Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 Trường THCS Phú Diễn (Hà Nội) Tháng 3/2026 có đáp án

Tổng số vận động viên tham gia giải bơi là: $2 + 8 + 10 + 8 + 4 = 32$ (vận động viên)

Tần số tương đối của nhóm $\left\{ {28;30} \right\}$là: $f = \frac{{10}}{{32}}.100\% = 32{,}25\%$

a) Thay $x = 4$vào biểu thức A ta được: $A = \frac{{\sqrt 4 + 2}}{4} = 1$.

Vậy $A = 1$.

b) $B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{x - 1}}$ với $x > 0,x \ne 1$

$$B = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) + 7 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{x - \sqrt x + 5\sqrt x - 5 + 7 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$$

$$B = \frac{{x + 3\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$$

$$B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}$$

c) Cho $M = A:B$ Tìm tất cả các giá trị của x để $2M - \frac{2}{x} \ge \frac{1}{4}$

$$M = A:B$$

$M = \frac{{\sqrt x + 2}}{x}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{x}$ với $x > 0,x \ne 1$

$$\begin{array}{l}2M - \frac{2}{x} \ge \frac{1}{4}\\2.\frac{{\sqrt x - 1}}{x} - \frac{2}{x} \ge \frac{1}{4}\end{array}$$

$$\begin{array}{l}\frac{{2\sqrt x - 4}}{x} - \frac{1}{4} \ge 0\\\frac{{8\sqrt x - 16}}{{4x}} \ge 0\end{array}$$

Ta có $x > 0,x \ne 1$ suy ra $4x > 0 \Rightarrow \,\,\,8\sqrt x - 16 \ge 0$

Do đó $\sqrt x \ge 2$ nên $x \ge 4$.

Vậy $x \ge 2$

Gọi $x$là số lá cờ xưởng phải làm mỗi ngày theo kế hoạch ($x \in \mathbb{N}$, lá cờ).

Thời gian dự định hoàn thành là: $\frac{{40000}}{x}$ (ngày).

Thực tế, mỗi ngày xưởng làm được: $x + 200$ (lá cờ).

Thời gian thực tế hoàn thành là: $\frac{{40000}}{{x + 200}}$ (ngày).

Vì xưởng hoàn thành sớm hơn 10 ngày so với kế hoạch, ta có phương trình:

$\frac{{40000}}{x} - \frac{{40000}}{{x + 200}} = 10$

$\frac{{4000}}{x} - \frac{{4000}}{{x + 200}} = 1$

$\frac{{4000(x + 200) - 4000x}}{{x(x + 200)}} = 1$

$4000x + 800000 - 4000x = {x^2} + 200x$

${x^2} + 200x - 800000 = 0$

Giải phương trình ta được:

${x_1} = \frac{{ - 100 + 900}}{1} = 800$ (thỏa mãn)

${x_2} = \frac{{ - 100 - 900}}{1} = - 1000$ (loại vì $x > 0$)

Theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng sản xuất phải làm 800 lá cờ.

Gọi $x$ là số lần ném trúng bóng vào rổ của học sinh ($x \in \mathbb{N},0 \le x \le 10$).

Khi đó, số lần ném bóng ra ngoài là: $10 - x$ (lần).

Theo đề bài, mỗi lần ném trúng được cộng 3 điểm và mỗi lần ném ra ngoài bị trừ 1 điểm.

Tổng số điểm của học sinh đó là: $3x - 1(10 - x)$ (điểm)

Để được chọn vào đội tuyển, học sinh phải đạt từ 20 điểm trở lên, ta có bất phương trình:

$3x - (10 - x) \ge 20$

$3x - 10 + x \ge 20$

$4x - 10 \ge 20$

$4x \ge 30$

$x \ge \frac{{30}}{4}$

$x \ge 7{,}5$

Vì $x$ là số lần ném trúng (phải là số tự nhiên) và $x \ge 7{,}5$, nên giá trị nhỏ nhất của $x$ thỏa mãn là $x = 8$. Vậy học sinh đó phải ném trúng ít nhất 8 quả bóng vào rổ.

