Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 1 (có lời giải) - Đề 2

Chọn B

Biểu thức $\frac{{{\rm{cos}}x}}{{{\rm{sin}}x - 1}}$ có nghĩa khi ${\rm{sinx}} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\rm{sinx}} \ne 1$ $\Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $\text{D}=ℝ\text{\textbackslash{}}\{\frac{π}{2}+k2π∣k\in ℤ\}$.

Chọn A

Ta có: $250^\circ = \frac{\pi }{{180}}.250\, = \,\frac{{25\pi }}{{18}}$.

Chọn C

Ta có $a^\circ = \frac{{180^\circ }}{\pi }.\alpha = \frac{{180^\circ }}{\pi }.\frac{{5\pi }}{4} = 225^\circ$.

Chọn B

+ Ta có: ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$$\Rightarrow {\cos ^2}\alpha$$= 1 - {\sin ^2}\alpha$$= 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2}$$= \frac{{16}}{{25}}$$\Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{4}{5}$.

+ Mặt khác $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\cos \alpha < 0$.

+ Vậy $\cos \alpha = - \frac{4}{5}$.

Chọn C

Hàm số $y = {\rm{cot}}x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$.

Chọn A

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số ${\rm{y}} = {\rm{sinx}}$ và ${\rm{y}} = {\rm{cosx}}$ là nghiệm của phương trình ${\rm{sinx}} = {\rm{cosx}} \Leftrightarrow {\rm{tanx}} = 1$do ${\rm{tan}}x = \frac{{{\rm{sin}}x}}{{{\rm{cos}}x}}$ )

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Ta có: $- 2\pi \le \frac{\pi }{4} + k\pi \le \frac{{5\pi }}{2} \Leftrightarrow - \frac{{9\pi }}{4} \le k\pi \le \frac{{9\pi }}{4} \Leftrightarrow - 2{,}25 \le k \le 2{,}25$

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}$.

Vậy đồ thị của các hàm số ${\rm{y}} = {\rm{sinx}}$ và ${\rm{y}} = {\rm{cosx}}$. cắt nhau tại 5 điểm có hoành độ thuộc đoạn $\left[ { - 2\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right]$.

Chọn A

$\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = - \frac{1}{8}$.

Chọn D

$\frac{{\sin {{10}^0} + \sin {{20}^0}}}{{\cos {{10}^0} + \cos {{20}^0}}}$$= \frac{{2\sin {{15}^0}\cos {5^0}}}{{2\cos {{15}^0}\cos {5^0}}} = \tan {15^0}$.

Chọn A

Hàm số đã cho xác định khi $\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0$$\Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi$$\Leftrightarrow x \ne \frac{{5\pi }}{{12}} + k\frac{\pi }{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Vậy TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{5\pi }}{{12}} + k\frac{\pi }{2}} \right\}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Chọn C

Hàm số $y = \sin 2x$ tuần hoàn với chu kỳ $T = 2\pi$ nên hàm số $y = \sin 2x$ tuần hoàn với chu kỳ $T = \pi$.

Chọn A

Ta có các kết quả sau:

+ Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn.

+ Hàm số $y = \cot x$ là hàm số lẻ.

+ Hàm số $y = \sin x$ là hàm số lẻ.

+ Hàm số $y = \tan x$ là hàm số lẻ.

Chọn B

Ta có $2\cot {\rm{x}} - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cot {\rm{x}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) + k\pi ,$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Ta có $si{n^2}a = 1 - {\cos ^2}a = \frac{8}{9}$; $si{n^2}b = 1 - {\cos ^2}b = \frac{{15}}{{16}}$.

Ta có $\cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right) = \left( {\cos a\cos b - \sin a\sin b} \right)\left( {\cos a\cos b + \sin a\sin b} \right)$

$= {\cos ^2}a.{\cos ^2}b - {\sin ^2}a.{\sin ^2}b$

$= \frac{1}{9}.\frac{1}{{16}} - {\sin ^2}a.{\sin ^2}b$ (3)

Suy ra $\cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{9}.\frac{1}{{16}} - \frac{8}{9}.\frac{{15}}{{16}} = - \frac{{119}}{{144}}$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Phương trình $\Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {\frac{{3\pi }}{4} - 2x} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{3\pi }}{4} - 2x + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k2\pi }}{5}\\x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right.$

Do $x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)$ nên ta có: $x = - \frac{{43\pi }}{{60}},x = - \frac{{19\pi }}{{60}},x = \frac{\pi }{{12}},x = \frac{{29\pi }}{{60}},x = \frac{{53\pi }}{{60}},x = - \frac{\pi }{{12}}$

Vậy tổng các nghiệm trong $\left( { - \pi ;\pi } \right)$ bằng$\frac{\pi }{3}$.

