Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 5 lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;\;3;\;2} \right)$.

Đường thẳng $MN$ qua $N$ nhận $\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;\;3;\;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là

$\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 3}}{2}$.

Bán kính mặt cầu $R = IA = 5.$

Phương trình mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25.$

Cách 1:

Theo tính chất đối xứng qua $O$ thì $\left( P \right)\,{\rm{//}}\,\left( Q \right),$ suy ra $\left( Q \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right).$

Lấy điểm $M\left( {0{,}0{,}6} \right) \in \left( P \right).$

Điểm đối xứng với $M$ qua $O$là $M'\left( {0;0; - 6} \right).$

Mà $M' \in \left( Q \right),$suy ra $\left( Q \right):x + y - z - 6 = 0.$

Cách 2: Gọi $M'$ là điểm đối xứng với $M$ qua $O.$

Giả sử $M\left( {x;y;z} \right) \in \left( P \right) \Leftrightarrow \left( P \right):x + y - z + 6 = 0.$$\Leftrightarrow \left( { - x} \right) + \left( { - y} \right) + \left( { - z} \right) - 6 = 0.$

$\Rightarrow M'\left( { - x; - y; - z} \right) \in \left( Q \right):x + y - z - 6 = 0.$

Cách 1: Theo định lí Thales ta có

$d = d\left( {G,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {C,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{3} = 1.$

Cách 2: Cao độ của trọng tâm $G$là ${z_G} = - 1.$

Khoảng cách $d = d\left( {G,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| { - 1} \right| = 1.$

Gọi $\overrightarrow {{n_\alpha }}$, $\,\overrightarrow {{n_\beta }}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$.

Ta có $\overrightarrow {{n_\alpha }} (2;\,\, - \,\,1;\,\,2);\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} (1;\,\,2;\,\, - \,2)$.

Áp dụng công thức

$cos((\alpha ),\,(\beta ))\,\, = \,\,\left| {cos(\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} )} \right|\,\, = \,\,\frac{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} .\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|.\,\,\left| {\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}} = \,\,\frac{{\left| {2.1 - 1.2 - 2.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + \,\,{{( - 1)}^2}\,\, + \,\,{2^2}} .\sqrt {({1^2}\,\, + \,\,{2^2}\,\, + \,\,{{( - 2)}^2}} }}\,\, = \,\,\frac{4}{9}.$

Đường thẳng ${d_1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;4;6} \right)$, đường thẳng ${d_2}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;2;3} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {{u_1}} = 2\overrightarrow {{u_2}}$, $M\left( {2\,;0\,; - 3} \right) \in {d_1}$ và $M\left( {2\,;0\,; - 3} \right) \in {d_2}$ nên ${d_1} \equiv {d_2}$.

Hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = (3;\;\;4;\;\; - 5)$ và ${\vec u_2} = (5;\;\;3;\;\;4).$

Ta có: $\cos \left( {{\Delta _1},\;\;{\Delta _2}} \right) = \frac{{\mid 3.5 + 4.3 + ( - 5).4)\mid }}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {{( - 5)}^2}} .\sqrt {{5^2} + {3^2} + {4^2}} }} = \frac{7}{{50}}.$

Suy ra $\left( {{\Delta _1},\;\;{\Delta _2}} \right) \approx 82^\circ .$

Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua điểm $A\left( {1\,;\,4\,;\, - 7} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng$\left( P \right):x + 2y - 2z + 2024 = 0$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có VTPT là: ${\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {1\,;\,2\,;\, - 2} \right)$.

Vì$\Delta$ vuông góc mặt phẳng $\left( P \right)$ nên nhận $\vec u = {\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {1\,;2\,; - 2} \right)$ làm VTCP.

Phương trình đường thẳng $\Delta$: $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z + 7}}{{ - 2}}$.

Ta có: $\vec u$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng và $\vec n$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P).$

Khi đó, $\sin (\Delta ,\;\;(P)) = \frac{{|\vec u.\vec n|}}{{|\vec u|.|\vec n|}} = \frac{{|2.2 + 1.2 + ( - 2).( - 1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{8}{9}.$

Suy ra $\cos (\Delta ,\;\;(P)) = \sqrt {1 - {{\sin }^2}(\Delta ,\;\;(P))} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{8}{9}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {17} }}{9}.$

Vậy góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ bằng khoảng $63^\circ$ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

a) Đúng.

