Đề kiểm tra Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất (có lời giải) - Đề 2

Mệnh đề sai là: hai biến cố xung khắc là hai biến cố đối nhau.

Xét các mệnh đề còn lại:

Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc ® là mệnh đề đúng, vì $A \cap \overline {A\,} = \emptyset$.

$A$ và $\Omega \backslash A$ là hai biến cố xung khắc ® đúng.

$A$ và $\Omega$ không phải là hai biến cố xung khắc ® đúng, vì $A \cap \Omega = A$.

Hai biến cố $A$ và $\overline A$ không độc lập, vì nếu $A$ xảy ra thì xác suất xảy ra $\overline A$ bằng 0 và ngược lại nếu $A$ không xảy ra thì xác suất xảy ra $\overline A$ bằng 1.

Hoặc: $\left\{ \begin{array}{l}P\left( {A\,\overline A } \right) = P\left( \emptyset \right) = 0\\P\left( A \right).P\left( {\overline A } \right) = P\left( A \right).\left[ {1 - P\left( A \right)} \right]\end{array} \right.$ $\Rightarrow \,\,\,P\left( {A\,\overline A } \right) \ne P\left( A \right).P\left( {\overline A } \right)$ khi $0 < P\left( A \right) < 1$.

Do đó biến cố $A$ và $\overline A$ không độc lập.

Vậy mệnh đề sai là: hai biến cố $A$ và $\overline A$ độc lập.

Tập hợp mô tả các biến cố: $A = \left\{ {2\,;\;4\,;\;6} \right\}$, $B = \left\{ {3\,;\;6} \right\}$.

Từ đó suy ra $AB = \left\{ 6 \right\}$.

Tập hợp mô tả các biến cố: $A = \left\{ {\left( {1\,;\;3} \right)\,,\;\left( {3\,;\;1} \right)\,,\;\left( {2\,;\;2} \right)} \right\}$, $B = \left\{ {\left( {1\,;\;4} \right)\,,\;\left( {4\,;\;1} \right)\,,\;\left( {2\,;\;2} \right)} \right\}$.

Suy ra $AB = \left\{ {\left( {2\,;\;2} \right)} \right\}$.

Tập hợp mô tả các biến cố: $A = \left\{ {\left( {1\,;\;4} \right)\,,\;\left( {4\,;\;1} \right)\,,\;\left( {2\,;\;3} \right)\,,\;\left( {3\,;\;2} \right)} \right\}$,

$C = \left\{ {\left( {1\,;\;6} \right)\,,\;\left( {6\,;\;1} \right)\,,\;\left( {1\,;\;5} \right)\,,\;\left( {5\,;\;1} \right)\,,\;\left( {1\,;\;4} \right)\,,\;\left( {4\,;\;1} \right)\,,\;\left( {1\,;\;3} \right)\,,\;\left( {3\,;\;1} \right)\,,\;\left( {1\,;\;2} \right)\,,\;\left( {2\,;\;1} \right)\,,\;\left( {1\,;\;1} \right)} \right\}$.

Từ đó suy ra $AC = \left\{ {\left( {1\,;\;4} \right)\,,\;\left( {4\,;\;1} \right)} \right\}$.

Không gian mẫu của phép thử là

$\Omega = \left\{ {\left( {S,1} \right),\left( {S,2} \right),\left( {S,3} \right),\left( {S,4} \right),\left( {S,5} \right),\left( {S,6} \right),\left( {N,1} \right),\left( {N,2} \right),\left( {N,3} \right),\left( {N,4} \right),\left( {N,5} \right),\left( {N,6} \right)} \right\}$.

Tập hợp mô tả các biến cố: $A = \left\{ {\left( {N,1} \right),\left( {N,2} \right),\left( {N,3} \right),\left( {N,4} \right),\left( {N,5} \right),\left( {N,6} \right)} \right\}$, $B = \left\{ {\left( {S,4} \right),\left( {N,4} \right)} \right\}$,

$\overline B = \left\{ {\left( {S,1} \right),\left( {S,2} \right),\left( {S,3} \right),\left( {S,5} \right),\left( {S,6} \right),\left( {N,1} \right),\left( {N,2} \right),\left( {N,3} \right),\left( {N,5} \right),\left( {N,6} \right)} \right\}$.

