Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 1 lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

Chọn C

Ta có: $f'\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

Đồng thời $f'\left( x \right) < 0$$\Leftrightarrow x \in \left( {0;2} \right)$ nên ta chọn đáp án theo đề bài là $\left( {0;\,\,1} \right)$.

Chọn D

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty \,;\, - 1} \right)$ và $\left( { - 1\,;\,1} \right)$.

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty \,;\, - 1} \right)$.

Chọn D.

Quan sát đồ thị ta thấy: $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = 3\\\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = 3\\m = 0\end{array} \right. \Rightarrow M + m = 3 + 0 = 3$.

Chọn B.

Từ BBT ta có :

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0 \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang : $y = 0$.

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 5 \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang : $y = 5$.

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng : $x = 1$.

Vậy : Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là 3.

Chọn D.

Ta có : $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{3}{x}}} = 2 \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang : $y = 2$.

Chọn A

Tập xác định của hàm số đã cho là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Ta có: $y' = \frac{{ - 1 - a}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}},\,\forall x \ne 1$. Từ đồ thị của hàm số suy ra hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định vì vậy $y' > 0,\,\forall x \ne 1$.

Chọn A

Đường cong có dạng của đồ thị hàm số bậc $3$ với hệ số $a > 0$ nên chỉ có hàm số $y = {x^3} - 3x$ thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $y' = 3{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 3$.

Hàm số $y = {x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + 3x + 2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

$$\Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 9 \le 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 8 \le 0 \Leftrightarrow - 4 \le m \le 2.$$

Vậy $m \in \left[ { - 4;2} \right]$.

Chọn A.

Hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}$ liên tục trên $\left[ {3;7} \right]$.

Ta có: $y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$.

Nhận xét: $y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\,\forall x \in \left[ {3;7} \right]$.

$\Rightarrow y = f\left( x \right)$ là hàm số nghịch biến trên $\left[ {3;7} \right]$.

Xét trên đoạn $\left[ {3;7} \right]$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ {3;7} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = 7\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;7} \right]} f\left( x \right) = f\left( 7 \right) = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = 7\\m = 3\end{array} \right. \Rightarrow {M^2} + m = 52$.

Chọn A.

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 4} \right\}.$ Ta có:

$\bullet$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to \, - 4} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \, - 4} \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{{x^2} - 16}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \, - 4} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \, - 4} \frac{{x + 1}}{{x + 4}} = + \infty \Rightarrow x = - 4$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\bullet$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to \,4} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \,4} \frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{{x^2} - 16}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \,4} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \,4} \frac{{x + 1}}{{x + 4}} = \frac{5}{8} \Rightarrow x = 4$ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có $1$ đường tiệm cận đứng.

Chọn C

Gọi $M\left( {{x_0}\,;\,{y_0}} \right)$ là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung. Ta có ${x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 2$.

Chọn A

Tập xác định: $\mathbb{R}$.

Ta có: $y' = 3{x^2} - 3 = 3\left( {{x^2} - 1} \right);y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt.

a) Đúng.

Vì dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

b) Sai.

Vì dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x = 2$.

c) Đúng.

Theo đồ thị ta thấy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = 0$và $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = - 4$.

d) Sai.

Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( {3 - x} \right)$ . Vì $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $g\left( x \right)$liên tục trên $\mathbb{R}$.

Từ đồ thị ta có bảng xét dấu của $f'\left( x \right)$ như sau:

Ta có: $g'\left( x \right) = \left( {3 - x} \right)'f'\left( {3 - x} \right) = - f'\left( {3 - x} \right)$.

Cho $g'\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow - f'\left( {3 - x} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{3 - x = 0}\\{3 - x = 2}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 3}\\{x = 1}\end{array}} \right.$

Từ bảng xét dấu của $f'\left( x \right)$ suy ra được bảng xét dấu của $g'\left( x \right)$

Vậy hàm số $g\left( x \right)$ không nghịch biến trên $\left( {2;5} \right)$.

a. Sai. Vì dựa vào bảng xét dấu, hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$.

b. Đúng. Vì dựa vào bảng xét dấu, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right) \supset \left( {3; + \infty } \right)$.

c. Sai. Vì hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f'\left( x \right)$ đổi dấu ba lần nên hàm số đã cho có $3$ điểm cực trị.

d. Đúng. Vì hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ và tại điểm $x = 0$, $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x = 0$.

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn $\left[ {0;\;2} \right]$.

