Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 5 lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng

$5\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 2} \right) - 3\left( {z - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow 5x + 2y - 3z - 11 = 0$

Vậy $\left( P \right):5x + 2y - 3z - 11 = 0$.

Ta có $\overrightarrow {MN} = \left( { - 2;4;2} \right)$.

Đường thẳng $MN$ đi qua điểm $N\left( {1;2;3} \right)$ và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = - \frac{1}{2}\overrightarrow {MN} = \left( {1; - 2; - 1} \right)$ nên có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.$.

Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right): - x + 2y - 2z + 1 = 0$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 1\,;\,2\,;\, - 2} \right)$.

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( {3\,;\, - 2\,;\,1} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right): - x + 2y - 2z + 1 = 0$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 1t\\y = - 2 + 2t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\,,t \in \mathbb{R}$.

Mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có một vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \left( {1;0;1} \right)$

Gọi $\varphi$ là góc giữa mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$, khi đó

$\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi = 45^\circ$.

Chọn B

Đường thẳng $\,{d_1}:\,\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}$có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right)$,

Đường thẳng $\,{d_2}:\,\,\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{1}$có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow u ' = \left( {1; - 1;1} \right)$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng ${d_1}$ và đường thẳng ${d_2}$, khi đó

$\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{3}.$

Đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}$có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)$,

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến$\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, khi đó

$\sin \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1 - 2 - 2} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 30^\circ$.

Tọa độ tâm mặt cầu là $I\left( {3\,;\,2\,;\,1} \right)$, bán kính $R = IA = \sqrt {17}$.

Phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 17$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình $\left( P \right)$ ta có: $\left( P \right):1 + 2 - 3 = 0$(đẳng thức đúng)

Vậy điểm $A$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ nên a) đúng.

b) Ta có phương trình mặt phẳng $\left( P \right):x - y - 3 = 0$ khuyết ẩn $z$ nên $\left( P \right)$ song song hoặc chứa trục $Oz$. Mặt khác điểm $O$ không thuộc $\left( P \right)$ nên $\left( P \right)$ song song với trục $Oz$. Nên b) đúng

c)

$\left. \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3; - 4} \right)\\\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;0} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 4; - 4; - 2} \right) = - 2\left( {2;2;1} \right)$

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $A\left( {1; - 2;1} \right)$ và nhận $\overrightarrow {{n_\alpha }}$ làm VTPT có phương trình

$2x + 2y + z + 1 = 0$ nên c) sai

d)

Ta có, $\left( Q \right)$song song $\left( P \right)$nên phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):x - y + C = 0$; $C \ne - 3$

Chọn $M\left( {3;\,0\,;0\,} \right) \in \left( P \right)$

Ta có $d\left( {\left( P \right)\,;\,\left( Q \right)} \right) = d\left( {M\,;\,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {3 + C} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2\sqrt 2$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}C = 1\\C = - 7\end{array} \right.$( thỏa mãn)

$C = 1 \Rightarrow \left( Q \right):x - y + 1 = 0$ khi đó $\left( Q \right)$ cắt $Ox$ tại điểm ${M_1}\left( { - 1\,;\,0\,;\,0} \right)$có hoành độ âm nên trường hợp này $\left( Q \right)$ không thỏa đề bài.

$C = - 7 \Rightarrow \left( Q \right):x - y - 7 = 0$ khi đó $\left( Q \right)$cắt $Ox$ tại điểm ${M_2}\left( {7\,;\,0\,;\,0} \right)$có hoành độ dương do đó $\left( Q \right):x - y - 7 = 0$ thỏa đề bài.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):x - y - 7 = 0$. d) sai

a) Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta có: $d:\frac{1}{1} = \frac{{ - 3}}{{ - 1}} = \frac{3}{2}$( không thỏa mãn). Vậy $M \notin d$ nên a sai.

b) Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $\left( P \right)$ nên $\Delta$ có VTCP là ${\overrightarrow u _{_\Delta }} = {\overrightarrow n _{_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)$

$\Delta$ đi qua $M$ nên phương trình tham số của $\Delta$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 3 + 2t\\z = 4 - 2t\end{array} \right.$ suy ra b) sai

c) Đường thẳng $d$ có VTCP ${\overrightarrow u _{_d}} = \left( {1; - 1;2} \right)$, $\left( P \right)$ có VTPT là ${\overrightarrow n _{_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)$

$\Rightarrow {\overrightarrow u _{_d}}.{\overrightarrow n _{_P}} = 1 - 2 - 4 = - 5 \ne 0$ nên d cắt $\left( P \right)$ suy ra c) sai

d)

Gọi $d'$ là hình chiếu của $d$ lên $\left( P \right)$;

· Tọa độ $A = d \cap \left( P \right)$ thỏa $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2z + 2 = 0\\\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2} = \frac{{x + 2y - 2z + 2}}{{1 - 2 - 4}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;0;1} \right)$.

· Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $\left( P \right)$

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1; - 1;2} \right).$

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_p}} = (1;2; - 2)$.

Suy ra $\left( Q \right)$ có VTPT là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = ( - 2;4;3)$.

· Khi đó do $d' = \left( P \right) \cap \left( Q \right)$ nên $\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = (14;1;8)$ là vectơ chỉ phương của $(d')$.

