Đề kiểm tra Biến cố hợp biến cố giao và quy tắc cộng xác suất (có lời giải) - Đề 1

Vì $A$ và $B$ là các biến cố xung khắc nên $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$.

Suy ra $P\left( B \right) = P\left( {A \cup B} \right) - P\left( A \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.

$A$, $B$ là hai biến cố xung khắc.

Suy ra $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$$\Rightarrow P\left( B \right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{{15}}$.

Ta có: $n\left( \Omega \right) = C_{40}^3$.

Xét biến cố $A$là biến cố cần tìm => $n\left( A \right) = C_{16}^1.C_{24}^2 + C_{24}^3$

Xác suất $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{161}}{{247}}.$

Ta có: $n\left( \Omega \right) = C_{30}^5.$

Gọi biến cố$A$: “Đề có $1$ câu hỏi tự luận”.

=> $n\left( A \right) = C_{10}^1.C_{20}^4$ => $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} \approx 0{,}34$.

Gọi biến cố $B$: “Đề có $2$ câu hỏi tự luận”.

=> $n\left( B \right) = C_{10}^2.C_{20}^3$ => $P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} \approx 0{,}36$.

Do $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc => $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) \approx 0{,}7.$

Ta có: $n\left( \Omega \right) = C_{44}^3$.

Xét biến cố $A$là biến cố cần tìm.

Xét các TH sau:

TH1: 3 HSG, 0 HSK có $C_{24}^3.C_{20}^0$ cách.

TH2: 2 HSG, 1 HSK có $C_{24}^2.C_{20}^1$ cách.

=> $n\left( A \right) = 7544$ => $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{1886}}{{3311}}$.

Ta có $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)$.

Vì $A$, $B$ là hai biến cố xung khắc nên $A \cap B = \emptyset$.

Từ đó suy ra $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$.

Vì $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0{,}4.0{,}5 = 0{,}2.$

Do đó $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}2 = 0{,}7$.

Ta có: $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)$ nên $P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{12}} \ne 0$.

Suy ra hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố không xung khắc.

Xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba bán trúng đích lần lượt là: $P\left( {{A_1}} \right) = 0{,}8$; $P\left( {{A_2}} \right) = 0{,}6$; $P\left( {{A_1}} \right) = 0{,}5$

Xác suất để có đúng hai người bán trúng đích bằng: $P\left( {{A_1}} \right).P\left( {{A_2}} \right).P\left( {\overline {{A_3}} } \right) + P\left( {{A_1}} \right).P\left( {\overline {{A_2}} } \right).P\left( {{A_3}} \right) + P\left( {\overline {{A_1}} } \right).P\left( {{A_2}} \right).P\left( {{A_3}} \right) = 0{,}46$.

Ta có $C_{2023}^{1010}$ cách chọn $1010$ vị trí trong $2023$ lần tung đồng xu để mặt xấp xuất hiện, các lần tung còn lại không xuất hiện mặt sấp. Ứng với mỗi cách chọn cố định 1010 vị trí xuất hiện mặt xấp ta có xác suất của trường hợp đó tính như sau:

Tại những lần mặt xấp xuất hiện thì xác suất xảy ra là $0{,}6$.

Tại những lần mặt ngửa xuất hiện thì xác suất xảy ra là $1 - 0{,}6$.

Do có $1010$ lần xuất hiện mặt sấp và $1013$ xuất hiện mặt ngửa nên ứng với mỗi cách chọn cố định 1010 vị trí xuất hiện mặt xấp thì có xác xuất là: ${\left( {0{,}6} \right)^{1010}}{\left( {1 - 0{,}6} \right)^{1013}} = 0{,}064.{\left( {0{,}24} \right)^{1010}}$.

Vậy xác xuất cần tính là: $C_{2023}^{1010}.0{,}064.{\left( {0{,}24} \right)^{1010}}$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Gọi $A$ là biến cố: "Chọn được một học sinh tham gia môn bóng đá", $B$ là biến cố: "Chọn được một học sinh tham gia môn bóng chuyền".

