Đề kiểm tra Bài tập cuối chương IV lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Chọn D

Ta có $\overrightarrow a = - \overrightarrow b$. Do đó, $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.

Chọn A

Nhìn hình ta thấy vectơ đối của vectơ $\overrightarrow {DN}$ là:$\overrightarrow {AM} ,{\rm{ }}\overrightarrow {MB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {ND}$.

Chọn C

Ta có tứ giác $DMBN$ là hình bình hành vì $DM = NB = \frac{1}{2}AB,\,\,DM//NB$. Suy ra $\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {NB}$.

Xét tam giác $CDQ$ có $M$ là trung điểm của $DC$ và $MP//QC$ do đó $P$ là trung điểm của $DQ$. Tương tự xét tam giác $ABP$ suy ra được $Q$ là trung điểm của $PB$

Vì vậy $DP = PQ = QB$ từ đó suy ra $\overrightarrow {DP} = \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {QB}$.

Chọn C

Ta có $\overrightarrow {CI} = \overrightarrow {DA}$ suy ra $AICD$ là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {IC}$

Ta có $DC = AI$ mà $AB = 2CD$ do đó $AI = \frac{1}{2}AB \Rightarrow$$I$là trung điểm $AB$

Ta có $DC = IB$ và $DC//IB \Rightarrow$tứ giác $BCDI$ là hình bình hành

Suy ra $\overrightarrow {DI} = \overrightarrow {CB}$

Chọn B

Ta có $AH \bot BC$ và $DC \bot BC$ (do góc $\widehat {DCB}$ chắn nửa đường tròn). Suy ra $AH\parallel DC.$

Tương tự ta cũng có $CH\parallel AD.$

Chọn C

Ta có BD là đường kính $\Rightarrow \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {DO}$.

$AH \bot BC,DC \bot BC \Rightarrow AH//DC$ (1)

Ta lại có $CH \bot AB,DA \bot AB \Rightarrow CH//DA$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ tứ giác HADC là hình bình hành $\Rightarrow \overrightarrow {HA} = \overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {HC}$.

Chọn B

VT$= \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC}$

$= \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {OP} + \overrightarrow {PC}$ Mà $\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP}$

$\Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0$$\Rightarrow$ VT $= \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP}$

Chọn B

Ta có:

$${\rm{ }}\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {NQ} + \overrightarrow {QP} + \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {QN} = \overrightarrow {QP} + \overrightarrow {MQ} + \left( {\overrightarrow {NQ} + \overrightarrow {QN} } \right) = \overrightarrow {QP} + \overrightarrow {MQ} = {\rm{VP}}$$

Chọn D

+ Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {FA} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DF} + \overrightarrow {FA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \Rightarrow A$ đúng.

+ $\overrightarrow {BE} - \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {CF} - \overrightarrow {BF} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \Rightarrow B$ đúng.

+ $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {BF} \Leftrightarrow \overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AF}$

$\Rightarrow$ C đúng.

+ $\overrightarrow {FD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {FC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {FC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow F \equiv C$ (mâu thuẫn giả thiết)

$\Rightarrow$ D sai.

Cho $n$ điểm phân biệt trên mặt phẳng. Bạn An kí hiệu chúng là ${A_1},{A_2},...,{A_n}$.

Chọn D

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow O$

Suy ra $M$ là trung điểm $AC$. Suy ra $BEMD$là hình bình hành nên $\overrightarrow {EM} = \overrightarrow {BD}$.

Chọn D

$$\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {CD}$$

$$\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {CD}$$

$$\Leftrightarrow \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {CD}$$

$$\Leftrightarrow \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB}$$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {DM} = \overrightarrow {BD}$.

Chọn B

Ta có $\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} - \overrightarrow {NA} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC}$

$\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {NC} - \overrightarrow {NA} } \right) + \overrightarrow {ND} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) - \overrightarrow {AC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {DN}$

$\Rightarrow ACND$ là hình bình hành $\Rightarrow C$ là trung điểm cạnh BN.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Xét $\Delta MAD$ vuông tại $A$, ta có:

$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{M{D^2}}&{ = A{D^2} + A{M^2}}\\{}&{ = {a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} = \frac{{5{a^2}}}{4} \Rightarrow MD = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.}\end{array}$

Qua $N$ kẻ đường thẳng song song với $AD$ cắt $AB$ tại $P$.

Khi đó tứ giác $ADNP$ là hình vuông và $PM = PA + AM = a + \frac{a}{2} = \frac{{3a}}{2}$.

