Đề kiểm tra Bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Chọn C

Ta có: $- x + 2 + 2\left( {y - 2} \right) < 2\left( {1 - x} \right)$$\Leftrightarrow - x + 2 + 2y - 4 < 2 - 2x$$\Leftrightarrow x + 2y < 4$.

Dễ thấy tại điểm $\left( {4;\,2} \right)$ ta có: $4 + 2.2 = 8 > 4$.

Chọn A

Ta có: $3\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y - 2} \right) < 5x - 3$$\Leftrightarrow 3x - 3 + 4y - 8 < 5x - 3$$\Leftrightarrow 2x - 4y + 8 > 0$$\Leftrightarrow x - 2y + 4 > 0$

Dễ thấy tại điểm $\left( {0;0} \right)$ ta có: $0 - 2.0 + 4 = 4 > 0$.

Chọn A

Trước hết, ta vẽ đường thẳng $\left( d \right): - 3x + y + 2 = 0.$

Ta thấy $\left( {0\,\,;\,\,0} \right)$ không là nghiệm của bất phương trình.

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $\left( d \right)$ không chứa điểm $\left( {0\,\,;\,\,0} \right).$

Chọn B

Đầu tiên, thu gọn bất phương trình đề bài đã cho về thành $3x + 4y + 11 < 0.$

Ta vẽ đường thẳng $\left( d \right):3x + 4y + 11 = 0.$

Ta thấy $\left( {0\,\,;\,\,0} \right)$ không là nghiệm của bất phương trình.

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng (không kể bờ $\left( d \right)$) không chứa điểm $\left( {0\,\,;\,\,0} \right).$

Chọn D

Trước hết, ta vẽ đường thẳng $\left( d \right):2x + y = 1.$

Ta thấy $\left( {0\,\,;\,\,0} \right)$ không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng (không kể bờ $\left( d \right)$) không chứa điểm $\left( {0\,\,;\,\,0} \right).$

Chọn D

Trước hết, ta vẽ đường thẳng $\left( d \right):3x + 2y = - 6.$

Ta thấy $\left( {0\,\,;\,\,0} \right)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (không kể bờ $\left( d \right)$) chứa điểm $\left( {0\,\,;\,\,0} \right).$

Chọn B

Ta thấy $\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right) \in S$vì $- 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \sqrt 3 .0 + \sqrt 2 = 0$.

Chọn D

Ta có $2 - 3 = - 1 < 0$ nên Chọn D.

Chọn A

Trước hết, ta vẽ đường thẳng $\left( d \right):2x - \sqrt 2 y + \sqrt 2 - 2 = 0.$

Ta thấy $\left( {0\,\,;\,\,0} \right)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ $\left( d \right)$ chứa điểm $\left( {0\,\,;\,\,0} \right).$

Chọn C

Ta thấy $\left( {1; - 1} \right)$ thỏa mãn hệ phương trình do đó $\left( {1; - 1} \right)$là một cặp nghiệm của hệ phương trình.

Chọn A

Ta thấy $\left( {2;2} \right) \in S$vì $2 - 2.2 + 5 > 0$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Các bất phương trình bậc nhất hai ẩn là: $\frac{{ - 1}}{7}x - \frac{y}{3} \le 8$ và $\frac{2}{{ - 5}}x - {5^2}y \le - \sqrt {15}$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Thay $(3; - 4)$ vào bất phương trình $2x - 5y \le 8$ ta được $2.3 - 5.( - 4) \le 8 \Leftrightarrow 26 \le 8$

(vô lí), nên $(3; - 4)$ không là một nghiệm của bất phương trình $2x - 5y \le 8$.

Thay $( - 2;2)$ vào bất phương trình $2x - 5y \le 8$ ta được $2.( - 2) - 5.2 \le 8 \Leftrightarrow - 14 \le 8$

(đúng), nên $( - 2;2)$ là một nghiệm của bất phương trình $2x - 5y \le 8.$

Thay $\left( { - 3; - 1} \right)$ vào bất phương trình $2x - 5y \le 8$ ta được

2. $( - 3) - 5.( - 1) \le 8 \Leftrightarrow - 1 \le 8$ (đúng), nên $( - 3; - 1)$ là một nghiệm của bất phương trinh $2x - 5y \le 8$.