Từ đó suy ra $A\overline B = \left\{ {\left( {N,1} \right),\left( {N,2} \right),\left( {N,3} \right),\left( {N,5} \right),\left( {N,6} \right)} \right\}$.

Vậy xác suất của biến cố $A\overline B$ là $P\left( {A\overline B } \right) = \frac{{n\left( {A\overline B } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{12}}$.

Tập hợp mô tả các biến cố: $A = \left\{ {\left( {S,1} \right),\left( {S,2} \right),\left( {S,3} \right),\left( {S,4} \right),\left( {S,5} \right),\left( {S,6} \right)} \right\}$, $B = \left\{ {\left( {S,6} \right),\left( {N,6} \right)} \right\}$.

Từ đó suy ra $AB = \left\{ {\left( {S,6} \right)} \right\}$.

Không gian mẫu $\Omega = \left\{ {1\,;\;2\,;\;3\,;\;...\,;\;22} \right\}$, suy ra $n\left( \Omega \right) = 22$.

Ta có $A$ là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 2” $\Rightarrow \,\,\,A = \left\{ {2\,;\;4\,;\;6\,;\;...\,;\;22} \right\}$, $n\left( A \right) = 11.$

$B$ là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 3” $\Rightarrow \,\,\,B = \left\{ {3\,;\;6\,;\;9\,;\;12\,;\;15\,;\;18\,;\;21} \right\}$, $n\left( B \right) = 7$.

Ta cũng có $A \cap B = \left\{ {6\,;\;12\,;\;18} \right\}$, suy ra $P\left( {AB} \right) = \frac{3}{{22}}$.

Không gian mẫu $\Omega = \left\{ \begin{array}{l}\left( {1\,;\;1} \right)\,,\;\left( {1\,;\;2} \right)\,,\;\left( {1\,;\;3} \right)\,,\;\left( {1\,;\;4} \right)\,,\;\left( {1\,;\;5} \right)\\\left( {2\,;\;1} \right)\,,\;\left( {2\,;\;2} \right)\,,\;\left( {2\,;\;3} \right)\,,\;\left( {2\,;\;4} \right)\,,\;\left( {2\,;\;5} \right)\\\left( {3\,;\;1} \right)\,,\;\left( {3\,;\;2} \right)\,,\;\left( {3\,;\;3} \right)\,,\;\left( {3\,;\;4} \right)\,,\;\left( {3\,;\;5} \right)\\\left( {4\,;\;1} \right)\,,\;\left( {4\,;\;2} \right)\,,\;\left( {4\,;\;3} \right)\,,\;\left( {4\,;\;4} \right)\,,\;\left( {4\,;\;5} \right)\end{array} \right\}$, suy ra $n\left( \Omega \right) = 4.5 = 20$.

Ta có $A$ là biến cố “Tổng các số ghi trên 2 thẻ bằng 6” $\Rightarrow \,\,\,A = \left\{ {\left( {1\,;\;5} \right)\,,\;\left( {2\,;\;4} \right)\,,\;\left( {3\,;\;3} \right)\,,\;\left( {4\,;\;2} \right)} \right\}$.

$B$ là biến cố “Tích các số ghi trên 2 thẻ là số chẵn”.

Suy ra tập hợp mô tả biến cố $AB$ là $AB = \left\{ {\left( {2\,;\;4} \right)\,,\;\left( {4\,;\;2} \right)} \right\}$, $n\left( {AB} \right) = 2$.

Do đó $P\left( {AB} \right) = \frac{2}{{20}} = \frac{1}{{10}}$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Vì $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập với nhau nên:

$\begin{array}{l}P(AB) = P(A) \times P(B) = 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}24\\P(\bar AB) = P(\bar A) \times P(B) = 0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}36\\P(\bar A\bar B) = P(\bar A) \times P(\bar B) = 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}24\\P(A\bar B) = P(A) \times P(\bar B) = 0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}16\end{array}$

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Gọi $A$ là biến cố "người thứ nhất câu được cá". $B$ là biến cố "người thứ hai câu được cá". $C$ là biến cố "người thứ ba câu được cá".

Ta có: $P(A) = 0{,}5;P(B) = 0{,}4;P(C) = 0{,}3$.