Xét tam giác $NPM$ vuông tại $P$, ta có: $M{N^2} = P{M^2} + P{N^2} = {\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)^2} + {a^2} = \frac{{13{a^2}}}{4} \Rightarrow MN = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}.$

Vậy các độ dài vectơ cần tìm là: $|\overrightarrow {MD} | = MD = \frac{{a\sqrt 5 }}{2},|\overrightarrow {MN} | = MN = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Ta có ${C^\prime }$ là trung điểm của $AB$ và ${A^\prime }{B^\prime }$ là đường trung bình của tam giác ứng với cạnh đáy $AB$ nên: $B{C^\prime } = {C^\prime }A = {A^\prime }{B^\prime } = \frac{{AB}}{2}{\rm{. }}$

Mặt khác, ba vectơ $\overrightarrow {B{C^\prime }} ,\overrightarrow {{C^\prime }A} ,\overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }}$ cùng hướng. Do đó $\overrightarrow {B{C^\prime }} = \overrightarrow {{C^\prime }A} = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }}$.

Ta xác định được: $\overrightarrow {{B^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {C{A^\prime }} = \overrightarrow {{A^\prime }B} ,\overrightarrow {{C^\prime }{A^\prime }} = \overrightarrow {A{B^\prime }} = \overrightarrow {{B^\prime }C}$.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Xét các khẳng định:

a) Ta có $\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {BC}$. Vậy a) sai.

b) Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \ne \overrightarrow {BC}$ (với $D$ là điểm thỏa mãn $ABDC$ là hình bình hành). Vậy b) sai.

c) Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB}$. Vậy c) đúng.

d) $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA}$. Vậy d) sai.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Xét các khẳng định:

a) Ta có $\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD}$. Vậy a) đúng.

b) Ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {AD} }\\{\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AD} }\end{array}} \right.$. Vậy b) sai.

c) Ta có $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB}$. Vậy c)đúng.

d) Ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} }\\{\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AC} }\end{array}} \right.$. Vậy d) đúng.

Gọi $D$ là điểm sao cho tứ giác $ABDC$ là hình bình hành.

Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD}$

Vì tam giác $ABC$ vuông ở $A$ nên tứ giác $ABDC$ là hình chữ nhật

suy ra $AD = BC = a\sqrt 5$

Vậy $|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {AD} | = AD = a\sqrt 5$

+ Vì O là tâm của hình vuông nên $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {CO}$ suy ra $\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CO} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BO}$

Vậy $|\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {CB} | = \overrightarrow {BO} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

+ Do $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA}$ suy ra $\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD}$

Mà $|\overrightarrow {BD} | = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 2$ suy ra $|\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} | = a\sqrt 2$

Gọi $E$ là điểm sao cho tứ giác $OBEA$ là hình bình hành khi đó nó cũng là hình vuông

Ta có $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OE} \Rightarrow |\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} | = OE = AB = a$

Cách 1. $JA = \frac{2}{3}JC \Leftrightarrow 3JA = 2JC$ mà $\overrightarrow {JA}$ và $\overrightarrow {JC}$ ngược hướng

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow {JA} = - 2\overrightarrow {JC} \Leftrightarrow 3(\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BJ} ) + 2(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BJ} ) = \vec 0$

$\Leftrightarrow 5\overrightarrow {BJ} = 3\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BJ} = \frac{3}{5}\overrightarrow {BA} + \frac{2}{5}\overrightarrow {BC}$.

Cách 2: J thuộc cạnh AC và $JA = \frac{2}{3}JC \Rightarrow \frac{{AJ}}{{AC}} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow AJ = \frac{2}{5}AC$

$\overrightarrow {BJ} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AJ} = - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} ) = \frac{3}{5}\overrightarrow {BA} + \frac{2}{5}\overrightarrow {BC}$

Gọi $O$ là tâm hình bình hnh $ABCD$

$\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} .$

$\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} - 2\overrightarrow {IC} = \vec 0 \Leftrightarrow - \overrightarrow {AI} + 3(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AI} ) - 2(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AI} ) = \vec 0$

$\Leftrightarrow - \overrightarrow {AI} + 3\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AI} ) - 2\overrightarrow {AC} + 2\overrightarrow {AI} = \vec 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC}$

$3\overrightarrow {DB} = 2\overrightarrow {DC} \Leftrightarrow 3(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} ) = 2(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} ) \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC}$. Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\overrightarrow {AI} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }\\{\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} }\\{\overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} }\end{array} \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AI} } \right.} \right.$