Đề kiểm tra Bài tập cuối chương VI lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Hàm số $y = \sqrt {x + 2} + \sqrt {2 - x}$ xác định $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\2 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le x \le 2$.

Vậy $D = \left[ { - 2;2} \right]$.

Ta có

Do $M \in \left( P \right)$ nên $c = 4.$

Trục đối xứng: $- \frac{b}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow b = - 4.$

Vậy $\left( P \right):y = 2{x^2} - 4x + 4$ và $S = - 4 + 4 = 0.$

Parabol có bề lõm quay lên trên nên $a > 0$.

Parabol cắt trục tung tại điểm có tọa độ $\left( {0;c} \right)$ nằm phía trên trục hoành nên $c > 0$.

Đỉnh của parabol nằm bên trái trục tung nên có hoành độ $- \frac{b}{{2a}} < 0$ mà $a > 0$ nên $b > 0$.

Từ bảng xét dấu ta có $f(x) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $x = 2,\,x = 3$và $f(x) > 0\,khi\,x \in \left( {2;3} \right)$

Do đó $f(x) = - {x^2} + 5x - 6$.

Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$

* Xét $m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2$ thì $f\left( x \right) = 2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \frac{1}{2}$, loại $m = 2$.

* Xét $m \ne 2$

$\left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 > 0\\{\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {m - 2} \right)\left( {m - 1} \right) \le 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\m \ge \frac{7}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge \frac{7}{3}$

Vậy $m \ge \frac{7}{3}$

$ycbt \Leftrightarrow a.c < 0 \Leftrightarrow - {m^2} < 0 \Leftrightarrow {m^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 0$.

Suy ra $m \in \left\{ { - 10;...; - 1} \right\} \cup \left\{ {1;...;10} \right\}$.

Vậy có 20 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phương trình $\sqrt {6 - 5x} = 2 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\6 - 5x = 4 - 4x + {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\{x^2} + x - 2 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng $1 + \left( { - 2} \right) = - 1$.

Phương trình: $\sqrt {{x^2} - 4} = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} - 4 = {x^2} - 4x + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2.$

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm.

Để $f\left( x \right)$ không dương thì ${x^2} - 6x + 8 \le 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) \le 0$

Lập bảng xét dấu $f\left( x \right)$

ta thấy để $f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {2;4} \right]$.

Ta có $\frac{{3x - 2}}{{x - 1}} < 2x$$\Rightarrow \frac{{3x - 2}}{{x - 1}} - 2x < 0 \Rightarrow \frac{{ - 2{x^2} + 5x - 2}}{{x - 1}} < 0$.

Xét dấu vế trái

Dựa vào bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bpt là $S = \left( {\frac{1}{2};1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) ĐKXĐ: $3x + 9 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 3$. Vậy TXĐ hàm số là $D = [ - 3; + \infty )$.

b) ĐKXĐ: $5 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{5}{2}$. Vậy TXĐ hàm số là $D = \left( { - \infty ;\frac{5}{2}} \right)$.

c)ĐKXĐ: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{4 - x \ge 0}\\{x - 2 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \le 4}\\{x \ge 2}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy TXĐ hàm số là $D = [2;4]$.

d) ĐKXĐ: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + 1 \ge 0}\\{x - 1 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge - 1}\\{x \ne 1}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy TXĐ hàm số là $D = [ - 1;1) \cup (1; + \infty )$.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Theo định lý về dấu tam thức bậc hai: Nếu ∆ = 0 thì $f\left( x \right)$ luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi $x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{b}{{2a}}} \right\}$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

b) Ta có: $\sqrt {2{x^2} + x - 6} = x + 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x + 2 \ge 0}\\{2{x^2} + x - 6 = {{(x + 2)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x \ge - 2}\\{{x^2} - 3x - 10 = 0}\end{array}} \right.} \right.$

Phương trình ${x^2} - 3x - 10 = 0$ có hai nghiệm $x = - 2,x = 5$. Ta thấy $x = - 2$ và $x = 5$ đều thoả mãn $x \ge - 2$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{ - 2;5\}$.

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) $S = \left\{ 2 \right\}$.

b) $S = \left\{ { - 1;3} \right\}$.

c) $S = \left\{ {2; - 13} \right\}$.

d) $S = \left\{ 2 \right\}$.

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \{ - m\}$.

Với ${x_1} \ne {x_2}$ ta có: $A = \frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = \frac{{\frac{{{x_1}}}{{{x_1} + m}} - \frac{{{x_2}}}{{{x_2} + m}}}}{{{x_1} - {x_2}}} = \frac{m}{{\left( {{x_1} + m} \right)\left( {{x_2} + m} \right)}}$.

Để hàm số nghịch biến trên $( - \infty ; - 1)$ khi $- 1 \le - m \Leftrightarrow m \le 1(*)$

Do đó: $\forall {x_1},{x_2} \in ( - \infty ; - m),{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow {x_1} < - m;{x_2} < - m$

$\Rightarrow {x_1} + m < 0,{x_2} + m < 0 \Rightarrow A < 0 \Leftrightarrow m < 0$

Kết hợp với (*) ta có $m < 0$.

Điều kiện $- 2 \le x \le 4$.

Đặt $t = \sqrt {8 + 2x - {x^2}} = \sqrt {9 - {{(x - 1)}^2}} \le 3 \Rightarrow t \in [0;3]$.

Phương trình đã cho trở thành $- {t^2} + t + 5 = 2m(1)$.

Phương trình đã cho có nghiệm khi (1) có nghiệm $t \in [0;3]$.

Xét hàm số $f(t) = - {t^2} + t + 5$ trên đoạn $[0;3]$.

Bảng biến thiên:

Phương trình $f(t) = 2m$ có nghiệm khi $- 1 \le 2m \le \frac{{21}}{4} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le m \le \frac{{21}}{8}$

Vậy $- \frac{1}{2} \le m \le \frac{{21}}{8}$.

Gọi $A$ và $B$ là hai điểm ứng với hai chân cổng như hình vẽ. Vì cổng hình parabol cớ phương trình $y = - \frac{1}{2}{x^2}$ và có chiều rộng $d = 5$ mét nên $AB = 5$ và $A\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{{25}}{8}} \right);B\left( {\frac{5}{2}; - \frac{{25}}{8}} \right)$.

Vậy chiều cao của cổng là: $\left| { - \frac{{25}}{8}} \right| = \frac{{25}}{8} = 3{,}125$ mét.

Xét ${x^2} - 10x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = 10$.

Bảng xét dấu:

Ta có: ${x^2} - 10x \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 10$. Do vậy: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x + m \ge 0}\\{{x^2} - 10x \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge - \frac{m}{2}}\\{0 \le x \le 10}\end{array}} \right.} \right.$.

Hệ có 8 nghiệm nguyên khi và chỉ khi $2 < - \frac{m}{2} \le 3 \Leftrightarrow 4 < - m \le 6 \Leftrightarrow - 6 \le m < - 4$. Vậy $m \in [ - 6; - 4)$ thỏa mãn đề bài.

Tổng trọng lượng cá thu được sau một vụ là

$T(n) = n(360 - 10n) = - 10{n^2} + 360n$.

Đây là hàm số bậc hai (theo $n$ ) có $a = - 10 < 0,b = 360 \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = 18$, $T(18) = 3240$

Vậy, người nuôi cần thả 18 con cá trên một đơn vị diện tích để đạt tổng trọng lượng cá lớn nhất là 3240 (đơn vị khối lượng).