Đề khảo sát tuyển sinh vào 10 môn Toán năm 2026 THCS Lý Tự Trọng (Quảng Ninh) có đáp án

$$A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right):\frac{1}{{\sqrt x + 1}}$$

$$A = \frac{{\sqrt x + 1 - \sqrt x + 1 + 2\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\left( {\sqrt x + 1} \right) = \frac{{2\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\left( {\sqrt x + 1} \right)$$

$$A = \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\left( {\sqrt x + 1} \right) = 2$$

Rút $y$ từ phương trình (1) ta có $y = 1 - 2x{\rm{ }}$(3).

Thế (3) vào (2) được $3x - 2\left( {1 - 2x} \right) = 5$$\Rightarrow x = 1$.

Thay $x = 1$ vào (3) được $y = - 1$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x\,;y} \right) = \left( {1\,; - 1} \right).$

Nhân hai vế của bất phương trình với 6, ta được: $2\left( {1 - x} \right) - 3\left( {2x + 3} \right) \ge 6$

Giải tìm được: $x \le \frac{{ - 13}}{8}$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là $x \le \frac{{ - 13}}{8}$.

Theo định lí Viète, ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 7\\{x_1}.{x_2} = 1\end{array} \right.$

Suy ra ${x_1} > 0;{x_2} > 0$

Vì${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình (*) nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 7{x_1} + 1 = 0\\x_2^2 - 7{x_2} + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 6{x_1} + 2 = {x_1} + 1\\x_2^2 - 6{x_2} + 2 = {x_2} + 1\end{array} \right.$

Theo bài ra ta có:

$$\begin{array}{l}A = \frac{1}{{\sqrt {x_1^2 - 6{x_1} + 2} }} + \frac{1}{{\sqrt {x_2^2 - 6{x_2} + 2} }}\\ = \frac{1}{{\sqrt {{x_1} + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {{x_2} + 1} }}\\ = \frac{{\sqrt {{x_2} + 1} + \sqrt {{x_1} + 1} }}{{\sqrt {{x_1} + 1} \sqrt {{x_2} + 1} }}\\ = \frac{{\sqrt {{{(\sqrt {{x_2} + 1} + \sqrt {{x_1} + 1} )}^2}} }}{{\sqrt {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1\,} \right)} }}\\ = \frac{{\sqrt {{x_2} + 1 + {x_1} + 1 + 2\sqrt {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1\,} \right)} } }}{{\sqrt {{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1} }}\\ = \frac{{\sqrt {7 + 2 + 2\sqrt {1 + 7 + 1} } }}{{\sqrt {1 + 7 + 1} }} = \frac{{\sqrt {15} }}{3}\end{array}$$

Gọi số áo xưởng may được mỗi ngày theo kế hoạch là x (chiếc) ($x \in {\mathbb{N}^*}$)

Thời gian hoàn thành công việc theo kế hoạch là $\frac{{1200}}{x}$ (ngày)

5 ngày đầu, xưởng may được số áo là $5x$(chiếc)

Những ngày sau, mỗi ngày xưởng may được số áo là $x + 10$ (chiếc)

Số áo cần phải may trong những ngày còn lại là $1200 - 5x$(chiếc)

Thời gian hoàn thành số áo còn lại sau 5 ngày là $\frac{{1200 - 5x}}{{x + 10}}$(ngày)

Vì hoàn thành xong trước 5 ngày nên ta có phương trình: $\frac{{1200}}{x} - \left( {5 + \frac{{1200 - 5x}}{{x + 10}}} \right) = 5$

Giải tìm được ${x_1} = 40$(TMĐK); ${x_2} = - 60$ (loại)

Vậy số áo xưởng may được mỗi ngày theo kế hoạch là 40 chiếc.

a) Vì $\widehat {BEC}$ và $\widehat {BDC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\left( O \right)$ nên $\widehat {BEC} = \widehat {BDC} = 90^\circ .$

Suy ra $BD \bot AC\,;\,\,CE \bot AB$.

Vì $\Delta AEH$vuông tại $E$ nên $\Delta AEH$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

Vì $\Delta ADH$ vuông tại $D$ nên $\Delta ADH$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

Suy ra: tứ giác $ADHE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

b) Chứng minh: $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$ suy ra $AF \bot BC$

Chứng minh: (g.g) (1)

Chứng minh: (g.g) (2)

Từ (1), (2) suy ra nên $\frac{{AH}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{BD}}$ suy ra $AH \cdot BD = AD \cdot BC$.

c) Chứng minh tứ giác $A,\,\,M,\,\,F,\,\,O,\,\,N$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AO.$

Ta chứng minh được $\widehat {AMN} = \widehat {AFM}$ (3)

Chỉ ra suy ra $A{M^2} = AE \cdot AB$

Chỉ ra suy ra $AH \cdot AF = AE \cdot AB$

Do đó $A{M^2} = AH \cdot AF$

Suy ra hay $\widehat {AFM} = \widehat {AMH}$ (4)

Từ (3), (4) suy ra $\widehat {AMN} = \widehat {AMH}$

Vậy $M,\,\,H,\,\,N$ thẳng hàng.

Gọi $r,\,\,h\,\,({\rm{m}})$ lần lượt là bán kính của nửa đường tròn và chiều dài hình chữ nhật $\left( {0 < r\,;\,\,h < 12} \right)$

Ta có $\pi r + 2h + 4\pi = 20$

$h = \frac{{20 - \pi r - 4\pi }}{2} = 10 - 2\pi - \frac{{\pi r}}{2}$

$S = 2rh + \frac{{\pi {r^2}}}{2} = 2r\left( {10 - 2\pi - \frac{{\pi r}}{2}} \right) + \frac{{\pi {r^2}}}{2} = 20r - \frac{{8 + \pi }}{2}{r^2}$

Đặt ${a^2} = \frac{{8 + \pi }}{2}$.

Ta có: $S = {\left( {{\rm{ar}} - \frac{{10}}{a}} \right)^2} + \frac{{100}}{{{a^2}}} \le \frac{{100}}{{{a^2}}} = \frac{{200}}{{8 + \pi }} \approx 17{,}95$

Dấu “=” xảy ra khi $ar = \frac{{10}}{a}$ suy ra $r = \frac{{10}}{{{a^2}}} = \frac{{20}}{{8 + \pi }} \approx 1{,}8$.

Khi đó $h = 3{,}574$

Vậy cần uốn khung có chiều dài hcn là $3{,}574\,\,{\rm{m}},$ bán kính đường tròn là $1{,}8\,\,{\rm{m}}$ thì diện tích khung làm lớn nhất.