Đề kiểm tra Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Các vectơ $\overrightarrow {a\,}$, $\overrightarrow {b\,}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số thực dương $k$ sao cho $\overrightarrow {a\,} = k\overrightarrow {b\,}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = k\\m - 1 = 3k\\3 = k\left( { - 2n} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = k\\m - 1 = 6\\3 = 2\left( { - 2n} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = k\\m = 7\\n = \frac{{ - 3}}{4}\end{array} \right.$.

Gọi toạ độ điểm $D\left( {x;y;z} \right)$. Theo tính chất hình bình hành ta có: $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$

$\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 1;1} \right)$, $\overrightarrow {DC} = \left( {1 - x;4 - y;2 - z} \right)$.

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2 = 1 - x}\\{ - 1 = 4 - y}\\{1 = 2 - z}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 1}\\{y = 5}\\{z = 1}\end{array}} \right.} \right.$

Vậy $D\left( { - 1;5;1} \right)$.

Ta có:$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} \Leftrightarrow \cos \left( {{{60}^o}} \right) = \frac{{ - m}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {m^2}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{ - m}}{{\sqrt 2 .\sqrt {1 + {m^2}} }}$.

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{m^2} - 1 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow m = - 1$

Gọi $C\left( {0;0;c} \right) \in Oz$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 1;2} \right)$, $\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;1;c} \right)$.

Để $AB \bot BC$$\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow - 1 + 2c = 0 \Rightarrow c = \frac{1}{2}$.

Hình chiếu vuông góc của điểm $A\left( {1; - 2;5} \right)$ lên mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ là $\left( {1;0;5} \right)$.

Điểm đối xứng với điểm $A$ qua mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ là $\left( {1;2;5} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow b .\overrightarrow c = 2 \ne 0$.

$\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt 3$, $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 2$,$\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Rightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b$.

a) Đúng: Tích vô hướng có tính chất phân phối đối với phép cộng.

b) Đúng: Tích vô hướng có tính chất phân phối đối với phép cộng.

c) Sai. Chọn $\overrightarrow a = \left( {1\,;\,1\,;\,0} \right)$, $\overrightarrow b = \left( {0\,;\,1\,;\,1} \right)$, $\overrightarrow c = \left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {a.} \overrightarrow b } \right).\overrightarrow c = \left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)$ và $\overrightarrow b .\overrightarrow c = 1 \Rightarrow \overrightarrow a .\left( {\overrightarrow b .\overrightarrow c } \right) = \left( {1\,;\,1\,;\,0} \right)$.

Suy ra : $\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right).\overrightarrow c \ne \overrightarrow a .\left( {\overrightarrow b .\overrightarrow c } \right)$

d) Đúng: Từ định nghĩa của tích vô hướng $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$, ta suy ra $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$

a) Sai. Vì ta có $- 2.\,\vec u = \left( {2;2; - 4} \right) \ne \vec v$.

b) Đúng. Vì: $\vec u.\vec v = - 1.2 + \left( { - 1} \right).2 + 2.2 = 0$ nên hai vectơ đó vuông góc.

c) Sai. Vì: $2\vec u + \vec v = \left( {0;0;6} \right)$là một vectơ có giá song song hoặc trùng với trục$Oz$.

d) Sai. Vì:$\left\{ \begin{array}{l}\vec u - \vec v = \left( { - 3; - 3;0} \right)\\\vec u + \vec v = \left( {1;1;4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow cos\left( {\vec u - \vec v;\vec u + \vec v} \right) = \frac{{( - 3).1 + ( - 3).1}}{{\sqrt {9 + 9 + 0} .\sqrt {1 + 1 + 16} }} = \frac{{ - 1}}{3}$

a) Sai.$\overrightarrow a \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$$= 2.3.\cos {60^0}$$= 3$.

b) Đúng. ${\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow {a.} \overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2}$.

$= {\overrightarrow a ^2} + 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + {\overrightarrow b ^2}$.

$= {2^2} + 2.2.3.\cos 60^\circ + {3^2} = 19$.

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {19}$.

c) Đúng. ${\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow {a.} \overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2}$

$= {\overrightarrow a ^2} - 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + {\overrightarrow b ^2}$

$= {2^2} - 2.2.3.\cos 60^\circ + {3^2} = 4 - 6 + 9 = 7$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = \sqrt 7$.

d) Sai. ${\left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} - 4\overrightarrow {a.} \overrightarrow b + 4{\overrightarrow b ^2}$

$= {\overrightarrow a ^2} - 4\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + 4{\overrightarrow b ^2}$

$= {2^2} - 4.2.3.\cos 60^\circ + {4.3^2} = 28$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {28} .$

Ta đặt $A(a;0;0)$,$B(0;b;0)$,$C(0;0;c)$.

