overrightarrow k$ $\Rightarrow \overrightarrow a = \left( {2; - 3;6} \right)$

$\overrightarrow b = 6\overrightarrow j + \overrightarrow k$$\Rightarrow \overrightarrow b = \left( {0;6;1} \right)$

Khi đó: $\overrightarrow a - 2\overrightarrow b = \left( {2; - 15;4} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right| = 7\sqrt 5 \approx 15{,}7.$

Trả lời: $m = 0.$

Ta có: $\vec b = \left( {2; - 2;1} \right) \ne \overrightarrow 0 .$

$m\vec b = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow m = 0.$

Vậy $m = 0.$

Trả lời: $T = 1.$

Ta có: $m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b + p\overrightarrow c = \left( {m - 2n + 3p;\,n + 2p;\, - 2m + 3n - p} \right)$, $\overrightarrow d = \left( {9;\,0;\, - 11} \right).$

$m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b + p\overrightarrow c = \overrightarrow d$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2n + 3p = 9\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n + 2p = 0\\ - 2m + 3n - p = - 11\end{array} \right..$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = - 2\\p = 1\end{array} \right..$

Vậy $T = m + n + p = 1.$

Trả lời: $m = 0.$

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2;2} \right)$ và $\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;m; - 1} \right)$

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ khi và chỉ khi $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0$ hay $2 + 2m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 0.$

Trả lời : $1{,}15$

Gọi $a = {H_1}{H_2}$ là khoảng cách giữa hai nguyên tử hydrogen , khi đó độ dài $O{H_1} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{H_1}{H_2} \Leftrightarrow \sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 a}}{2} \Rightarrow a = 2$.

Giả sử góc tạo bởi liên kết $H - N - H,$ có hai cạnh là hai đoạn thẳng nối $N$ với hai trong ba điểm ${H_1},\,{H_2},\,{H_3}$ là góc $\widehat {{H_2}N{H_3}} = {120^ \circ }$

Gọi $x$ là khoảng cách giữa nguyên tử nitrogen với mỗi nguyên tử hydrogen, khi đó $N{H_2} = x$

Áp dụng định lý cosin ta có:

${H_2}{H_3} = N{H_2}^2 + N{H_3}^2 - 2.N{H_2}.N{H_3}.\cos \widehat {{H_2}N{H_3}}$$\Leftrightarrow 4 = {x^2} + {x^2} - 2{x^2}\cos {120^ \circ } \Rightarrow {x^2} = \frac{4}{3} \Rightarrow x = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \approx 1{,}15 \cdot$