Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 Trường THCS Ngô Gia Tự (Hà Nội) Tháng 4/2026 có đáp án

a) Số ngày cửa hàng thu được tiền lãi từ $1$ triệu $500$ nghìn đồng đến dưới $3$ triệu đồng là:

$12 + 20 + 15 = 47$ (ngày)

b) Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {1500;2000} \right)$ là: $\frac{{12}}{{60}}.100\% = 20\%$.

Có 10 kết quả có thể xảy ra, đó là: $I,\,II,\,3,\,IV,\,5,\,IV,\,VIII,\,9,\,7,\,X$.

Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố A, đó là: $I,\,II,\,IV,\,VIII,\,X,\,VI$.

Xác suất của biến cố A là: $P\left( A \right) = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}$.

a) Thay $x = 16$(thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức ta có

$A = \frac{5}{{\sqrt {16} + 3}} = \frac{5}{{4 + 3}} = \frac{5}{7}$

Vậy $A = 1$ khi $x = 16$.

b) $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{9\sqrt x + 9}}{{x - 9}}$$= \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{9\sqrt x + 9}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + 9\sqrt x + 9}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$$= \frac{{x - 3\sqrt x + 9\sqrt x + 9}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{{x + 6\sqrt x + 9}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$$= \frac{{{{\left( {\sqrt x + 3} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$$= \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}}$.

Vậy $B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}}$.

c) $P = A \cdot B = \frac{5}{{\sqrt x + 3}}.\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{5}{{\sqrt x - 3}}$.

Để $P$ nhận giá trị nguyên dương thì $\sqrt x - 3$ là ước nguyên dương của $5$.

TH1: $\sqrt x - 3 = 1$, suy ra $x = 16$ (thỏa mãn).

TH2: $\sqrt x - 3 = 5$, suy ra $x = 64$ (thỏa mãn).

Vậy $x = 16$ hoặc $x = 64$ thì $P$ nhận giá trị nguyên dương.

Gọi vận tốc của xe tải là $x\,(km/h,\,x > 0)$

Vận tốc của xe du lịch là: $x + 10\,(km/h)$.

Thời gian xe du lịch đi từ A đến khi gặp nhau là: $\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}\,\left( h \right)$.

Quãng đường xe du lịch đi từ A đến khi gặp nhau là: $\left( {x + 10} \right).\frac{3}{2} = 1{,}5x + 15\,\left( {km} \right)$.

Quãng đường xe tải đi được là: $1.x = x\,\left( {km} \right)$.

Theo đề bài ta có phương trình: $x + 1{,}5x + 15 = 90$

$$2{,}5x = 75$$

$x = 30$ (TMĐK).

Vậy vận tốc của xe tải là $30km/h$ và vận tốc xe du lịch là $30 + 10 = 40km/h$.

Gọi thời gian tấm pin A, tấm pin B một mình sạc đầy trạm lần lượt là $x,\,y\,\left( {h;\,\,\,x,y > 12} \right)$.

Một giờ tấm pin A sạc được là: $\frac{1}{x}$ (trạm)

Một giờ tấm pin B sạc được là: $\frac{1}{y}$ (trạm)

Vì hai tấm pin cùng sạc vào trạm tích điện thì sau $12$ giờ sẽ đầy trạm nên ta có phương trình:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\,\,\,\left( 1 \right)$$

Vì mở cả hai tấm cùng sạc trong $4$ giờ, sau đó tấm A bị mây che khuất nên ngừng hoạt động. Tấm B tiếp tục sạc một mình trong $20$ giờ nữa thì trạm mới đầy nên ta có phương trình:

$4\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) + \frac{{20}}{y} = 1\,$ hay $\frac{4}{x} + \frac{{24}}{y} = 1\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\\frac{4}{x} + \frac{{24}}{y} = 1\,\,\,\end{array} \right.$

$$\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{x} + \frac{4}{y} = \frac{1}{3}\\\frac{4}{x} + \frac{{24}}{y} = 1\,\,\,\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}x = 20\,\left( {t/m} \right)\\y = 30\,\left( {t/m} \right)\,\,\,\end{array} \right.$$

Vậy ngay từ đầu chỉ dùng tấm B thì sau 30 giờ sẽ đầy trạm.

Vì phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$, theo định lí Viète: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}.{x_2} = - m\,\,\,\left( 2 \right)\,\,\end{array} \right.$

Vì ${x_1}$ là nghiệm của phương trình nên: $\,{x_1}^2 - 3{x_1} - m = 0$ suy ra $\,{x_1}^2 = 3{x_1} + m$.

Theo đề bài $x_1^2 + 3{x_2} = 9$.

Suy ra $3{x_1} + m + 3{x_2} = 9$

$$3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + m = 9$$

$3.3 + m = 9$ suy ra $m = 0$.

