Đề kiểm tra Bài tập cuối chương IX lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Số phần tử của không gian mẫu là: $\left| \Omega \right| = {6^2} = 36$.

Gọi A là biến cố để tổng số chấm hai mặt là $11$, các trường hợp có thể xảy ra của A là $A = \left\{ {\left( {5;6} \right);\left( {6;5} \right)} \right\}$.

Số phần tử của cùa $A$ là: $\left| {{\Omega _A}} \right| = 2$.

Xác suất biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{1}{{18}}$.

Ta có:${A_k}$là biến cố: “ Máy thứ $k$ bị hỏng”. $k = 1{,}2,...,n$.

Nên: $\overline {{A_k}}$là biến cố: “ Máy thứ $k$ tốt ”. $k = 1{,}2,...,n$.

Biến cố$A$: “ Cả $n$ đều tốt đều tốt “ là: $A = {\bar A_1}{\bar A_2}...{\bar A_n}$.

Ta thấy câu lạc bộ có tất cả $20$ học sinh và trong đó có $8$ học sinh nữ.

Xét hành động chọn ngẫu nhiên một học sinh thì khi đó số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega \right) = 20$.

Biến cố A: “chọn được học sinh là nữ” thì số kết quả $n\left( A \right) = 8$.

Vậy $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{8}{{20}} = \frac{2}{5}$.

Biến cố A: “Số chấm xuất hiện trong 2 lần khác nhau”.

Do đó tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố $\overline A$ là:

$\overline A = \left\{ {\left( {1{,}1} \right);\left( {2{,}2} \right);\left( {3{,}3} \right);\left( {4{,}4} \right);\left( {5{,}5} \right);\left( {6{,}6} \right)} \right\}$.

Gọi $A$ là biến cố ít nhất một người sút bóng thành công.

Xác suất để cả hai cầu thủ sút bóng không thành công là $P\left( {\overline A } \right) = 0{,}2.0{,}3 = 0{,}06$

Do đó xác suất để ít nhất 1 người sút thành công là $P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0{,}06 = 0{,}94$.

Gọi biến cố $A:$ “Số chấm xuất hiện lớn hơn 1”

Số phần tử không gian mẫu $n\left( \Omega \right) = 6$

Số phần tử của biến cố $A:\,\,n\left( A \right) = 5$.

Xác suất $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{6}$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Không gian mẫu: $n(\Omega ) = C_{15}^5 = 3003$.

b) Gọi $A$ là biến cố: "Có đúng 1 bạn nữ".

Số cách chọn 5 bạn trong đó có đúng bạn 01 nữ là (1 nữ, 4 nam) là: $C_7^1 \cdot C_8^4$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow n(A) = C_7^1 \cdot C_8^4.\\ \Rightarrow P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{490}}{{3003}} = \frac{{70}}{{429}}.\end{array}$

c) Gọi $B$ là biến cố: "5 bạn được chọn có 3 nam và 2 nữ".

Số cách chọn 5 bạn trong đó có 3 nam, 2 nữ là: $C_8^3 \cdot C_7^2$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow n(B) = C_8^3 \cdot C_7^2.\\ \Rightarrow P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{1176}}{{3003}} = \frac{{56}}{{143}}.\end{array}$

d) Gọi $C$ là biến cố: "5 bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ "

Trường hơp 1: chọn 4 nam và 1 nữ.

Số cách chọn 5 bạn trong đó có 4 nam, 1 nữ là: $C_8^4 \cdot C_7^1$.

Trường hợp 2: Chọn 3 nam và 2 nữ.

Số cách chọn 5 bạn trong đó có 3 nam, 2 nữ là: $C_8^3 \cdot C_7^2$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow n(C) = C_8^4 \cdot C_7^1 + C_8^3 \cdot C_7^2 = 1666.\\ \Rightarrow P(C) = \frac{{n(C)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{1666}}{{3003}} = \frac{{238}}{{429}}.\end{array}$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) $C_{13}^5 = 1287$.

b) Có $C_7^3 \cdot C_6^2 = 525$ cách chọn 5 bạn, có đúng 3 bạn nam.

c) Có $C_7^3 \cdot C_6^2 + C_7^4 \cdot C_6^1 + C_7^5 = 756$ cách chọn 5 bạn, có ít nhất 3 bạn nam.

d) Có $C_7^3 \cdot C_6^2 + C_7^2 \cdot C_6^3 + C_7^1 \cdot C_6^4 + C_6^5 = 1056$ cách chọn 5 bạn, có nhiều nhất 3 bạn nam

Cách khác: $C_{13}^5 = 1287$ cách chọn 5 bạn từ 13 bạn.

$C_7^4 \cdot C_6^1 + C_7^5 = 231$ cách chọn 5 bạn, có nhiều hơn 3 bạn nam.

Vậy có $1287 - 231 = 1056$ cách chọn 5 bạn, có nhiều nhất 3 bạn nam

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega ) = 10!$.

b) Gọi $A$ là biến cố: "5 bạn nữ đứng cạnh nhau".

Giả sử ghép 5 bạn nữ thành một nhóm có 5! cách ghép.

Coi 5 bạn nữ này là 1 cụm $X$.

Khi đó bài toán trở thành xếp 5 bạn học sinh nam và $X$ thành một hàng dọc.

Khi đó số cách xếp là $6! \Rightarrow n(A) = 5!.6!$

Vậy xác suất của biến cố $A$ là $P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{5!6!}}{{10!}} = \frac{1}{{42}}$.

c) Gọi $B$ là biến cố: "Học sinh nam và học sinh nữ đứng cạnh nhau".

Để xếp 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng ngang sao cho học sinh nam và học sinh nữ đứng cạnh nhau thì ta sẽ xếp xen kẽ.