Ta có: $P(A) = \frac{{18}}{{40}} = \frac{9}{{20}},P(B) = \frac{{10}}{{40}} = \frac{1}{4}$ và $P(AB) = \frac{6}{{40}} = \frac{3}{{20}}$.

Xác suất để chọn được một học sinh tham gia ít nhất một trong hai môn bóng đá, bóng chuyền là: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{9}{{20}} + \frac{1}{4} - \frac{3}{{20}} = \frac{{11}}{{20}}$.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Gọi A là biến cố: "Chọn được 2 viên bi màu xanh" $B$ là biến cố "Chọ được 2 viên bi màu đỏ", $C$ là biến cố "Chọn được 2 viên bi màu vàng" và $X$ là biến cố "Chọn được 2 viên bi cùng màu".

Ta có: $P(A) = \frac{{C_4^2}}{{C_9^2}} = \frac{1}{6};P(B) = \frac{{C_3^2}}{{C_9^2}} = \frac{1}{{12}};P(C) = \frac{{C_2^2}}{{C_9^2}} = \frac{1}{{36}}$.

Ta có $X = A \cup B \cup C$ và các biến cố $A,B,C$ đôi một xung khắc.

Do đó, ta có: $P(X) = P(A) + P(B) + P(C) = \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{36}} = \frac{5}{{18}}$.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Số các các số tự nhiên có $3$ chữ số đôi một khác nhau thuộc tập $E$ là $A_7^3 = 210$. Trong đó số các số không có mặt chữ số $5$ là $A_6^3 = 120$, và các số có mặt chữ số $5$ là $90$.

a) Gọi $A$là biến cố hai số được viết lên bảng đều có mặt chữ số $5$ thì $P(A) = \frac{{C_{90}^1.C_{90}^1}}{{C_{210}^1.C_{210}^1}} \Rightarrow P(A) = \frac{9}{{49}}$

b) Gọi $B$là biến cố hai số được viết lên bảng đều không có mặt chữ số $5$ thì

$$P(B) = \frac{{C_{120}^1.C_{120}^1}}{{C_{210}^1.C_{210}^1}} \Rightarrow P(B) = \frac{{16}}{{49}}$$

c) Ta có $A$, $B$ xung khắc nên $P(A \cup B) = P(A) + P(B) \Rightarrow P(A \cup B) = \frac{{25}}{{49}}$

d) Suy ra xác suất cần tính là $P = 1 - P(A \cup B) \Rightarrow P = \frac{{24}}{{49}}$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Không gian mẫu $\Omega = {\rm{\{ }}(a,b)/1 \le a,b \le 6\}$.

Trong đó a là số chấm trên con đỏ, b là số chấm trên con xanh.

Như vậy không gian mẫu $\Omega$ có 36 phần tử.

Gọi A: “Con đỏ xuất hiện mặt 6 chấm”.

B: “Con xanh xuất hiện mặt 6 chấm”

C: “Ít nhất một con xuất hiện mặt 6 chấm”.

Như vậy $C = A \cup B$$\Rightarrow P(C) = P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$\begin{array}{l}A = {\rm{\{ }}(6,b)/1 \le b \le 6\} \Rightarrow n(A) = 6 \Rightarrow P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\\B = {\rm{\{ }}(a,6)/1 \le a \le 6\} \Rightarrow n(B) = 6 \Rightarrow P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\end{array}$

Mặt khác $A \cap B = {\rm{\{ }}(6{,}6){\rm{\} }} \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{1}{{36}}$

Xác suất cần tìm là: $P(C) = P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{{36}} = \frac{{11}}{{36}}$.

Gọi $A$ là biến cố: “Chọn được một người hâm mộ đội bóng đá $X$”, gọi $B$ là biến cố: "Chọn được một người hâm mộ đội bóng đá $Y$ ".

