Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 8 lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Trường hợp 1: Chọn $1$ bạn nam trong số $25$ bạn nam để làm lớp trưởng có $25$ cách.

Trường hợp 2: Chọn $1$ bạn nữ trong số $20$ bạn nữ để làm lớp trưởng có $20$ cách.

Vậy theo quy tắc cộng có $25 + 20 = 45$cách.

Trường hợp 1: Chọn 2 viên bi xanh và 1 viên bi vàng, ta có: $C_7^2.C_6^1 = 126$ cách.

Trường hợp 2: Chọn 1 viên bi xanh và 2 viên bi vàng, ta có: $C_7^1.C_6^2 = 105$cách.

Theo quy tắc cộng, ta có: $126 + 105 = 231$ cách chọn.

TH1: Số có hai chữ số có chữ số tận cùng là $2$: 5 số.

TH2: Số có hai chữ số có chữ số tận cùng là $4$: 5 số.

Theo quy tắc cộng ta có: $5 + 5 = 10$ số.

Gọi $\overline {abcd}$ là tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau chọn từ các chữ số $1;2;3;4;5;7$.

Chọn $d$ có $2$ cách chọn vì $d \in \left\{ {2;4} \right\}$.

Chọn $3$ chữ số từ $5$ chữ số còn lại để xếp vào vị trí $a,b,c$ có $A_5^3$ cách chọn.

Vậy có thể lập được tất cả là tất cả $2.A_5^3$số.

Bước 1: Ta xếp các số lẻ: có các số lẻ là $1{,}1{,}1{,}1{,}3{,}5$ vậy có $\frac{{5!}}{{3!}}$ cách xếp.

Bước 2: Ta xếp 3 số chẵn $2$,$4$,$6$ xen kẽ $5$ số lẻ trên có $6$ vị trí để xếp $3$ số vậy có $A_6^3$ cách xếp.

Vậy có $\frac{{5!}}{{3!}}.{\rm{A}}_6^3 = 2400$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Số cách để lấy 1 viên bi xanh là 10 cách.

Số cách để lấy 1 viên bi đỏ là 12 cách.

Vậy có $10 + 12 = 22$cách chọn.

Gọi số đó có dạng $\overline {abcde}$.

Chọn $e$ có 2 cách

Chọn $\overline {abcd}$ có $4!$

Vậy có $2.4! = 48$ số

Phương án 1: Nếu chọn một cái quần có 4 cách.

Phương án 2: Nếu chọn một cái áo có 6 cách.

Phương án 3: Nếu chọn một cái cà vạt có 3 các h.

Theo qui tắc cộng, ta có $4 + 6 + 3 = 13$cách chọn

Gọi số có $5$ chữ số cần tìm là $x = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}} ;{\rm{ }}{a_1},{a_2},{a_3},{a_4},{a_5} \in A;{\rm{ }}{a_1} \ne 0;{\rm{ }}{a_5} \in \left\{ {0;2;4;6} \right\}$.

Công việc thành lập số $x$ được chia thành các bước:

- Chọn chữ số ${a_1}$ có $6$ lựa chọn vì khác $0$.

- Chọn các chữ số ${a_2},\,{\rm{ }}{a_3},\,{\rm{ }}{a_4}$, mỗi chữ số có $7$ lựa chọn.

- Chọn chữ số ${a_5}$ có $4$ lựa chọn vì số tạo thành chia hết cho $2$.

Số số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: ${6.7^3}.4 = 8232$.

Xét khai triển ${\left( {x + 1} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} .{x^k}$.

Gọi $S$ là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có $S = {\left( {1 + 1} \right)^{10}} = {2^{10}} = 1024$.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Ta có: ${(3x + 2)^5} = 243{x^5} + 810{x^4} + 1080{x^3} + 720{x^2} + 240x + 32$.

Hệ số của ${x^3}$ và ${x^4}$ trong khai triển của ${(3x + 2)^5}$ lần lượt là 1080 và 810. Do đó, hệ

số của ${x^3}$ lớn hơn hệ số của ${x^4}$ trong khai triển của ${(3x + 2)^5}$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Ta có: ${(x - 3)^4} = {x^4} - 12{x^3} + 54{x^2} - 108x + 81$.

Hệ số của các hạng tử có bậc chẵn là $1;54$ và 81. Vậy tổng các hệ số đó là 136.

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

a) Gọi số tự nhiên cần tìm: $\overline {abcde}$ với $a,b,c,d,e$ là các số lấy từ tập $\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$.

Vì các số được chọn là tùy ý nên số cách chọn mỗi chữ số $a,b,c,d,e$ đều là 10 (cách).

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn: ${9.10^4} = 90000$ (số).

b) Gọi số tự nhiên cần tìm: $\overline {abcde}$.

Chọn $a:a \ne 0 \Rightarrow$ Có 9 cách chọn $a$.

Chọn $b:b \ne a \Rightarrow$ Có 9 cách chọn $b$.

Theo quy luật trên thì số cách chọn $c,d,e$ lần lượt là $8{,}7{,}6$. Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn: 9.9.8.7.6 $= 27216$ (số).

c) Gọi số tự nhiên cần tìm: $\overline {abcde}$.

Chọn $e \in \{ 1;3;5;7;9\} \Rightarrow$ Có 5 cách chọn $e$.

Chọn $a$ với $a \ne 0,a \ne e \Rightarrow$ Có 8 cách chọn $a$.

Mỗi chữ số $b,c,d$ lần lượt có $8{,}7{,}6$ cách chọn.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn: $5.8.8.7.6 = 13440$ (số)

d) Cách giải 1:

Trường hợp 1: $e = 0$.

Chọn $a$ khác 0 (tức là $a$ cũng khác $e$ ): có 9 cách chọn.