Gọi $\left( Q \right)$là mặt phẳng cần tìm.

Theo bài $\left( Q \right)//\left( P \right) \Rightarrow \left( Q \right):\,2x - y + 3z + m = 0\,\,\left( {m \ne 5} \right)$

Mà $\left( Q \right)$ qua $A \Leftrightarrow 2.0 - \left( { - 3} \right) + 3.2 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 9\,\left( {{\rm{tm}}} \right)$.

Vậy mp$\left( Q \right):2x - y + 3z - 9 = 0$.

b) Sai.

$\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0$ có Vtpt $\overrightarrow {{n_1}} \left( {2;\, - 1;\,3} \right)$.

$\left( R \right):\,x + 2y - 2z - 5 = 0$có Vtpt $\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;\,2;\, - 2} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = - 6 \ne 0$$\Rightarrow$$\left( P \right)$ không vuông góc với $\left( R \right)$.

c) Đúng.

Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0$:

$d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 3 + 3.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \sqrt {14}$.

d) Sai.

Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$, có vtcp là $\overrightarrow u \left( {2; - 1;3} \right)$

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 2t}\\{y = - 3 - t}\\{z = 2 + 3t}\end{array}} \right.\,\,\,\,(t \in \mathbb{R})$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$$\Rightarrow$$\left\{ H \right\} = \Delta \cap \left( P \right)$ có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y = - 3 - t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{z = 2 + 3t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{2x - y + 3z + 5 = 0}\end{array}} \right.\, \Rightarrow 4t + 3 + t + 3\left( {2 + 3t} \right) + 5 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$

Vậy $H\left( { - 2; - 2; - 1} \right)$.

a) Đúng.

Phương trình đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow {AB} \left( {1;\,1;\,1} \right)$làm vtcp:$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = t}\\{y = - 3 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.,t \in \mathbb{R}$.

b) Đúng.

Đường thẳng $AB$có vtpt $\overrightarrow {AB} \left( {1;\,1;\,1} \right)$

Đường thẳng $\Delta$: $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}$ có vtcp $\overrightarrow u \left( {1;1;1} \right)$

Và $A\left( {0; - 3;2} \right) \notin \Delta$ nên $AB//\Delta$.

c) Sai.

Đường thẳng $\Delta$: $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}$ đi qua điểm $M\left( {2\,;\, - 1\,;\,2} \right)$ và $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1\,;\,1\,;\,1} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AM} = \left( {2\,;\,2\,;\,0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AM} \,,\,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {2\,;\, - 2\,;\,0} \right)$.

Khi đó $d\left( {A\,,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} \,,\,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}$.

d) Đúng.

Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên đường thẳng $\Delta$, khi đó $H\left( {2 + t\,;\, - 1 + t\,;\,2 + t} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {OH} = \left( {2 + t\,;\, - 1 + t\,;\,2 + t} \right)$ và $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1\,;\,1\,;\,1} \right)$.

Vì $OH \bot \Delta$ nên $\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 \Leftrightarrow 2 + t - 1 + t + 2 + t = 0 \Leftrightarrow t = - 1$.

Do đó tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm $O\left( {0;\,0;\,0} \right)$ lên đường thẳng $\Delta$ là $H\left( {1; - 2;1} \right)$.

a) Đúng:

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, suy ra $I\left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right)$.

Và $\overrightarrow {AB} = \left( {4\,;\,3\,;\,5} \right) \Leftrightarrow AB = \sqrt {{4^2} + {3^2} + {5^2}} = 5\sqrt 2$.

Vậy mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I\left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right)$ và bán kính $R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}$.

b) Sai:

Ta có $\overrightarrow {OI} = \left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right) \Rightarrow OI = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\frac{7}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{11}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {206} }}{2} > \frac{{5\sqrt 2 }}{2}$.