Cho phương trình ${x^2} - 6x + m = 0$. Biết phương trình trên có một nghiệm là $x = \frac{5}{2}$. Tính giá trị của biểu thức $M = \frac{{{x_1} - 1}}{{{x_2} + 2}} + \frac{{{x_2} - 1}}{{{x_1} + 2}}$

Vì $x = \frac{5}{2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 6x + m = 0$, ta thay $x = \frac{5}{2}$ vào phương trình: ${\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} - 6\left( {\frac{5}{2}} \right) + m = 0$

$\frac{{25}}{4} - 15 + m = 0$

$\frac{{25}}{4} - \frac{{60}}{4} + m = 0$

$\begin{array}{l} - \frac{{35}}{4} + m = 0\\m = \frac{{35}}{4}\end{array}$

Khi đó phương trình trở thành: ${x^2} - 6x + \frac{{35}}{4} = 0$.

Theo hệ thức Viète, ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} + {x_2} = 6}\\{{x_1} \cdot {x_2} = \frac{{35}}{4}}\end{array}} \right.$

Ta có: $M = \frac{{{x_1} - 1}}{{{x_2} + 2}} + \frac{{{x_2} - 1}}{{{x_1} + 2}}$

$M = \frac{{({x_1} - 1)({x_1} + 2) + ({x_2} - 1)({x_2} + 2)}}{{({x_2} + 2)({x_1} + 2)}}$

$M = \frac{{(x_1^2 + {x_1} - 2) + (x_2^2 + {x_2} - 2)}}{{{x_1}{x_2} + 2({x_1} + {x_2}) + 4}}$

$M = \frac{{(x_1^2 + x_2^2) + ({x_1} + {x_2}) - 4}}{{{x_1}{x_2} + 2({x_1} + {x_2}) + 4}}$

$M = \frac{{{{({x_1} + {x_2})}^2} - 2{x_1}{x_2} + ({x_1} + {x_2}) - 4}}{{{x_1}{x_2} + 2({x_1} + {x_2}) + 4}}$

Thay $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} + {x_2} = 6}\\{{x_1} \cdot {x_2} = \frac{{35}}{4}}\end{array}} \right.$vào biểu thức $M$:

$M = \frac{{{6^2} - 2.\frac{{35}}{4} + 6 - 4}}{{\frac{{35}}{4} + 2.6 + 4}} = \frac{{\frac{{41}}{2}}}{{\frac{{99}}{4}}} = \frac{{82}}{{99}}$

Vậy $M = \frac{{82}}{{99}}$.

Bán kính của đường tròn đáy cốc là: $r = 8:2 = 4(\;cm)$.

a) Diện tích xung quanh chiếc cốc của bác An là

${S_{xq}} = 2\pi rl \approx 2.3{,}14.4.9{,}5 = 238{,}64\left( {c{m^2}} \right)$

b) Thể tích chiếc ly là: $V = \pi \cdot {r^2} \cdot h \approx 3{,}14 \cdot {4^2} \cdot 9{,}5 = 477{,}28\left( {c{m^3}} \right)$

Lượng nước trung bình bạn Bình uống mỗi ngày là:

$$65\% .V.7 \approx 0{,}65.477{,}28.7 \approx 2171{,}624\left( {\;c{m^3}} \right) = 2{,}171624\left( l \right)$$

Vì $2{,}171624 > 2$ nên bạn Bình uống đủ nước theo khuyến cáo.

a) Do $OC \bot AB$ tại $O$ nên $\Delta COB$ vuông tại O nên $C,O,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CB$.

Có $CH \bot BD$ tại $H$ nên $\Delta CBH$ vuông tại $H$ nên $C,\,\,H,\,\,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CB$.

Vậy $C,H,B,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CB$ hay tứ giác $OBHC$ nội tiếp.

b) Ta có $OC = OB = R$ nên $\Delta OBC$ vuông cân tại $O$.

Khi đó $\widehat {OCB} = \widehat {OBC} = 45^\circ$.

Do $OBHC$ nội tiếp nên $\widehat {CHO} = \widehat {CBO} = 45^\circ$ (cùng chắn cung $CO$) và $\widehat {OHB} = \widehat {OCB} = 45^\circ$ (cùng chắn cung $OB$).

Suy ra $\widehat {CHO} = \widehat {OHB} = 45^\circ$ hay $OH$ là phân giác của $\widehat {CHB}$.

Do $OH$ là phân giác của $\widehat {CHB}$ nên $\frac{{CE}}{{BE}} = \frac{{CH}}{{HB}}$ (tính chất đường phân giác).

Do $C \in (O)$ nên $\widehat {ACB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra $CB \bot CD$ tại $C$.

Suy ra $\widehat {DCH} + \widehat {HCB} = 90^\circ$.