$\overrightarrow {SA} = (a - 1; - 2; - 3)$; $\overrightarrow {SB} = ( - 1;b - 2; - 3)$; $\overrightarrow {SC} = ( - 1; - 2;c - 3)$.

Vì $SA$, $SB$, $SC$ đôi một vuông góc nên

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} \bot \overrightarrow {SB} \\\overrightarrow {SB} \bot \overrightarrow {SC} \\\overrightarrow {SA} \bot \overrightarrow {SC} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} = 0\\\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC} = 0\\\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2b = 14\\2b + 3c = 14\\a + 3c = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = \frac{7}{2}\\c = \frac{7}{3}\end{array} \right.$.

Do $SA$, $SB$, $SC$ đôi một vuông góc, nên: ${V_{SABC}} = \frac{1}{6}SA.SB.SC = \frac{1}{6}.7.\frac{7}{2}.\frac{7}{3} = \frac{{343}}{{36}}$.

a) Sai.

b) Đúng.

c) Sai.

d) Đúng.

Ta có: $M\left( {3;3;3} \right)$, gọi $A,B,C$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$.

$\Rightarrow A\left( {3;0;0} \right),\,\,B\left( {0;3;0} \right),\,\,\,C\left( {0;0;3} \right)$.

$\Rightarrow AB = BC = CA = 3\sqrt 2$.

$\Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác đều.

$\Rightarrow$ Trực tâm $H$ trùng với trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$.

$\Rightarrow H \equiv G\left( {1;1;1} \right)$.

$\Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 3$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;5} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {2;3; - 1} \right)$

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Suy ra tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là trung điểm $I$ của $BC$.

Do đó: $I\left( {\frac{5}{2};4;1} \right)$ và $2m + 3n + 4p = 5 + 12 + 4 = 21$.

Ta có: $M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}$

$$= {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}$$

$$= {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}$$

$$= 3{\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}$$

Ta chọn điểm $G$ sao cho : $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$$\Rightarrow G\left( {1;2;3} \right)$

Ta có: $M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}$$= 3{\overrightarrow {MG} ^2} + \left( {{{\overrightarrow {GA} }^2} + {{\overrightarrow {GB} }^2} + {{\overrightarrow {GC} }^2}} \right)$ và ${\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}$ không đổi

Do đó: $M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi ${\overrightarrow {MG} ^2} = M{G^2}$ nhỏ nhất

khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ lên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$

$\Rightarrow M\left( {1;0;0} \right)$$\Rightarrow M{I^2} = 26$.

Đặt hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ.

Khi đó, ta có:

$A\left( {0;0;0} \right)$, $B\left( {3\sqrt {17} ;0;0} \right)$, $C\left( {3\sqrt {17} ;3\sqrt {51} ;0} \right)$, $D\left( {0;3\sqrt {51} ;0} \right)$, $S\left( {0;0;3\sqrt {17} } \right)$.

$G$ là trọng tâm của tam giác $SBD$$\Rightarrow G\left( {\sqrt {17} ;\sqrt {51} ;\sqrt {17} } \right)$

Độ dài $CG$là: $CG = 17$.

Ta có: $\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {4;0; - 3} \right)$.

Theo đề vec tơ $\overrightarrow c$ cùng hướng với $\overrightarrow u$ nên ta có: $\overrightarrow c = k\overrightarrow u = \left( {4k;0; - 3k} \right)$, với $k > 0$.

Mặt khác: $\left| {\overrightarrow c } \right| = 10 \Leftrightarrow \sqrt {16{k^2} + 9{k^2}} = 10 \Leftrightarrow 5k = 10 \Rightarrow k = 2(k > 0)$.

Suy ra: $\overrightarrow c = \left( {8;0; - 6} \right)$ và $2m + 3n - 4p = 40$.

Ta có: Điểm đối xứng của $B\left( { - 4;\,8;\,6} \right)$ qua mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ là $B'\left( { - 4;\,8;\, - 6} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB'} \left( { - 5;\,5;\, - 10} \right)$.

Khi đó với mọi điểm $M$thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ thì:$MB = MB' \Rightarrow MA + MB = MA + MB' \ge AB'$

Dấu bằng xảy ra khi ba điểm $A,\,M,B'$ thẳng hàng và điểm $M$ nằm giữa hai điểm $A,B'$.

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = k.\overrightarrow {AB'} \,\,\,\left( {0 \le k \le 1} \right)$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = k.\left( { - 5} \right)\\b - 3 = k.\left( 5 \right)\\0 - 4 = k.\left( { - 10} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 5\\k = \frac{2}{5}\end{array} \right.$

Vậy có: $2024a + 2025b = 2024.\left( { - 1} \right) + 2025.\left( 5 \right) = 8101$.