Suy ra $P(\bar A) = 0{,}5;P(\bar B) = 0{,}6;P(\bar C) = 0{,}7$.

a) Gọi $X$ là biến cố “Có đúng 1 người câu được cá”, sẽ xảy ra các trường hợp sau:

Biến cố 1: Người thứ nhất câu được cá, người thứ hai và người thứ ba không câu được cá.

Biến cố 2: Người thứ hai câu được cá, người thứ nhất và người thứ ba không câu được cá.

Biến cố 3: Người thứ ba câu được cá, người thứ nhất và người thứ hai không câu được cá.

Vì 3 biến cố này xung khắc nên có:

$\begin{array}{l}P(X) = P(A \cap \bar B \cap \bar C) + P(\bar A \cap B \cap \bar C) + P(\bar A \cap \bar B \cap C)\\P(X) = P(A)P(\bar B)P(\bar C) + P(\bar A)P(B)P(\bar C) + P(\bar A)P(\bar B)P(C)\\P(X) = 0{,}5 \times 0{,}6 \times 0{,}7 + 0{,}5 \times 0{,}4 \times 0{,}7 + 0{,}5 \times 0{,}6 \times 0{,}3 = 0{,}44.\end{array}$

b) Gọi $Y$ là biến cố "Có đúng 2 người câu được cá”, sẽ xảy ra các trường hợp sau:

Biến cố 1 : Người thứ nhất và người thứ hai câu được cá, người thứ ba không câu được cá.

Biến cố 2: Người thứ hai và người thứ ba câu được cá, người thứ nhất không câu được cá.

Biến cố 3 : Người người thứ nhất và thứ ba câu được cá, người thứ hai không câu được cá.

Vì 3 biến cố này xung khắc nên có:

$\begin{array}{l}P(Y) = P(A \cap B \cap \bar C) + P(\bar A \cap B \cap C) + P(A \cap \bar B \cap C)\\P(Y) = P(A)P(B)P(\bar C) + P(\bar A)P(B)P(C) + P(A)P(\bar B)P(C)\\P(Y) = 0{,}5 \times 0{,}4 \times 0{,}7 + 0{,}5 \times 0{,}4 \times 0{,}3 + 0{,}5 \times 0{,}6 \times 0{,}3 = 0{,}29.\end{array}$

c) Gọi $Z$ là biến cố "Người thứ 3 luôn luôn câu được cá", sẽ xảy ra các trường hợp sau:

Biến cố 1 : Cả ba người luôn câu được cá.

Biến cố 2: Người thứ nhất câu được cá, người thứ hai không câu được cá, người thứ ba câu được cá.

Biến cố 3: Người người thứ nhất không câu được cá, người thứ hai câu được cá, người thứ ba câu được cá.

Biến cố 4: Người người thứ nhất và thứ hai không câu được cá, người thứ ba câu được cá.

Vì 4 biến cố này xung khắc nên có:

$\begin{array}{l}P(Z) = P(A \cap B \cap C) + P(A \cap \bar B \cap C) + P(\bar A \cap B \cap C) + P(\bar A \cap \bar B \cap C)\\P(Z) = P(A)P(B)P(C) + P(A)P(\bar B)P(C) + P(\bar A)P(B)P(C) + P(\bar A)P(\bar B)P(C)\\P(Z) = 0{,}5 \times 0{,}4 \times 0{,}3 + 0{,}5 \times 0{,}6 \times 0{,}3 + 0{,}5 \times 0{,}4 \times 0{,}3 + 0{,}5 \times 0{,}6 \times 0{,}3 = 0{,}3.\end{array}$

d) Gọi $T$ là biến cố "Có ít nhất 1 người câu được cá", suy ra $\bar T$ là biến cố "Cả 3 người không câu được cá". $P(T) = 1 - P(\bar T) = 1 - 0{,}5 \times 0{,}6 \times 0{,}7 = 0{,}79$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) $A$ = “Động cơ $I$ hoạt động bình thường” $\Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05$

$B$ = “Động cơ $II$ hoạt động bình thường” $\Rightarrow P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0{,}1 = 0{,}9$

Như vậy xác suất để hai động cơ hoạt động bình thường là: $0{,}9.0{,}95 = 0{,}855$

b) Xác suất để hai động cơ đều hỏng là: $0{,}1.0{,}05 = 0{,}005$

c) Ta có ba trường hợp

Xác suất để động cơ $I$ hoạt động, động cơ $II$ hỏng:$0{,}95.0{,}1 = 0{,}095$.

