Đề kiểm tra Bài tập cuối chương IV lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Chọn D

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \frac{x}{9}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) = \left( {\frac{x}{9} - \frac{1}{2}} \right)\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$.

Chọn D

Ta có: $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {AF} + 2\overrightarrow {AE} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AE} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AF}$.

Chọn D

$\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {CB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {MC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {0 \Rightarrow }$ M là trọng tâm $\Delta ABC$

Chọn A

$2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = 2\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right) + \overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} = 6\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {GM} = \frac{1}{6}\overrightarrow {BC}$

Chọn B

Ta có $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = - 3\overrightarrow {MC} \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG} = - 3\overrightarrow {MC} \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = - \overrightarrow {MC}$

Hay M là trung điểm của GC

Chọn A

Ta có$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 4\overrightarrow {AM} \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \Rightarrow M \equiv O$

Chọn B

Ta có $\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right).\overrightarrow {AB} = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right).\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right) = 0$

$\Leftrightarrow {\overrightarrow {OB} ^2} - {\overrightarrow {OA} ^2} = 0 \Leftrightarrow O{B^2} - O{A^2} = 0 \Leftrightarrow OB = OA$

Chọn D

Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ $\overrightarrow {AB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {BD}$ theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.

Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + 0 = - A{B^2} = - 64$.

Chọn D

Gọi $O = AC \cap BD$, giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ $\overrightarrow {AB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {AC}$ theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.

Ta có

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} } \right).\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AO} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} + 0 = \frac{1}{2}A{C^2} = 32$.

Chọn D

Gọi $I$ là trung điểm

Ta có $\overrightarrow {MA} \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right) = 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .2\overrightarrow {MI} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MI} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \bot \overrightarrow {MI}$. $\left( * \right)$

Biểu thức $\left( * \right)$ chứng tỏ $MA \bot MI$ hay $M$ nhìn đoạn $AI$ dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm $M$ là đường tròn đường kính $AI.$

Chọn D

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác

Ta có $\overrightarrow {MB} \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} .3\overrightarrow {MG} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MG} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} \bot \overrightarrow {MG} .$ $\left( * \right)$

Biểu thức $\left( * \right)$ chứng tỏ $MB \bot MG$ hay $M$ nhìn đoạn $BG$ dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm $M$ là đường tròn đường kính $BG.$

Lời giải

Chọn B

Ta có: ${\left( {\left| {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|} \right)^2} = {\left( {2\overrightarrow {AB} } \right)^2} + 4\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + {\overrightarrow {AC} ^2} = 4A{B^2} + A{C^2}$ ( vì $AB \bot AC \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0$)

$= 4{a^2} + {a^2} = 5{a^2} \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 5$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JD}$

$= (\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BI} ) + 2\overrightarrow {IJ} + (\overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} ) = 2\overrightarrow {IJ}$

b) $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JD} + \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JC}$

$= (\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BI} ) + 2\overrightarrow {IJ} + (\overrightarrow {JD} + \overrightarrow {JC} ) = 2\overrightarrow {IJ}$

c) $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MJ} = 2(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MJ} ) = 4\overrightarrow {MK}$

a) Do tứ giác $BHC{A^\prime }$ có $BH//{A^\prime }C( \bot AC)$ và $CH//B{A^\prime }( \bot AB)$ nên $BHC{A^\prime }$ là hình bình hành $\Rightarrow \overrightarrow {BH} = \overrightarrow {{A^\prime }C}$

b) Lại có $M$ là trung điểm của đường chéo $BC$ nên $M$ là trung điểm của $H{A^\prime }$ hay $H,M$, ${A^\prime }$ thẳng hàng.