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có $l = R\alpha = \frac{{\pi a}}{{180}}.R$

b) Ta có $l = R\alpha = 36.\frac{{3\pi }}{4} = 27\pi \approx 84{,}8m$

c) Ta có $l = \frac{{\pi a}}{{180}}.R = \frac{{\pi 51}}{{180}}.36 = \frac{{51\pi }}{5} \approx 32{,}04m$

d) Ta có $l = R\alpha = 36.\frac{1}{3} = 12m$

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Phương trình $\Leftrightarrow \cos \left( {6x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \cos 4x = \cos \left( {\pi + 4x} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x - \frac{\pi }{4} = 4x + \pi + k2\pi \\6x - \frac{\pi }{4} = - 4x - \pi + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{8} + k\pi \\x = - \frac{{3\pi }}{{40}} + \frac{{k\pi }}{5}\end{array} \right.$

Các nghiệm nằm trong $( - \pi ;\pi )$ của phương trình là:

$x = \frac{{5\pi }}{8},x = - \frac{{7\pi }}{8},x = - \frac{{27\pi }}{{40}},x = - \frac{{19\pi }}{{40}},x = - \frac{{11\pi }}{{40}},x = - \frac{{3\pi }}{{40}},x = \frac{\pi }{8},$

$x = \frac{{13\pi }}{{40}},x = \frac{{21\pi }}{{40}},x = \frac{{29\pi }}{{40}},x = \frac{{37\pi }}{{40}}$

Vậy tổng các nghiệm thuộc $( - \pi ;\pi )$ là: $\frac{{7\pi }}{8}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\cos x = \cos (x + 2\pi ),{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\\\cot x = \cot (x + \pi ),{\rm{ }}\forall x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array}$

Do đó, hàm số $y = \cos x$ và $y = \cot x$ là các hàm số tuần hoàn

$\frac{{6\pi }}{5} = \pi + \frac{\pi }{5}$

$$\frac{{9\pi }}{5} = 2\pi - \frac{\pi }{5}$$

$- \frac{{11\pi }}{5} = - 2\pi - \frac{\pi }{5}$

$\frac{{31\pi }}{5} = 6\pi + \frac{\pi }{5}$

$- \frac{{14\pi }}{5} = - 3\pi + \frac{\pi }{5}$

Nhận thấy số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho khi ta quay góc đó chẵn 1 vòng mà 1 vòng có số đo là $2\pi$ $\Rightarrow$ những số đo thỏa ycbt là $\frac{{9\pi }}{5}$, $- \frac{{11\pi }}{5}$,$\frac{{31\pi }}{5}$.

Gọi $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$. Ta có:

$\frac{{1 + \cos B}}{{1 - \cos B}} = \frac{{2a + c}}{{2a - c}}$$\Leftrightarrow \frac{{1 + \cos B}}{{1 - \cos B}} = \frac{{2.2R\sin A + 2R\sin C}}{{2.2R\sin A - 2R\sin C}}$$\Leftrightarrow \frac{{1 + \cos B}}{{1 - \cos B}} = \frac{{2\sin A + \sin C}}{{2\sin A - \sin C}}$$\Leftrightarrow 2\sin A + 2\sin A\cos B - \sin C - \sin C\cos B = 2\sin A - 2\sin A\cos B + \sin C - \sin C\cos B$ $\Leftrightarrow 4\sin A\cos B = 2\sin C$

$\Leftrightarrow 4.\frac{a}{{2R}}.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = 2.\frac{c}{{2R}}$

$\Leftrightarrow {a^2} + {c^2} - {b^2} = {c^2}$

$\Leftrightarrow a = b$.

Vậy $\Delta ABC$ cân tại $C$.

Ta có :

$$\begin{array}{l}\sin \left( {2x - {{40}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {2x - {{40}^0}} \right) = \sin {60^0}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - {40^0} = {60^0} + k{360^0}\\2x - {40^0} = {180^0} - {60^0} + k{360^0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = {100^0} + k{360^0}\\2x = {160^0} + k{360^0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {50^0} + k{180^0}\\x = {80^0} + k{180^0}\end{array} \right.\end{array}$$

Xét nghiệm $x = {50^0} + k{180^0}$.

Ta có : $- {180^0} \le x \le {180^0} \Leftrightarrow - {180^0} \le {50^0} + k{180^0} \le {180^0} \Leftrightarrow - \frac{{23}}{{18}} \le k \le \frac{{13}}{{18}}$.

Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên $\left[ \begin{array}{l}k = - 1 \Rightarrow x = - {130^0}\\k = 0 \Rightarrow x = {50^0}\end{array} \right.$.

Xét nghiệm $x = {80^0} + k{180^0}$.

Ta có : $- {180^0} \le x \le {180^0} \Leftrightarrow - {180^0} \le {80^0} + k{180^0} \le {180^0} \Leftrightarrow - \frac{{13}}{9} \le k \le \frac{5}{9}$.

Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên $\left[ \begin{array}{l}k = - 1 \Rightarrow x = - {100^0}\\k = 0 \Rightarrow x = {80^0}\end{array} \right.$.

Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài toán.