Thay $(5;0)$ vào bất phương trình $2x - 5y \le 8$ ta được $2.5 - 5.0 \le 8 \Leftrightarrow 10 \le 8$ (vô

lí), nên $(5;0)$ không là một nghiệm của bất phương trình $2x - 5y \le 8$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Thay $( - 1;2)$ vào bất phương trình $3x - 5y < - 15$ ta được: 3. $( - 1) - 5 \cdot 2 < - 15 \Leftrightarrow - 13 < - 15$ (vô lí), nên $( - 1;2)$ không là một nghiệm của bất phương trình $3x - 5y < - 15$.

Thay $( - 1;2)$ vào bất phương trình $2x + y \le 0$ ta được: $2.( - 1) + 2 \le 0 \Leftrightarrow 0 \le 0$

(đúng), nên $( - 1;2)$ là một nghiệm của bất phương trình $2x + y \le 0$.

Thay $( - 1;2)$ vào bất phương trình $3x - 9y > 7$ ta được: $3.( - 1) - 9 \cdot 2 > 7 \Leftrightarrow - 21 > 7$

(vô lí), nên $( - 1;2)$ không là một nghiệm của bất phương trình $3x - 9y > 7$.

Thay $( - 1;2)$ vào bất phương trình $- 4x + 3y \ge 5$ ta được: $- 4.( - 1) + 3.2 \ge 5 \Leftrightarrow$

$10 \ge 5$ (đúng), nên $( - 1;2)$ là một nghiệm của bất phương trình $- 4x + 3y \ge 5$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa $x$ và $y$ là: $1{,}5x + 1{,}2y \le 10$.

Miền nghiệm của bất phương trình $1{,}5x + 1{,}2y \le 10$ là nửa mặt phẳng bờ

là đường thẳng $d:1{,}5x + 1{,}2y = 10$ chứa điểm $O(0;0)$, được biểu diễn là miền không bị gạch chéo, tính cả bờ $d:1{,}5x + 1{,}2y = 10$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = 3y - 2x$ trên miền xác định bởi hệ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - y \le 6}\\{x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.$. Vẽ đường thẳng ${d_1}:x - y - 6 = 0$ đi qua hai điểm $(0; - 6)$ và $(6;0)$.

Vẽ đường thẳng ${d_2}:x - 2 = 0$ đi qua hai điểm $(2;0)$ và $(2;2)$.

Vẽ đường thẳng ${d_3}:x + y - 4 = 0$ đi qua hai điểm $(0;4)$ và $(4;0)$.

Xét điểm $M(3;0)$. Ta thấy tọa độ $M$ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.

Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - y \le 6}\\{x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.$ là miền không bị tô đậm (hình tam giác $ABC$ bao gồm cả các cạnh $AB,BC$ và $AC$ trên hình vẽ).

Tìm tọa độ các điểm $A,B,C$.

Điểm $A = {d_2} \cap {d_3}$ nên tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{x + y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{y = 2}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $A(2;2)$.

Điểm $B = {d_1} \cap {d_3}$ nên tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x - y - 6 = 0}\\{x + y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 5}\\{y = - 1}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $B(5; - 1)$

Điểm $C = {d_1} \cap {d_2}$ nên tọa độ điểm $C$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{x - y - 6 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{y = - 4}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $C(2; - 4)$.

Ta thấy $F = 3y - 2x$ đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm $A,B,C$.

Tại $A(2;2)$ thì $F = 2$.

Tại $B(5; - 1)$ thì $F = - 13$

Tại $C(2; - 4)$ thì $F = - 16$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = 3y - 2x$ trên miền xác định bởi hệ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - y \le 6}\\{x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.$ là -16 khi $x = 2,y = - 4$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F = x - 3y + 1$ trên miền xác định bởi hệ

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.$

Vẽ đường thẳng ${d_1}:2x - y - 4 = 0$ đi qua hai điểm $(0; - 4)$ và $(2;0)$.

Vẽ đường thẳng ${d_2}: - x + y - 1 = 0$ đi qua hai điểm $(0;1)$ và $( - 1;0)$.

