Đề kiểm tra Bài tập cuối chương V lớp 11 (có lời giải) - Đề 1

Chọn C

$\begin{array}{l}{u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}{\rm{\;c\'o \;}}{u_1} = \frac{2}{3},q = \frac{1}{3}\\S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = 1\end{array}$

Chọn B

$\underset{x\rightarrow 1}{\text{lim}}\frac{{x}^{2}+x-2}{x-1}=\underset{x\rightarrow 1}{\text{lim}}(x+2)=3$

Để $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$ thì suy ra ${\rm{a}} = 3$.

Chọn C

$$\lim \frac{{{3^n} - {{4.2}^{n - 1}} - 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}} = \lim \frac{{{3^n} - {{2.2}^n} - 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} - 2.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} - 3.{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}}{{3.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} + 1}} = 0$$

Chọn B

$\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {3{n^2} + 2} } \right) = \lim n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {3 + \frac{2}{{{n^2}}}} } \right) = - \infty$.

Vì $\lim n = + \infty ;\,\,\lim \left( {\sqrt {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {3 + \frac{2}{{{n^2}}}} } \right) = 1 - \sqrt 3 < 0$.

Chọn B

$\lim \left( {{3^n} - {5^n}} \right) = \lim {5^n}\left( {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} - 1} \right) = - \infty$.

Vì $\lim {5^n} = + \infty ;\,\,\lim \left( {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} - 1} \right) = - 1$.

Chọn C

Ta có $T = \lim \left( {\sqrt {{{16}^{n + 1}} + {4^n}} - \sqrt {{{16}^{n + 1}} + 3} } \right)$$= \lim \frac{{{4^n} - {3^n}}}{{\sqrt {{{16}^{n + 1}} + {4^n}} + \sqrt {{{16}^{n + 1}} + {3^n}} }}$

$= \lim \frac{{{4^n} - {3^n}}}{{\sqrt {{{16.16}^n} + {4^n}} + \sqrt {{{16.16}^n} + {3^n}} }}$$= \lim \frac{{1 - {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}}{{\sqrt {16 + {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} + \sqrt {16 + {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}} }}$$= \frac{1}{{4 + 4}}$$= \frac{1}{8}$.

Chọn C

Từ $\lim {u_n} = 2$ ta có $\lim \frac{{3{u_n} - 1}}{{2{u_n} + 5}}$$= \frac{{3.2 - 1}}{{2.2 + 5}}$$= \frac{5}{9}$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Ta có $f\left( 1 \right) = 2a - 1$.

Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì phải tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{x - 1}}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$.

Để tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{x - 1}}$ thì $\left( {{x^2} + ax + b} \right) \vdots \left( {x - 1} \right) \Rightarrow 1 + a + b = 0 \Rightarrow b = - a - 1$.

Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + a + 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + a + 1} \right) = a + 2$.

Do đó để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$

$\Leftrightarrow 2a - 1 = a + 2 \Leftrightarrow a = 3$. Suy ra $b = - 4$.

Vậy $a - b = 7$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

$2 = \lim {u_n} = \lim \frac{{4{n^2} + n + 2}}{{a{n^2} + 5}} = \lim \frac{{4 + \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}}{{a + \frac{5}{{{n^2}}}}} = \frac{4}{a}\,\,\left( {a\not = 0} \right)$

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + ax + 5} + x} \right) = - 6$ $\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2} + ax + 5 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + ax + 5} - x}}} \right) = - 6$ $\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{ax + 5}}{{\sqrt {{x^2} + ax + 5} - x}}} \right) = - 6$ $\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{a + \frac{5}{x}}}{{ - \sqrt {1 + \frac{a}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} - 1}}} \right) = - 6$$\Leftrightarrow \frac{a}{{ - 2}} = - 6$$\Leftrightarrow a = 12$.

Vì vậy giá trị của $a$ là một nghiệm của phương trình ${x^2} + 11x - 12 = 0$.

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Nếu nhân lượng liên hợp :

Ta có $\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 8n} - n + {a^2}} \right) = \lim \frac{{\left( {2{a^2} - 8} \right)n}}{{\sqrt {{n^2} + n} + n}} = \lim \frac{{2{a^2} - 8}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} + 1}}$

$$= {a^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow a = \pm 2.$$

Ta có: $0 \le {u_n} \le \frac{2}{{2n + 1}} \le \frac{1}{n}$

$0 \le {v_n} \le \frac{{n + 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{n}$

Do đó, $\lim {u_n} = 0$ và $\lim {v_n} = 0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} x = 1;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - {x^2}} \right) = - 1$

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)$

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{(x - 2)(x + 2)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} (x - 2) = - 2 - 2 = - 4$, $f\left( { - 2} \right) = a$

Để hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số $f(x)$ phải liên tục tại ${x_0} = - 2$

Hay $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x) = f( - 2)$

Suy ra: $a = - 4$

${u_n} = \frac{{{n^n}{{\left( {n + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {2n + 2} \right)}^{2n}}}} = \frac{{{{\left( {{n^2} + 2n} \right)}^n}}}{{{2^{2n}}{{\left( {n + 1} \right)}^{2n}}}} \le \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^{2n}}}}{{{2^{2n}}{{\left( {n + 1} \right)}^{2n}}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2n}}$

Mà $\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2n}} = 0$ nên $\lim {u_n} = 0$

Giả sử $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số bất kì, ${x_n} < - 1$ và ${x_n} \to - 1$. Khi đó $f\left( {{x_n}} \right) = 1 - 2{x_n}$ nên $\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {1 - 2{x_n}} \right) = 1 - 2 \cdot ( - 1) = 3$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = 3$

Giả sử $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số bất kì, ${x_n} > - 1$ và ${x_n} \to - 1$. Khi đó $f\left( {{x_n}} \right) = x_n^2 + 2$ nên $\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {x_n^2 + 2} \right) = {( - 1)^2} + 2 = 3$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = 3$

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f(x) = 3$

Tập xác định $D = \mathbb{R}$ và $x = - 2 \in D$.

Ta có: $f\left( { - 2} \right) = - 11$

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \left( {3x - 5} \right) = - 11$$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left( {ax - 1} \right) = - 2a - 1$.

Để hàm số liên tục tại $x = - 2$ thì $f\left( { - 2} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) \Leftrightarrow - 2a - 1 = - 11 \Leftrightarrow a = 5$.

Vậy hàm số liên tục tại $x = - 2$ khi $a = 5$.