Mỗi chữ số $b,c,d$ lần lượt có $8{,}7{,}6$ cách chọn. Khi đó, ta có được: 1.9.8.7.6 $= 3024$ (số).

Trường hợp 2: $e \in \{ 2;4;6;8\}$. Chọn $e$: có 4 cách chọn.

Chọn $a$ với $a \ne 0,a \ne e$, ta có 8 cách chọn.

Mỗi chữ số $b,c,d$ lần lượt có $8{,}7{,}6$ cách chọn. Khi đó ta có được: $4.8.8.7.6 = 10752$ (số).

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn: $3024 + 10752 = 13776$ (số).

Cách giải 2:

Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt là 27216 (số).

Số các số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số phân biệt là 13440 (số).

Theo quy tắc loại trừ, ta có số các số tự nhiên chã̃n gồm 5 chữ số phân biệt: $27216 - 13440 = 13776$ (số).

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Việc chọn ba viên bi khác màu phải tiến hành ba giai đoạn liên tiếp:

Giai đoạn 1: Chọn một viên bi đỏ: có 7 cách.

Giai đoạn 2: Chọn một viên bi xanh: có 8 cách.

Giai đoạn 3: Chọn một viên bi vàng: có 5 cách.

Số cách chọn ba bi khác màu là $7 \times 8 \times 5 = 280$ (cách).

b) Trường hợp 1: Hai viên khác màu là bi đỏ và bi xanh.

Giai đoạn 1: Chọn một viên bi đỏ: có 7 cách.

Giai đoạn 2: Chọn một viên bi xanh: có 8 cách.

Số cách chọn trường hợp này là $7 \times 8 = 56$ (cách).

Trường hợp 2: Hai viên khác màu là bi đỏ và bi vàng.

Tương tự trường hợp 1, ta có: $7 \times 5 = 35$ (cách).

Trường hợp 3: Hai viên khác màu là bi xanh và bi vàng.

Tương tự trường hợp 1, ta có: $8 \times 5 = 40$ (cách).

Vậy số cách chọn hai bi khác màu là: $56 + 35 + 40 = 131$ (cách).

Ta xếp 5 nam sinh trước tiên, số cách xếp là 5!.

Giữa các nam sinh và hai đầu, cuối hàng sẽ có 6 vị trí (đánh số từ 1 đến 6) để có thể sắp xếp 5 nữ sinh vào sao cho nam, nữ xen kẻ.

Trường hợp 1: 5 nữ sinh xếp vào vị trí từ số 1 đến số 5, số cách xếp là $5!$.

Trường hợp $2:5$ nữ sinh xếp vào vị trí từ số 2 đến số 6, số cách xếp là 5!.

Vậy số cách xếp hàng thỏa mãn đề bài là $5!(5! + 5!) = 28800$.

Hai đỉnh của đa giác $n$ đỉnh $(n \in \mathbb{N},n \ge 3)$ tạo thành một đoạn thẳng (bao gồm cả cạnh và đường chéo của đa giác đó).

Vậy số đường chéo đa giác là: $C_n^2 - n = 44 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{(n - 2)!.2!}} - n = 44$ $\Leftrightarrow n(n - 1) - 2n = 88 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{n = 11}\\{n = - 8}\end{array} \Leftrightarrow n = 11(} \right.$ vì $n \in \mathbb{N})$.

Cách 1: dùng tổ hợp

Chọn vị trí cho 2 chữ số 2 có $C_9^2$ cách.

Chọn vị trí cho 3 chữ số 3 có $C_7^3$ cách.

Chọn vị trí cho 4 chữ số 4 có $C_4^4$ cách.

Vậy số các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là $C_9^2C_7^3C_4^4 = 1260$ số.

Cách 2: dùng hoán vị lặp

Số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\frac{{9!}}{{2!3!4!}} = 1260$ số.

Ta có: $f(x) = {\left( {x - \frac{2}{x}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^{12 - k}} \cdot {\left( {\frac{2}{x}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {( - 2)^k}{x^{12 - 2k}}$.

Số hạng không chứa $x$ ứng với giá trị $k$ thỏa mãn: $12 - 2k = 0 \Leftrightarrow k = 6$.

$\Rightarrow$ Số hạng không chứa $x$ là: $C_{12}^6 \cdot {2^6} = 59136$.

Kí hiệu số cần lập là abcd. Vì d là số chẵn nên ta chia hai trường hợp:

Trường hợp 1: d$= 0$.

Chọn a khác 0 có 9 cách. Ứng với mỗi cách chọn đó, chọn b khác d và a có 8 cách. Ứng với mỗi cách đó, chọn c khác a, b và d có $7$cách. Áp dụng quy tắc nhân, trường hợp này có: $9.8.7 = 504$ số thoả mãn yêu cầu.

Trường hợp 2: ${\rm{d}} \in \{ 2{,}4{,}6{,}8\}$.

Chọn ${\rm{d}}$ có 4 cách. Ứng với mỗi cách chọn đó, chọn a khác 0 và ${\rm{d}}$ có 8 cách. Ứng với mỗi cách chọn đó, chọn ${\rm{b}}$ khác ${\rm{d}}$ và ${\rm{a}}$ có 8 cách. Ứng với mỗi cách đó, chọn ${\rm{c}}$ khác ${\rm{a,b}}$ và ${\rm{d}}$ có 7 cách. Áp dụng quy tắc nhân, trường hợp này có: $4.8.8.7 = 1792$ số thoả mãn yêu cầu.

Trong hai trường hợp trên, mỗi số lập được theo trường hợp này đều khác với các số lập được của trường hợp kia. Theo quy tắc cộng, có: $504 + 1792 = 2296$ số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau lập được từ các chữ số đã cho.