· Đường thẳng $d'$ đi qua $A\left( {0;0;1} \right)$ và có VTCP là $\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {14;1;8} \right)$ có phương trình chính tắc là $d':\frac{x}{{14}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{8}.$

Vậy d) đúng.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a)Sai

Các hệ số $a = 2;b = 2;c = 2;d = 0$ nên mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {2;2;2} \right)$, bán kính $R = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 3$.

b) Sai

$IA = \sqrt {{{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 3 = R$ nên điểm $A$ nằm trên mặt cầu $\left( S \right)$.

c) Đúng

$OI = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 3 = R$ nên điểm $O$ nằm trên mặt cầu $\left( S \right)$.

d) Đúng

Theo kết quả câu (b) và (c), điểm O và $A$ cùng thuộc $\left( S \right)$.

Tam giác $OAB$ đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp $R' = \frac{{OA}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}$.

$d\left( {I;\left( {OAB} \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {{\left( {R'} \right)}^2}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}$.

Mặt phẳng $\left( {OAB} \right)$ đi qua O nên có phương trình dạng : $ax + by + cz = 0{\rm{ }}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0} \right){\rm{ }}\left( * \right)$

Do $\left( {OAB} \right)$ đi qua A, suy ra: $4a + 4b = 0 \Leftrightarrow b = - a$.

Lúc đó: ${\rm{d}}\left( {I;\left( {OAB} \right)} \right) = \frac{{\left| {2\left( {a + b + c} \right)} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {2c} \right|}}{{\sqrt {2{a^2} + {c^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{\left| {2c} \right|}}{{\sqrt {2{a^2} + {c^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}$

$\Leftrightarrow 2{a^2} + {c^2} = 3{c^2} \Leftrightarrow {a^2} = {c^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = a\\c = - a\end{array} \right.$. Theo (*), suy ra $\left( {OAB} \right):x - y + z = 0$ hoặc $x - y - z = 0.$

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

a)Đúng

Hình chiếu của điểm $C$ trên các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt là $B,D,A$ nên $C\left( {3;2;0} \right)$.

b) Sai

Ta có $AB = 3;AD = 2;AA' = 5$.

${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AB.AD.AA' = 2.3.5 = 30$.

c) Sai

Phương trình mặt phẳng $\left( {A'BD} \right)$ là: $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{5} = 1 \Leftrightarrow 10x + 15y + 6z - 30 = 0$.

$d\left( {A;\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 30} \right|}}{{\sqrt {{{10}^2} + {{15}^2} + {6^2}} }} = \frac{{30}}{{19}}$.

d) Đúng

$B'\left( {3;0;5} \right);D'\left( {0;2;5} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB'} = \left( {3;0;5} \right)\\\overrightarrow {AD'} = \left( {0;2;5} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AD'} } \right] = \left( { - 10; - 15;6} \right)$.

Vậy mặt phẳng $\left( {AB'D'} \right)$ có 1 VTPT $\overrightarrow n \left( {10;15; - 6} \right)$.

$C\left( {3;2;0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {B'C} = \left( {0;2; - 5} \right)\\\overrightarrow {D'C} = \left( {3;0; - 5} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {B'C} ,\overrightarrow {D'C} } \right] = \left( { - 10; - 15; - 6} \right)$.

Vậy mặt phẳng $\left( {CB'D'} \right)$ có 1 VTPT $\overrightarrow {n'} \left( {10;15;6} \right)$.

$\cos \left( {\left( {AB'D'} \right);\left( {CB'D'} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{289}}{{361}}$.

Vì $M \in d \Rightarrow M\left( {1 + 2t; - t;1 - t} \right)$

Mà $M \in \left( P \right)$ nên: $1 + 2t - \left( { - t} \right) + 1 - t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow M\left( {5; - 2; - 1} \right)$

Vậy $a + b + c = 2$

Hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 2;1} \right),\overrightarrow {{u_2}} \left( {2;1; - 1} \right)$.

Vì $\left( \alpha \right)$ song song với hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ nên có vtpt $\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {1;3;5} \right).$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $1\left( {x - 0} \right) + 3\left( {y - 1} \right) + 5\left( {z - 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x + 3y + 5z - 13 = 0.$

$\Leftrightarrow - 2x - 6y - 10z + 26 = 0.$

Suy ra $A = - 2,\,B = - 6,\,C = - 10$.

$\Rightarrow T = 2A + 3B + C = - 32$

Đường thẳng ${d_2}$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow v = \left( {1; - 2;3} \right)$ và đi qua điểm $N\left( { - 3;1; - 4} \right)$

Ta có: $\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right] = \left( {4;5;2} \right) \ne \overrightarrow 0$; $\overrightarrow {MN} = \left( { - 4;4; - 6} \right)$; $\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right].\overrightarrow {MN} = - 16 + 20 - 12 = - 8 \ne 0$

$\Rightarrow$ ${d_1}$ và ${d_2}$ chéo nhau.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ cách đều hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ nên $\left( P \right)$ nhận $\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right] = \left( {4;5;2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm $I\left( { - 1; - 1; - 1} \right)$ của đoạn $MN$

Suy ra phương trình của $\left( P \right)$: $4\left( {x + 1} \right) + 5\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y + 2z + 11 = 0$

$\Rightarrow a = 4;b = 5;c = 2$ $\Rightarrow a + 2b + 3c = 20$.

Bồn chứa có tâm $I\left( {5;5;5} \right)$, bán kính $R = 6$.

Khoảng cách từ tâm đến nắp bồn chứa là $d = \frac{{\left| {5 - 9} \right|}}{{\sqrt 1 }} = 4$.

Vậy khoảng cách từ đáy đến nắp bồn chứa là $h = d + R = 4 + 6 = 10$.