Vẽ đường thẳng ${d_3}:x + y - 2 = 0$ đi qua hai điểm $(0;2)$ và $(2;0)$.

Xét điểm $M(2;2)$. Ta thấy tọa độ $M$ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.

Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.$ là miền không bị tô đậm (hình tam giác $ABC$ bao gồm cả các cạnh $AB,BC$ và $AC$ trên hình vẽ).

Tìm tọa độ các điểm $A,B,C$.

Điểm $A = {d_2} \cap {d_3}$ nên tọa độ điểm $A$ là

nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - x + y = 1}\\{x + y = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{1}{?}}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy $A\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)$.

Điểm $B = {d_1} \cap {d_2}$ nên tọa độ điềm $B$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - y - 4 = 0}\\{ - x + y - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 5}\\{y = 6}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $B(5;6)$.

Điểm $C = {d_1} \cap {d_3}$ nên tọa độ điểm $C$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - y - 4 = 0}\\{x + y - 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $C(2;0)$.

Ta thấy $F = x - 3y + 1$ đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm $A,B,C$.

Tại $A\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)$ thì $F = - 3$.

Tại $B(5;6)$ thì $F = - 12$

Tại $C(2;0)$ thì $F = 3$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $F = x - 3y + 1$ trên miền xác định bởi hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1{\rm{ l\`a }}3}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.$

khi $x = 2,y = 0$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x;y) = x - y$ với điều kiện $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y - 3 \le 0}\end{array}} \right.$.

Vẽ đường thẳng ${d_1}:x = 0$ đi qua hai điểm $(0;0)$ và $(0;1)$.

Vẽ đường thẳng ${d_2}:y = 0$ đi qua hai điểm $(0;0)$ và $(1;0)$.

Vẽ đường thẳng ${d_3}:x + y - 3 = 0$ đi qua hai điểm $(0;3)$ và $(3;0)$.

Xét điểm $M(1;1)$. Ta thấy tọa độ $M$ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.

Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y - 3 \le 0}\end{array}} \right.$ là miền không bị tô đậm (hình tam giác $OAB$ bao gồm cả các cạnh $OA,OB$ và $AB$ trên hình vẽ).

Tìm tọa độ các điểm $O,A,B$.

Điểm $O = {d_1} \cap {d_2}$ nên tọa độ điểm $O$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.$. Vậy $O(0;0)$.

Điểm $A = {d_1} \cap {d_3}$ nên tọa độ điểm $A$ là

nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{x + y - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $A(0;3)$.

Điểm $B = {d_2} \cap {d_3}$ nên tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{y = 0}\\{x + y - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 3}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $B(3;0)$.

Ta thấy $F = x - y$ đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm $O,A,B$.

Tại $O(0;0)$ thì $F = 0$.

Tại $A(0;3)$ thì $F = - 3$

Tại $B(3;0)$ thì $F = 3$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = x - y$ trên miền xác định bởi hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y - 3 \le 0}\end{array}} \right.$ là -3

khi $x = 0,y = 3$.

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tứ giác $ABCD$ có $A( - 3;0);B(0;2);C(3;1);D(3; - 2)$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho điểm $M(m;m - 1)$ nằm trong hình tứ giác $ABCD$ kể cả 4 cạnh.

Nhận thấy hình tứ giác $ABCD$ tính cả 4 cạnh của nó là miền nghiệm của hệ bất phương trình gồm 4 bất phương trình có miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm $O(0;0)$ và lần lượt có các bờ là các đường thẳng $AB,BC,CD$ và $DA$.

Phương trình đường thẳng $AB$ :

$\frac{{x + 3}}{{0 - ( - 3)}} = \frac{{y - 0}}{{2 - 0}} \Leftrightarrow 2x - 3y + 6 = 0.{\rm{ }}$

Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ $AB$ (tính cả bờ $AB$) và chứa điểm $O$ là $2x - 3y + 6 \ge 0$.

Phương trình đường thẳng $BC:\frac{{x - 0}}{{3 - 0}} = \frac{{y - 2}}{{1 - 2}} \Leftrightarrow x + 3y - 6 = 0$. Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ $BC$ (tính cả bờ $BC$) và chứa điểm $O$ là $x + 3y - 6 \le 0$.