Mà $\widehat {CBH} + \widehat {BCH} = 180^\circ - \widehat {CHB} = 90^\circ$ nên $\widehat {DCH} = \widehat {CBH}$ (cùng cộng $\widehat {BCH}$ bằng $90^\circ$)

Kết hợp $\widehat {CHB} = \widehat {CHD} = 90^\circ$ suy ra (g.g)

Suy ra $\frac{{DH}}{{CH}} = \frac{{HC}}{{HB}}$.

Mà $\frac{{CE}}{{BE}} = \frac{{CH}}{{HB}}$ nên $\frac{{DH}}{{CH}} = \frac{{CE}}{{BE}}$ hay $DH \cdot BE = CE.CH$

c) Kẻ đường kính $CM$ của $(O)$. Do $K \in (O)$ nên $KM \bot CK$.

Lại có $K$ thuộc đường tròn đường kính $CD$ nên $\widehat {CKD} = 90^\circ$ hay $DK \bot CK$.

Suy ra $D,K,M$ thẳng hàng.

Gọi ${\rm{E'}}$ là giao điểm của $CB$ và $DM$.

Do $CM$ là đường kính nên $\widehat {CBM} = 90^\circ$ nên $BM \bot CB$.

Mà $CD \bot BC$ nên $BM{\rm{//}}CD$.

Khi đó $\frac{{CE'}}{{E'B}} = \frac{{CD}}{{BM}}$ (theo định lí Thalès).

Mà $BM = BC$ nên $\frac{{CD}}{{BM}} = \frac{{CD}}{{BC}} = \tan \widehat {CBD} = \frac{{CH}}{{BH}}$.

Vậy $\frac{{CE'}}{{E'B}} = \frac{{CH}}{{HB}}$ suy ra $HE'$ là phân giác của $\widehat {CHB}$.

Mà $HE$ là phân giác của $\widehat {CHB}$ nên $E \equiv E'$ hay $D,E,K,M$ thẳng hàng.

Ta có $\widehat {CDE} = \widehat {ECK}$ (cùng phụ $\widehat {DCK}$).

Kết hợp $\widehat {CKD} = \widehat {CKE} = 90^\circ$. Khi đó .

Suy ra $\frac{{CK}}{{EK}} = \frac{{DK}}{{CK}}$ hay $C{K^2} = EK.DK$.

Lại có $EK.DK \le \frac{{{{(EK + DK)}^2}}}{4} = \frac{{D{E^2}}}{4}$ nên $C{K^2} \le \frac{{D{E^2}}}{4}$.

Suy ra $CK \le \frac{{DE}}{2}$ hay $DE \ge 2CK$.

Dấu "=" xảy ra khi $K$ là trung điểm của $DE$ hay $K$ phải thoả mãn $\widehat {KCD} = 45^\circ$.

Mà $\widehat {ACM} = 45^\circ$ nên $\widehat {MCK} = 90^\circ$ (vô lí).

Vậy $C{K^2} < \frac{{D{E^2}}}{4}$ (đpcm).

Gọi số lần tăng giá là x (lần) (mỗi lần tăng $10\,\,000$ đồng) $\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right).$

Giá vé mới là $160\,\,000 + 10\,\,000x$ (đồng)

Số vé bán được là $400 - 10x$ (người)

Doanh thu là

$$T = \left( {400 - 10x} \right)\left( {160\,\,000 + 10\,\,000x} \right)$$

$$\begin{array}{l} = 64\,\,000\,\,000 + 2\,\,400\,000x - 100\,\,000{x^2}\\ = - 100\,\,000\,\left( {{x^2} - 24x - 640} \right)\\ = - 100\,\,000\,\left[ {{{\left( {x - 12} \right)}^2} - 784} \right] \le 7\,8\,\,400\,\,000\end{array}$$

Giá trị lớn nhất của $T$ là $78\,\,400\,\,000$ khi $x = 12$

Do đó giá vé nên bán: $160\,000 + 12.10\,\,000\,\, = \,280\,\,000$ (đồng/vé).

Số vé bán: $400 - 10.12\, = \,280$ vé và doanh thu lớn nhất $7\,8\,\,400\,\,000$ đồng.

Vậy nhà hàng nên bán vé với mức giá $280\,\,000$ đồng/vé và bán 280 vé để doanh thu lớn nhất là $7\,8\,\,400\,\,000$ đồng.