Do $OM$ là đường trung bình của nên $AH = 2OM$, mà $\overrightarrow {AH}$ và $\overrightarrow {OM}$ cùng hướng

$\Rightarrow \overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} {\rm{. }}$

c) $\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HA} \overrightarrow { + HA}$ (Tứ giác $AHC{A^\prime }$ là hình bình hành $\overrightarrow {H{A^\prime }} = \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO}$

d) $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HC} = 3\overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC}$

$= 3\overrightarrow {OH} + 2\overrightarrow {HO} = \overrightarrow {OH}$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=AB\cdot AC\cdot \cos {60}^{^{\circ}}=\frac{1}{2}{a}^{2}$

b) $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AG}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \cos (\overrightarrow{AG},\overrightarrow{AC})=AG\cdot AC\cdot \cos {30}^{^{\circ}}=\frac{1}{2}{a}^{2}$

c) Tam giác $AGB$ có $\widehat{GAB}=\widehat{GBA}={30}^{^{\circ}}\Rightarrow \widehat{AGB}={120}^{^{\circ}}$

$\Rightarrow \overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{GB}=GA\cdot GB\cdot \cos \widehat{AGB}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}\cos {120}^{^{\circ}}=-\frac{{a}^{2}}{6}$

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cos \widehat{BAC}=2a\cdot 3a\cdot \cos {60}^{^{\circ}}=3{a}^{2}$

b) Do $I$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$

c) $\overrightarrow {BJ} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AJ} = - \overrightarrow {AB} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC}$

c) $\overrightarrow {AI} \cdot \overrightarrow {BJ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )\left( { - \overrightarrow {AB} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\left( { - {{\overrightarrow {AB} }^2} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \frac{7}{{12}}{{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)$

$= \frac{1}{2}\left( { - 4{a^2} + \frac{7}{{12}} \cdot 3{a^2} - 3{a^2} + \frac{7}{{12}} \cdot 9{a^2}} \right) = 0$

Vậy $AI \bot BJ$

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AK} + \overrightarrow {KB} = \overrightarrow {AK} + \overrightarrow {KM} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AK} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BM}$ (vì $KM = \frac{1}{2}AB$)

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AK} - \overrightarrow {BM} \Leftrightarrow \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AK} - \overrightarrow {BM} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{2}{2}(\overrightarrow {AK} - \overrightarrow {BM} )$

Ta có $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \Rightarrow |\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} | = 3|\overrightarrow {MG} | = 3MG \Leftrightarrow MG = 2$

Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $G$ bán kính bằng 2.

Gọi $N$ là điểm thỏa mãn $2 \cdot \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \vec 0$ và $D$ là trung điểm $BC$. Suy ra $N$ là trung điểm $AD.NA = ND = AD:2 = \frac{{3\sqrt 3 }}{4};NB = NC = \frac{{\sqrt {39} }}{4}$;

Chèn $N$ vào đề ta được $4M{N^2} + 2N{A^2} + N{B^2} + N{C^2} = 18$ suy ra $MN = \frac{{\sqrt {183} }}{8}$

Vậy tập hợp điểm $M$ thỏa đường tròn tâm $N$ bán kính $R = MN = \frac{{\sqrt {183} }}{8}$

Ta có: $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB})={180}^{^{\circ}}-(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})={180}^{^{\circ}}-\widehat{ACB}$

Mà $\cos (\widehat {ACB}) = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{1}{2}$ nên $\widehat{ACB}={60}^{^{\circ}}$

Vậy $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB})={180}^{^{\circ}}-{60}^{^{\circ}}={120}^{^{\circ}}$ hay $\cos (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB})=\cos {120}^{^{\circ}}=-\frac{1}{2}$

Ta có $\overrightarrow {NM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {NP} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}$

Suy ra $\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NP} = \frac{2}{9} \cdot 9 + \frac{1}{2} \cdot 9 = \frac{{13}}{2}$

Mặt khác $|\overrightarrow {NM} | = \sqrt {10} ,|\overrightarrow {NP} | = \frac{5}{2} \Rightarrow \cos \widehat {MNP} = \frac{{13}}{{5\sqrt {10} }}.$

Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên:

$2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BC} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} (1)$

Tương tự ta có: $2\overrightarrow {BN} \cdot \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {CA} (2)$,

$2\overrightarrow {CE} \cdot \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {AB} (3)$

Cộng từng vế (1), (2), (3) được:

$2\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {BN} \cdot \overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {CE} \cdot \overrightarrow {AB} = 0$ hay $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BN} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CE} \cdot \overrightarrow {AB} = 0$ (đpcm).