Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 1 lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Ta có:

+) TXĐ: $D = \mathbb{R}$

+) $y' = - 3{x^2} - 2mx + 4m + 9$.

Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$ khi $y' \le 0,\,\forall x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3 < 0\\\Delta ' = {m^2} + 3\left( {4m + 9} \right) \le 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow m \in \left[ { - 9; - 3} \right]$ $\Rightarrow$ có 7 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Ta có $f'\left( x \right) = 1 - \frac{4}{{{x^2}}}$;

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = - 2$.

Bảng biến thiên của hàm số đã cho trên khoảng$\left( { - 4;0} \right)$:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left( { - 4;0} \right)} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = - 4$.

Hàm số có tập xác định là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;1} \right\}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x - 2}} = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x - 2}} = - \infty$ nên đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x - 2}} = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x - 2}} = - \infty$ nên đường thẳng $x = - 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có $2$tiệm cận đứng.

Ta có:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6{x^2} + 7x - 2023}}{{2{x^2} + 3x + 2024}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6 + \frac{7}{x} - \frac{{2023}}{{{x^2}}}}}{{2 + \frac{3}{x} - \frac{{2024}}{{{x^2}}}}} = 3;\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{6{x^2} + 7x - 2023}}{{2{x^2} + 3x + 2024}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{6 + \frac{7}{x} - \frac{{2023}}{{{x^2}}}}}{{2 + \frac{3}{x} - \frac{{2024}}{{{x^2}}}}} = 3.\end{array}$

Nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 3$.

Ta có: $y = \frac{{{x^3} + {x^2} - 2x - 1}}{{{x^2} - 2}} = x + 1 + \frac{1}{{{x^2} - 2}}$.

Mà

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^2} - 2}} = 0;\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{{x^2} - 2}} = 0.\end{array}$

nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x + 1$.

Đường cong có dạng của đồ thị hàm số bậc hai / bậc nhất nên ta loại được phương án A và C. Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình đường tiệm cận xiên là $y = x + 1$

Thử câu D ta có: $y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là $y = x + 1$.

Từ đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$.

Vì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$ nên ta có $b = - 1$.

Đồ thị đi qua gốc toạ độ nên ta có: $a = 0$

Vậy $T = a + b = - 1$.

Tập xác định $D = \mathbb{R}$.

$y' = f'(x) = 4{x^3} - 4x$.

Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \vee x = 0 \vee x = 1.$

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy

a) Đúng.

b) Sai.

c) Sai.

d) Đúng.Ta có

$$\begin{array}{l}f(2x) = 16{x^4} - 8{x^2} - 5\\ \Rightarrow f'(2x) = 64{x^3} - 16x\end{array}$$

Cho $f'(2x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2} \vee x = 0 \vee x = \frac{1}{2}$

Ta có bảng biến thiên sau:

Ta thấy hàm $y = f(x)$ và $y = f(2x)$ đều đạt cực đại tại $x = 0$.

a) Ta có $y' = 3{x^2} - 3$; $y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

$f\left( 0 \right) = 2;f\left( 1 \right) = 0$. Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,;\,1} \right]} y = 0$.

Chọn ĐÚNG.

b) Ta có $y' = 3{x^2} - 3$; $y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

$f\left( 0 \right) = 2;f\left( 1 \right) = 0;f\left( 2 \right) = 4$. Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,;\,2} \right]} y = f\left( 1 \right)$.

Chọn SAI.

c) Ta có $y' = 3{x^2} - 3$; $y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

$f\left( 0 \right) = 2;f\left( 1 \right) = 0;f\left( { - 1} \right) = 4$. Suy ra $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1\,;\,0} \right]} y = 2;\mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;\,1} \right]} y = 2$. Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1\,;\,0} \right]} y + \mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;\,1} \right]} y = 4$.

Chọn ĐÚNG.

d) Xét hàm số $g\left( x \right) = \frac{1}{y} = \frac{1}{{{x^3} - 3x + 2}}$ trên $\left[ {\frac{{ - 3}}{2};0} \right]$, ta có:

$g'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 3}}{{{{\left( {{x^3} - 3x + 2} \right)}^2}}}$; $g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.$.

$g\left( { - 1} \right) = \frac{1}{4}$; $g\left( { - \frac{3}{2}} \right) = \frac{8}{{25}}$; $g\left( 0 \right) = \frac{1}{2}$.

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{3}{2};0} \right]} \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$.

Chọn SAI.

a) Đúng.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = 2$ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$.

b) Sai.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = \frac{{2.1 - 3}}{{1 + 1}}$$= - \frac{1}{2}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = \frac{{2.1 - 3}}{{1 + 1}}$$= - \frac{1}{2}$.

Do đó, đường thẳng $x = 1$ không phải là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

c) Đúng.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = 2$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = 2$ nên đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$.

Lại có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{2x - 3}}{{x + 1}} = + \infty$, hơn nữa chỉ khi $x$ dần đến $- 1$ thì $y$ mới dần đến vô cực nên đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận đứng là $x = - 1$.