Xác suất để động cơ $II$ hoạt động, động cơ $I$ hỏng:$0{,}05.0{,}9 = 0{,}045$.

Xác suất để hai động cơ đều hoạt động là: $0{,}9.0{,}95 = 0{,}855$

Suy ra xác suất để ít nhất một động cơ hoạt động là: $0{,}095 + 0{,}045 + 0{,}855 = 0{,}995$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Gọi $A$là biến cố “chọn được đáp án đúng cho mỗi câu hỏi”.

Ta có $P\left( A \right) = \frac{1}{4}$. Khi đó $P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Suy ra xác suất để học sinh chọn đúng cả bốn câu là ${\left( {\frac{1}{4}} \right)^4} = 0{,}00390625$.

b) Xác suất để học sinh chọn không đúng câu nào là ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^4} = 0{,}31640625$.

c) Xác suất để học sinh chọn đúng một câu là $C_4^1.\frac{1}{4}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} = 0{,}421875$.

d) Xác suất để học sinh chọn đúng ít nhất một câu là $1 - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^4} = 0{,}68359375$.

Ta có: $X = \{ 1;3;5\} ,Y = \{ 2;4\} \Rightarrow X \cap Y = \emptyset$. Vậy $X,Y$ là hai biến cố xung khắc.

Nhận xét: Để có được tích ba số ghi trên ba thẻ là số lẻ thì cả ba thẻ thu được đều mang số lẻ. Gọi $U$ là biến cố: "Tích ba số ghi trên ba thẻ là số lẻ" thì $P(\bar U)$ là xác suất cần tìm.

Dễ thấy mỗi cặp biến cố $X$ và $Z,Y$ và $Z$ là độc lập.

Ta có: $P(X) = \frac{3}{5},P(Y) = \frac{2}{5},P(Z) = \frac{{C_3^2}}{{C_6^2}} = \frac{1}{5}$.

Khi đó: $P(U) = P(XZ) = P(X) \cdot P(Z) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{{25}}$.

Suy ra $P(\bar U) = 1 - P(U) = 1 - \frac{3}{{25}} = \frac{{22}}{{25}}$.

Gọi $A$ là biến cố: "Động cơ I chạy tốt"

$B$ là biến cố: "Động cơ II chạy tốt"

$C$ là biến cố: "Cả hai động cơ đều chạy tốt".

Ta thấy $A,B$ là hai biến cố độc lập với nhau và $C = AB$.

Theo công thức nhân xác suất ta có: $P(C) = P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}8 \cdot 0{,}7 = 0{,}56$.

a) Gọi $A$ là biến cố "Chọn đội văn nghệ gồm 12 bạn có đủ cả nam và nữ trong đó có đúng 6 bạn nam”.

$P(A) = \frac{{C_{10}^6 \times C_8^6}}{{C_{18}^{12}}} = \frac{{70}}{{221}}$

b) Gọi $B$ là biến cố “Chọn đội văn nghệ gồm 12 bạn có đủ cả nam và nữ trong đó có ít nhất 6 bạn nữ”.

$P(B) = \frac{{C_{10}^6 \times C_8^6 + C_{10}^5 \times C_8^7 + C_{10}^4 \times C_8^8}}{{C_{18}^{12}}} = \frac{{193}}{{442}}.$

a) Gọi $A$ là biến cố “Cả hai lần bắn đều trúng đích". Vì kết quả các lần bắn là độc lập với nhau suy ra: $P(A) = 0{,}8 \times 0{,}7 = 0{,}56$.

b) Gọi $B$ là biến cố: "Ít nhất 1 lần bắn trúng đích".

$P(B) = 0{,}8 \times 0{,}3 + 0{,}2 \times 0{,}7 + 0{,}8 \times 0{,}7 = 0{,}94.{\rm{ }}$

Gọi $A$ là biến cố “anh Hà bị lây bệnh từ người bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang". $P(A) = 0{,}9$.

Gọi $B$ là biến cố “anh Hà bị lây bệnh từ người bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang". $P(B) = 0{,}15$.

Vì $A$ và $B$ là 2 biến cố độc lập. Xác suất của biến cố "anh Hà bị lây bệnh từ người bệnh mà anh tiếp xúc đó” là: $P(AB) = 0{,}9 \times 0{,}15 = 0{,}135$.