Khi đó $P(A) = \frac{{22}}{{100}} = 0{,}22,P(B) = \frac{{39}}{{100}} = 0{,}39,P(AB) = \frac{7}{{100}} = 0{,}07$.

Suy ra: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0{,}22 + 0{,}39 - 0{,}07 = 0{,}54$.

Xác suất để chọn được người không hâm mộ đội nào trong hai đội bóng đá $X$ và $Y$ là: $P(\overline {A \cup B} ) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0{,}54 = 0{,}46$.

a) Gọi các biến cố $A$ : "Chọn được hộ nuôi chó", và $B$ : "Chọn được hộ nuôi mèo".

Ta có: $P(A) = \frac{{18}}{{50}} = \frac{9}{{25}},P(B) = \frac{{16}}{{50}} = \frac{8}{{25}},P(AB) = \frac{7}{{50}}$.

Xác suất để chọn được hộ nuôi chó hoặc nuôi mèo là:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{9}{{25}} + \frac{8}{{25}} - \frac{7}{{50}} = \frac{{27}}{{50}} \approx 0{,}54.{\rm{ }}$

b) Xác suất để hộ được chọn không nuôi cả chó và mèo là:

$P(\overline {A \cup B} ) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0{,}54 = 0{,}46.{\rm{ }}$

Gọi biến cố $A$ : "Lấy được một quả cầu màu xanh" và $B$ : "Lấy được một quả cầu màu vàng”. Ta có $A,B$ là hai biến cố xung khắc.

Xác suất để lấy được một quả cầu màu xanh hoặc một quả cầu màu vàng là:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{7}{{12}}.$

Gọi $A$ là biến cố: "Chiến thắng Công trong ván cờ", $B$ là biến cố: "Công thắng Chiến trong ván cờ" và $C$ : "Công và Chiến hoà nhau trong ván cờ".

Dễ thấy $A,B,C$ là các biến cố xung khắc.

Theo giả thiết thì ván đấu thứ nhất hai bạn hoà nhau, ván đấu thứ hai sẽ có thắng thua.

Xét ván thứ nhất: $P(C) = 1 - P(A) - P(B) = 1 - 0{,}3 - 0{,}4 = 0{,}3$.

Xét ván thứ hai: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}7$.

Xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván đấu là $P = 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}21$.

Gọi $A$ là biến cố: “Chọn được một học sinh giỏi môn Tiếng Anh”, $B$ là biến cố: "Chọn được một học sinh giỏi môn Toán".

Xác suất để chọn được một học sinh giỏi Toán hoặc giỏi Anh là:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{{12}}{{100}} + \frac{{35}}{{100}} - \frac{8}{{100}} = 0{,}39$

Xác suất để chọn được một em học sinh không giỏi môn nào trong hai môn Toán, Tiếng Anh là: $P(\overline {A \cup B} ) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0{,}39 = 0{,}61$.

Gọi ${A_i}(1 \le i \le 3,i \in \mathbb{N})$ lần lượt là biến cố: "Xạ thủ thứ $i$ bắn trúng đích".

Xác suất để xạ thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn trúng đích lần lượt là: $P\left( {{A_1}} \right) = 0{,}8;P\left( {{A_2}} \right) = 0{,}6;P\left( {{A_3}} \right) = 0{,}5$.

Gọi $X$ là biến cố: "Có đúng hai xạ thủ bắn trúng đích".

Ta có: $\begin{array}{llllllllllllllllllll}{P(X)}&{ = P\left( {{A_1}} \right) \cdot P\left( {{A_2}} \right) \cdot P\left( {{{\bar A}_3}} \right) + P\left( {{A_1}} \right) \cdot P\left( {{{\bar A}_2}} \right) \cdot P\left( {{A_3}} \right) + P\left( {{{\bar A}_1}} \right) \cdot P\left( {{A_2}} \right) \cdot P\left( {{A_3}} \right)}\\{}&{ = 0{,}8 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}5 + 0{,}8 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}5 + 0{,}2 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}5 = 0{,}46}\end{array}$