Phương trình đường thẳng $CD:x - 3 = 0$. Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ $CD$ (tính cả bờ $CD$) và chứa điểm $O$ là $x - 3 \le 0$.

Phương trình đường thẳng $DA:\frac{{x + 3}}{{3 - ( - 3)}} = \frac{{y - 0}}{{ - 2 - 0}} \Leftrightarrow x + 3y + 3 = 0$. Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ $DA$ (tính cả bờ $DA$ ) và chứa điểm $O$ là $x + 3y + 3 \ge 0$.

Hình tứ giác $ABCD$ tính cả 4 cạnh của nó là miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - 3y + 6 \ge 0}\\{x + 3y - 6 \le 0}\\{x - 3 \le 0}\\{x + 3y + 3 \ge 0}\end{array}} \right.(1)$

Điểm $M(m;m - 1)$ nằm trong hình tứ giác $ABCD$ tính cả 4 cạnh của nó khi và chỉ khi $(m;m - 1)$ là một nghiệm của hệ $(1)$, tức là

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2m - 3(m - 1) + 6 \ge 0}\\{m + 3(m - 1) - 6 \le 0}\\{m - 3 \le 0}\\{m + 3(m - 1) + 3 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m \le 9}\\{m \le \frac{9}{4}}\\{m \le 3}\\{m \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 \le m \le \frac{9}{4}} \right.} \right.$

Vậy các giá trị của $m$ thỏa mãn là $0 \le m \le \frac{9}{4}$.

Gọi $x,y(xe)$ lần lượt là số xe loại $A$ và $B$ cần thuê.

Khi đó, số tiền cần bỏ ra để thuê xe là $F(x;y) = 5x + 4y$ (triệu đồng)

Ta có $x$ xe loại $A$ chở được $30x$ người và $0{,}8x$ tấn hàng; $y$ xe loại $B$ chở được $20y$ người và $1{,}6y$ tấn hàng.

Suy ra $x$ xe loại $A$ và $y$ xe loại $B$ chở được $30x + 20y$ người và $0{,}8x + 1{,}6y$ tấn hàng.

Ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{30x + 20y \ge 180}\\{0{,}8x + 1{,}6y \ge 8}\\{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x + 2y \ge 18}\\{x + 2y \ge 10}\\{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 9}\end{array}} \right.} \right.$ (*)

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của $F(x;y)$ trên miền nghiệm của hệ (*).

Miền nghiệm của hệ $(*)$ là tứ giác $ABCD$ (kể cả bờ)

Tìm tọa độ các điểm $A,B,C,D$.

Tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x + 2y - 18 = 0}\\{y = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{y = 9}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $A(0;9)$.

Tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x + 2y - 18 = 0}\\{x + 2y - 10 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 4}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $B(4;3)$.

Tọa độ điểm $C$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 10}\\{x + 2y - 10 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 10}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $C(10;0)$.

Tọa độ điểm $D$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 10}\\{y = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 10}\\{y = 9}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $D(10;9)$.

Ta thấy $F(x;y) = 5x + 4y$ đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm $A,B,C,D$.

Tại $A(0;9)$ thì $F = 36$ (triệu đồng).

Tại $B(4;3)$ thì $F = 32$ (triệu đồng).

Tại $C(10;0)$ thì $F = 50$ (triệu đồng).

Tại $D(10;9)$ thì $F = 86$ (triệu đồng).

Như vậy để chi phí thấp nhất cần thuê 4 xe loại $A$ và 3 xe loại $B$.

Điều kiện: $0 \le x \le 2;0 \le y \le 1{,}5$

Khi đó số protein có được là $800x + 600y$ và số lipit có được là $200x + 400y$

Vì gia đình đó cần ít nhất 1200 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là:

$800x + 600y \ge 1200 \Leftrightarrow 4x + 3y \ge 6{\rm{ v\`a }}200x + 400y \ge 800 \Leftrightarrow x + 2y \ge 4$

Ta có hệ bất phương trình sau:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{0 \le x \le 2}\\{0 \le y \le 1{,}5}\\{4x + 3y \ge 6}\\{x + 2y \ge 4}\end{array}} \right.$(*)