Do đó, đồ thị hàm số chỉ có đúng hai đường tiệm cận.

d) Đúng.

Ta có tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là $I\left( { - 1;2} \right)$.

Thế $x = - 1$ và $y = 2$ vào phương trình đường thẳng $\left( \Delta \right):x + 2y - 3 = 0$, ta được:

$- 1 + 2.2 - 3 = 0$ (Đúng)

Vậy điểm $I\left( { - 1;2} \right)$ nằm trên đường thẳng $\left( \Delta \right):x + 2y - 3 = 0$.

a) Đúng.

Do đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 2$ cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng 0 nên tung độ bằng $- 2$.

b) Sai.

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - 3}}{{x - 1}} = - \infty ,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 3}}{{x - 1}} = + \infty$ nên đồ thị hàm số $y = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}$nhận đường thẳng $x = 1$ làm tiệm cận đứng.

c) Sai.

Do $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{{x^2} - x}} = 1$ và $b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{3x - 2}}{{x - 1}} = 3$. Suy ra đường thẳng $y = x + 3$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

d) Đúng.

Ta có: $y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$. $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên:

+ Căn cứ bảng biến thiên:

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $\left( {2;\,6} \right)$.

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $\left( {0;\,2} \right)$.

Trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị có toạ độ $\left( {1;\,4} \right)$.

+ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = + \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = - \infty$nên $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Theo c)$y = x + 3$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao của hai đường tiệm cận có toạ độ $\left( {1;\,4} \right)$.

+ Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}$ nhận trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị làm tâm đối xứng.

Đáp số: Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $y' = 3{x^2} - 6x$; $y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

Đáp số: $m = 1$

Ta có: $y = {x^3} - 2m{x^2} + mx + 1$$\Rightarrow y' = 3{x^2} - 4mx + m$

Vì $x = 1$ là điểm cực tiểu của hàm số nên $y'\left( 1 \right) = 0$$\Leftrightarrow 3 - 4m + m = 0 \Leftrightarrow m = 1$

Thử lại với $m = 1,$ ta có $y = {x^3} - 2{x^2} + x + 1$; $y' = 3{x^2} - 4x + 1$.

$y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{3}\end{array} \right..$

Bảng biến thiên:

Quan sát bảng biến thiên ta thấy $m = 1$ thỏa yêu cầu bài toán.

Đáp số : $- 2$.

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f(x)$ có $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 1}\\{x = - 1}\end{array}} \right.\;$và $f(1) = - 1,\;f( - 1) = 3$.

Xét $g'(x) = (3{x^2} + 1)f'({x^3} + x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow f'({x^3} + x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x^3} + x - 1 = - 1}\\{{x^3} + x - 1 = 1\quad }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right..$

Ta thấy $g(0) = f( - 1) + {m^2} + 2m = {m^2} + 2m + 3$ và $g(1) = f(1) + {m^2} + 2m = {m^2} + 2m - 1.$

$\Rightarrow g(0) > g(1)$

$\mathop { \Rightarrow \max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g(x) = g(0)$

$\Rightarrow g(0) = 3 \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 3 = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m = 0}\\{m = - 2}\end{array}} \right..$

$\Rightarrow S = \left\{ { - 2;0} \right\}.$ Vậy tổng các phẩn tử của tập $S$bằng $- 2$.

Đáp số: $- 1$.

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}$.

Ta có $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x - {x^2}}}{{2{x^2} - x}} = - \frac{1}{2}$;

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{3x - {x^2}}}{{2x - 1}} + \frac{1}{2}x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5x}}{{2\left( {2x - 1} \right)}} = \frac{5}{4}$.

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = - \frac{1}{2}x + \frac{5}{4}$.

Vậy $P = {a^2} - b = {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4} = - 1$.

Đáp số: 2.

Xét phương trình hoành độ giao điểm $f\left( x \right) = g\left( x \right)$ $\Leftrightarrow - {x^3} + 2{x^2} - x + 1 = 1$

$\Leftrightarrow - {x^3} + 2{x^2} - x = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$.

Vậy số giao điểm của $\left( C \right)$ và $\left( d \right)$ là 2.

Đáp số: 0.

Hàm số $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$, có đồ thị như hình vẽ.

Nhận xét $A\left( {0;4} \right)$ và $M\left( {2;0} \right)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 4\\f\left( 2 \right) = 0\\f'\left( 0 \right) = 0\\f'\left( 2 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 4\\8a + 4b + 2c + d = 0\\3a - 2b + c = 0\\12a + 4b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\\c = 0\\d = 4\end{array} \right.$.

Tìm được hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 4$.

Ta có $g\left( x \right) = {\left( {{x^2} + x + 2} \right)^3} - 3{\left( {{x^2} + x + 2} \right)^2} + 4$.

Khi đó $g'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\left[ {3{{\left( {{x^2} + x + 2} \right)}^2} - 6\left( {{x^2} + x + 2} \right)} \right]$.

$g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\x = 0\\x = - 1\end{array} \right.$.

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, số nghiệm của phương trình $g\left( x \right) = - 2$ là 0.