Suy ra điểm $O$ nằm ngoài mặt cầu.

c) Sai:

Cách 1. Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

Ta có đường thẳng $d:\ \{\begin{matrix}x=3+t \\ y=\frac{3}{2}+2t \\ z=\frac{5}{2}-2t\end{matrix}$ có $M\left( {3\,;\,\frac{3}{2}\,;\,\frac{5}{2}} \right)$ và $\overrightarrow u = \left( {1\,;\,2\,;\, - 2} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {IM} = \left( {0\,;\, - 2\,;\, - 3} \right)$$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IM} \,,\,\overrightarrow u } \right] = \left( {10\,;\, - 3\,;\,2} \right)$.

Do đó $d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} \,,\,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {113} }}{3} > \frac{{5\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy đường thẳng $d$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$.

Cách 2. Sử dụng số giao điểm của đường thẳng và mặt cầu :

Ta có phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{11}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}$.

Thay $x = 3 + t\,;y = \frac{3}{2} + 2t\,;\,\,z = \frac{5}{2} - 2t$ vào $\left( S \right)$ ta có

$\begin{array}{l}{\left( {3 + t - 3} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{2} + 2t - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{5}{2} - 2t - \frac{{11}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {t^2} + {\left( {2t - 2} \right)^2} + {\left( {2t + 3} \right)^2} = \frac{{25}}{2}\end{array}$

$\Leftrightarrow 9{t^2} + 4t + \frac{1}{2} = 0$.

Vì phương trình $9{t^2} + 4t + \frac{1}{2} = 0$ vô nghiệm nên đường thẳng $d$ không cắt mặt cầu $\left( S \right)$ hay đường thẳng $d$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$.

d) Đúng:

Gọi giao tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$ là đường tròn $\left( C \right)$ có bán kính $r$.

Sử dụng công thức ${R^2} = {r^2} + {\left[ {d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right)} \right]^2} \Rightarrow r = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right)} \right]}^2}}$.

Ta có $d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.3 + 4.\frac{7}{2} - 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3$.

Do đó $r = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right)} \right]}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {3^2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$.

Vậy mặt phẳng $\left( P \right):\,\,3x + 4y - 8 = 0$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn đường kính $\sqrt {14}$.

a) Sai:

Phương trình của $\left( {ABC} \right)$ có dạng $\frac{x}{4} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow x + y + z = 4$.

b) Đúng:

Phương trình mặt cầu đi qua $O\,,\,A\,,\,B\,,\,C$ có dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$

$\Leftrightarrow 2ax + 2by + 2cz - d = {x^2} + {y^2} + {z^2}$ $\left( 1 \right)$.

Thay tọa độ các điểm $O\,,\,A\,,\,B\,,\,C$ vào $\left( 1 \right)$, ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - d = 0}\\{8a - d = 16}\\{8b - d = 16}\\{8c - d = 16}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = 2}\\{b = 2}\\{c = 2}\\{d = 0}\end{array}} \right.$.

Khi đó mặt cầu đi qua $O\,,\,A\,,\,B\,,\,C$ có tâm $I\left( {2\,;\,2\,;\,2} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2} - 0} = 2\sqrt 3$.

Vậy phương trình mặt cầu đi qua $O\,,\,A\,,\,B\,,\,C$là ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 12$.

c) Sai:

Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $x + y + z - 4 = 0$.

Khi đó $d\left( {0\,,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 + 0 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}$.

d) Đúng:

Trong tam giác $OAC$ hạ $OH \bot AC$.

Theo bài ra $\left( {OAC} \right) \bot OB \Rightarrow OH \bot BC$.

Vì $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{OH \bot AC}\\{OH \bot OB}\end{array}} \right.$ nên $OH$ là đường thẳng vuông góc chung của $AC$ và $OB$.

Lại có $\overrightarrow {AC} = \left( { - 4\,;\,0\,;\,4} \right)$ và $\overrightarrow {OB} = \left( {0\,;\,4\,;\,0} \right)$

Khi đó $\overrightarrow {OH} = \left[ {\overrightarrow {AC} \,,\,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {16\,;\,0\,;\,16} \right) = 16\left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)$. Suy ra $\overrightarrow {{u_{OH}}} = \left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)$.

Do đó phương trình đường thẳng $OH$ là $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = t}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.$.

Nhận thấy đường thẳng $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 2t}\\{y = 0}\\{z = 2t}\end{array}} \right.$ có $\overrightarrow u = \left( {2\,;\,0\,;\,2} \right) = 2\overrightarrow {{u_{OH}}}$ và đều đi qua điểm $O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)$ nên đường thẳng $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 2t}\\{y = 0}\\{z = 2t}\end{array}} \right.$ và $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = t}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.$ trùng nhau.