Ta có $y' = - \frac{8}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\; < \;0\;;\;\forall x \ne 3$suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn $\left( {0;2} \right)$

Vậy $M = \mathop {{\rm{max}}y}\limits_{\left[ {0;\;2} \right]} = f\left( 0 \right) = \frac{1}{3}$ và $m = \mathop {{\rm{min}}y}\limits_{\left[ {0;\;2} \right]} = f\left( 2 \right) = - 5$

Suy ra $P = M.m = \frac{1}{3}.\left( { - 5} \right) = - \frac{5}{3}.$

a. Sai.

b. Sai.

c. Đúng.

d. Đúng.

Từ bảng biến thiên, ta có :

là tiệm cận đứng

là tiệm cận ngang

Vậy đồ thị hàm số có 1 TCĐ và 1 TCN.

a. Sai.

b. Sai.

c. Sai.

d. Đúng.

Đáp án: $2\sqrt {17}$

Xét hàm số $y = \frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}}$

Điều kiện: $x \ne - 2$

Ta có: $y' = \frac{{2{x^2} + 8x + 6}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$ $\left( {x \ne - 2} \right)$

Cho $y' = 0$$\Rightarrow 2{x^2} + 8x + 6 = 0$$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 1 \Rightarrow y = 1}\\{\,\,\,x = - 3 \Rightarrow y = - 7}\end{array}} \right.$

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $A\left( { - 1;1} \right)$ và $B\left( { - 3; - 7} \right)$$\Rightarrow AB = 2\sqrt {17}$

Đáp án: 1

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là $1$. Vì dựa vào đồ thị của $f'\left( x \right)$, đạo hàm đổi dấu một lần từ âm sang dương nên hàm số đã cho có một cực trị (một cực tiểu).

Đáp án: 5

Giả sử hàm số có đồ thị là $(C)$. Ta có :

+) $y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = x + \frac{1}{{x - 1}}$.

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{\frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 0 \Rightarrow \left( C \right)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x$.

Suy ra : $a = 1;\,\,\,b = 0\,\, \Rightarrow P = 5a + 2024b = 5.1 + 2024.0 = 5.$

Trả lời : 3

Đặt $t = {x^3} + 4x + m \Rightarrow t' = 3{x^2} + 4$ nên $t$ đồng biến trên $\left( { - 1;1} \right)$ và $t \in \left( {m - 5;m + 5} \right)$

Yêu cầu bài toán trở thành tìm $m$ để hàm số $f\left( t \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {m - 5;m + 5} \right)$.

Dựa vào bảng biến thiên ta được $\left\{ \begin{array}{l}m - 5 \ge - 2\\m + 5 \le 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 3\\m \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3$

Trả lời : 14

Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( {x - m} \right) - \frac{1}{2}{\left( {x - m - 1} \right)^2} + 2019$

$g'\left( x \right) = f'\left( {x - m} \right) - \left( {x - m - 1} \right)$

Xét phương trình $g'\left( x \right) = 0\left( 1 \right)$

Đặt $x - m = t$, phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành $f'\left( t \right) - \left( {t - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) = t - 1\left( 2 \right)$

Nghiệm của phương trình $\left( 2 \right)$ là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = f'\left( t \right)$ và $y = t - 1$

Ta có đồ thị các hàm số $y = f'\left( t \right)$ và $y = t - 1$ như sau:

Căn cứ đồ thị các hàm số ta có phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm là: $\left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 1\\t = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m - 1\\x = m + 1\\x = m + 3\end{array} \right.$

Ta có bảng biến thiên của $y = g\left( x \right)$

Để hàm số $y = g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {5;{\kern 1pt} {\kern 1pt} 6} \right)$ cần $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \le 5\\m + 1 \ge 6\end{array} \right.\\m + 3 \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 \le m \le 6\\m \le 2\end{array} \right.$

Vì $m \in \mathbb{N}* \Rightarrow m$ nhận các giá trị $1;\,2;\,5;\,6 \Rightarrow S = 14$.

Đáp án: 10

Thể tích của hộp sữa là: $V = {x^2}h\,\,\left( {c{m^3}} \right)$.

Theo bài ra, ta có: $V = 1\left( l \right) = 1000\,\,\left( {c{m^3}} \right) \Rightarrow {x^2}h = 1000 \Rightarrow h = \frac{{1000}}{{{x^2}}}$.

Ta có diện tích toàn phần của hộp sữa là: ${S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = 4hx + 2{x^2} = 4.\frac{{1000}}{{{x^2}}}.x + 2{x^2} = 2{x^2} + \frac{{4000}}{x}$

Đặt $y = 2{x^2} + \frac{{4000}}{x} \Rightarrow y' = 4x - \frac{{4000}}{{{x^2}}}$.

Xét $y' = 0 \Leftrightarrow 4x - \frac{{4000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4000 = 0 \Leftrightarrow x = 10$.

Ta có bảng biến thiên:

Vậy để hộp sữa có diện tích toàn phần nhỏ nhất thì $x = 10$.