Đánh số 10 vị trí từ 1 đến 10.

Trường hợp 1: Nam đứng vị trí lẻ, nữ đứng các vị trí chã̃n.

Ta có: $5!.5!$.

Trường hợp 2: Nam đứng vị trí chã̃n, nữ đứng các vị trí lẻ Ta có: $5!.5$!.

Vậy có tất cả $5!.5! + 5!.5! = 2.5!.5!$ cách xếp nam, nữ đứng xen kẽ thành một hàng ngang

Vậy $P(B) = \frac{1}{{126}}$

d) Gọi $C$ biến cố "để 2 người đứng đầu hàng và cuối hàng là nữ".

Số cách chọn 2 bạn nữ xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là: $A_5^2$.

Lúc này, còn lại 3 bạn nữ và 5 bạn nam, số cách xếp 8 người này vào 1 hàng là

Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu đề là: $A_5^2 \cdot 8!$.

Vậy $P(C) = \frac{2}{9}$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Hãy xác định số các kết quả thuận lợi cho biến cố "Trong 4 viên bi được chọn có ít nhất 1 bi xanh".

Có $C_{12}^4$ cách chọn 4 viên bi tùy ý. Có $C_9^4$ cách chọn 4 viên bi đỏ, vàng. $C_{12}^4 - C_9^4 = 369$ cách chọn 4 viên bi, có ít nhất 1 bi xanh.

Hãy xác định số các kết quả thuận lợi cho biến cố "Trong 4 viên bi được chọn có ít nhất 2 bi đỏ".

$C_8^4$ cách chọn 4 viên bi xanh, vàng.

$C_4^1 \cdot C_8^3$ cách chọn 4 viên, có đúng 1 bi đỏ.

$C_8^4 + C_4^1 \cdot C_8^3$ cách chọn 4 viên bi, có ít hơn 2 bi đỏ.

$C_{12}^4 - \left( {C_8^4 + C_4^1 \cdot C_8^3} \right) = 201$ cách chọn 4 viên bi, có ít nhất 2 bi đỏ.

Gọi $A$ là biến cố: "Có 1 cây bút chì màu đỏ và 1 cây bút chì màu xanh".

Số cách chọn được 1 bút đỏ ở hộp 1, 1 bút xanh ở hộp 2 là: $C_5^1 \cdot C_4^1$.

Số cách chọn được 1 bút đỏ ở hộp 2, 1 bút xanh ở hộp 1 là: $C_8^1 \cdot C_7^1$.

$\Rightarrow n(A) = C_5^1 \cdot C_4^1 + C_8^1 \cdot C_7^1 = 76.$

Ta có $n(\Omega ) = 36$.

Gọi $B$ là biến cố tổng số chấm trên hai viên xúc xắc bằng 12 .

$B = \{ (6;6)\}$. Do đó, ta có $n(B) = 1.$

Vậy xác suất của biến cố $B$ là: $P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{1}{{36}}$.

Giả sử các vị trí của hàng dọc được đánh số thứ tự từ đầu hàng là $1{,}2{,}3{,}4{,}5{,}6{,}7{,}8$. Số cách xếp 8 bạn thành một hàng dọc là $8! = 40320$.

Xếp các bạn nam và bạn nữ đứng xen kẽ nhau có hai trường hợp:

Truờng hợp 1: Các bạn nam đứng ở các vị trí số lẻ còn các bạn nữ đứng ở các vị trí số chẵn. Số cách xếp như vậy là $4!.4! = 576$.

Truờng hợp 2: Các bạn nữ đứng ở các vị trí số lẻ còn các bạn nam đứng ở các vị trí số chẵn. Số cách xếp như vậy là $4! \cdot 4! = 576$.

Vậy xác suất của biến cố “Xếp được các bạn nam và bạn nữ đứng xen kẽ nhau" là: $\frac{{576 + 576}}{{40320}} = \frac{1}{{35}}$

Số tam giác được tạo từ 3 đỉnh trong 12 đỉnh là $C_{12}^3$. Vì vậy $n(\Omega ) = C_{12}^3$.

Gọi $A$ : "Chọn được tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác".

Xét số tam giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác:

Các tam giác này sẽ có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp của đa giác tức là có 2 cạnh là 2 cạnh liên tiếp của đa giác, 2 cạnh này cắt nhau tại 1 đỉnh, mà đa giác này có 12 đỉnh nên có 12 tam giác thỏa mãn trường hợp này.

Xét số tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác:

Trước tiên ta chọn 1 cạnh trong 12 cạnh của đa giác nên có 12 cách chọn.

Tiếp theo chọn 1 đỉnh còn lại trong 8 đỉnh (trừ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn và 2 đỉnh liền kể với cạnh đã chọn). Do đó trong trường hợp này có $8.12$ tam giác.

Số tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác là $12 + 8.12 = 108$.

Suy ra: $n(A) = C_{12}^3 - 108 = 112$. Vậy $P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{28}}{{55}}$.

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega ) = 8$ !.

Gọi $B$ là biến cố : "Không có hai viên bi xanh nào đứng cạnh nhau".

Sắp xếp trước 5 bi đỏ trên một hàng, có 5 ! cách.

Mỗi cặp bi đỏ kề nhau sẽ có một vị trí giữa, ta có 4 vị trí như vậy, cộng với 2 vị trí đầu, cuối hàng ; vậy có 6 vị trí có thể đặt 3 bi xanh vào để không có hai viên bi xanh nào nằm cạnh nhau.

Suy ra $n(B) = 5!A_6^3$. Vậy $P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{5!A_6^3}}{{8!}} = \frac{5}{{14}}$.