Vậy đường thẳng vuông góc chung của $AC$ và $OB$ có phương trình là $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 2t}\\{y = 0}\\{z = 2t}\end{array}} \right.$.

Ta có: $M = d \cap \left( P \right)$ nên $M\left( { - 1 + 2t\,;\, - 1 + t\,;\, - 5 + 6t} \right)$.

Suy ra $- 1 + 2t - 1 + t - 5\left( { - 5 + 6t} \right) + 4 = 0$$\Leftrightarrow 27 = 27t \Leftrightarrow t = 1$.

Vậy $M\left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)$. Kết luận $S = 2{,}24$.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2\,;\, - 3\,;\,1} \right)$.

Điểm chung của $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ là $A\left( { - 4\,;\,5\,;\,0} \right)$.

Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$$:\frac{{x + 4}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}$.

Nên $T = \left( {a + b + c + 3.d} \right).2024 = \left( {4 + 5 + 2 - 9} \right).2024 = 4048$.

Ta có: $M\left( {2\,;2\,;0} \right) \in \left( \Delta \right)$ và $M'\left( {2\,;\, - 1\,;\,0} \right) \in \left( {\Delta '} \right)$.

Nên $\overrightarrow {M'M} = \left( {0\,;3;\,0} \right)$.

Có $\overrightarrow u = \left( {1\,;\,1\,;\, - 1} \right)$ và $\overrightarrow {u'} = \left( {1\,;\,2;\, - 3} \right)$ lần lượt là VTCP của đường thẳng $\left( \Delta \right)$ và $\left( {\Delta '} \right)$.

Suy ra $\left[ {\overrightarrow u \,;\,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 1\,;\,2\,;\,1} \right)$.

Nên $d\left( {\left( \Delta \right)\,,\,\left( {\Delta '} \right)} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u \,;\,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {M'M} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u \,;\,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = \frac{6}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \sqrt 6 \approx 2{,}45$.

$\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$ có $\left\{ \begin{array}{l}I\left( {1;2;3} \right)\\R = 3\end{array} \right.$.

Ta có $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 9 > R$ nên mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$ không có điểm chung.

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua tâm $I$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$.

$d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

Điểm $M$ cần tìm là giao điểm của $d$ và $\left( S \right)$.

Tọa độ của $M$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\\{t^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}t = 1\\x = 3\\y = 4\\z = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\x = - 1\\y = 0\\z = 4\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{M_1}\left( {3;4;2} \right)\\{M_2}\left( { - 1;0;4} \right)\end{array} \right.$

$d\left( {{M_1},\left( P \right)} \right) > d\left( {{M_2},\left( P \right)} \right)$.

Vậy điểm ${M_2}\left( { - 1;0;4} \right)$ là điểm cần tìm.

Suy ra $a + b + c = 3$.

Phương trình tham số của đường cáp treo là: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

${x_B} = 20 \Rightarrow B\left( {20;10;8} \right)$, ${y_C} = 120 \Rightarrow C\left( {130;120;63} \right)$.

$BC = \sqrt {{{110}^2} + {{110}^2} + {{55}^2}} = 165\left( m \right)$.

Vậy vận tốc của cabin đi là $v = \frac{{165}}{{55}} = 3\left( {m/s} \right)$.

Vì mặt dưới mái nhà vuông góc với trục $Oz$ và đi qua điểm $A\left( {3;4;33} \right)$ nên có phương trình là $\left( P \right):z - 33 = 0$.

Khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà bằng khoảng cách từ $B\left( {9;8;35} \right)$ đến $\left( P \right)$.

Ta có $d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {35 - 33} \right|}}{1} = 2$.

Suy ra độ dày của mái nhà bằng $2\,{\rm{dm = 0{,}2 m}}$.

Thể tích beton cần đổ mái là $50.0{,}2 = 10{m^3}$.

Tiền beton cần trả là $10.1\,100\,000 = 11\,000\,000$ (đồng).

Tiền công cần trả là $50.100\,000 = 5\,000\,000$(đồng).

Vậy tổng số tiền chủ nhà cần trả là 16.000.000 (đồng).