Xét $P = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {3^2} - 2.\left( { - m} \right) = 9 - 0 = 9$.

a) Thể tích của lượng nước ban đầu có trong chiếc cốc là: $V = \pi {R^2}h \approx {3{,}14.3^2}.5 = 141{,}3(c{m^3})$

b) Thể tích của 6 viên bi hình cầu là: $V = 6.\frac{4}{3}.\pi .{r^3} \approx 6.\frac{4}{3}{.3{,}14.1^3} = 25{,}12(c{m^3})$

Vì thể tích của 6 viên bi hình cầu bằng thể tích của nước trong cốc dâng lên => thể tích của nước trong cốc dâng lên là $25{,}12(c{m^3})$.

Thể tích của lượng nước trong cốc sau khi thả $6$viên bi vào là: $141{,}3 + 25{,}12 = 166{,}42(c{m^3})$

Chiều cao của lượng nước trong cốc sau khi thả $6$viên bi vào là:

$\begin{array}{l}\pi .{R^2}.h = 166{,}42\\{3{,}14.3^2}.h = 166{,}42\\h = \frac{{53}}{9} \approx 5{,}89(cm)\end{array}$

Vậy chiều cao của mực nước trong cốc sau khi thả 6 viên bi khoảng $5{,}89cm$

a) Chứng minh bốn điểm $B,C,E,F$ cùng thuộc một đường tròn:

Xét $\Delta BEC$ vuông tại $E$ có $BC$ là cạnh huyền nên $B,C,E$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ + Xét $\Delta BFC$ vuông tại $F$ có $BC$là cạnh huyền nên $B,C,F$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ Do đó $B,C,E,F$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$

b) Chứng minh $KB.KC = KE.KF$ và $FB$ là tia phân giác của góc $KFD$.

Vì $B,C,E,F$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $BC$ nên $\widehat {FEB} = \widehat {FCB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $FB$).

Xét $\Delta KBE$ và $\Delta KFC$ có: $\widehat {BKF}$ chung; $\widehat {FEB} = \widehat {FCB}$(cmt)

Do đó $ΔKBE∽ΔKFC\text{(g.g)}$ suy ra $\frac{{KB}}{{KF}} = \frac{{KE}}{{KC}}$ nên $KB.KC = KE.KF$

Vì tứ giác $BCEF$ là tứ giác nội tiếp nên $\widehat {EFB} + \widehat {ECB} = 180^\circ$.

Mà $\widehat {EFB} + \widehat {KFB} = 180^\circ$ (kề bù) nên $\widehat {ECB} = \widehat {KFB}$ (3)

Xét $\Delta BDA$ và $\Delta BFC$ có: $\widehat {FBD}$ chung; $\widehat {BDA} = \widehat {BFC} = 90^\circ \,{\rm{(gt)}}$.

Do đó $ΔBDA∽ΔBFC\text{(g.g)}$

Suy ra $\frac{{BD}}{{BF}} = \frac{{BA}}{{BC}}$ nên $\frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BF}}{{BC}}$.

Xét $\Delta BFD$ và $\Delta BCA$ có: $\widehat {FBD}$ chung; $\frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BF}}{{BC}}$ (cmt)

Do đó $ΔBFD∽ΔBCA\text{(c.g.c)}$ suy ra $\widehat {ECB} = \widehat {BFD}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat {BFD} = \widehat {KFB}\,\,( = \widehat {ECB})$ nên $FB$ là tia phân giác của góc $KFD$.

c) Chứng minh đường thẳng $IF$ vuông góc với đường thẳng $MF$.

Gọi $FN$ là đường kình của $(I)$; $FB$ cắt $(I)$ tại $P$ nên $\widehat {FPN} = 90^\circ$.

Vì $\widehat {ACB} = \widehat {KFP}$ (cùng bù với $\widehat {BFE}$) (5)

Vì $\widehat {KPF} = \widehat {KDF}$ mà $\widehat {KDF} = \widehat {BAC}$ nên $\widehat {KPF} = \widehat {BAC}$(6)

Từ (5) và (6) nên suy ra $\widehat {PKF} = \widehat {ABC}$

Mà $\widehat {PKF} = \widehat {PNF}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $FP$ của $(I)$)

Suy ra $\widehat {FNP} = \widehat {FBC}$ và $\widehat {NPF} = \widehat {BFC} = 90^\circ$ nên

Suy ra $\widehat {NFP} = \widehat {BCF}$

Mà $\widehat {MFC} = \widehat {BCF}$ (vì $\Delta MFC$ cân tại $M$ có $MF = MC = \frac{{BC}}{2}$) nên $\widehat {NFP} = \widehat {MFC}$.

Do đó $FI$ vuông góc với đường thẳng $MF$.

Ta có gọi số xe ga và xe số cửa hàng nhập về lần lượt là $x;y$ (xe) $\left( {x,y \in \mathbb{N}*} \right).$

Vì tổng nhu cầu thị trường trong Quý I không vượt quá $70$ chiếc cho cả hai loại xe nên ta có

$x + y \le 70$

Vì số vốn ban đầu không vượt quá $1$ tỷ đồng ($= 1000$ triệu đồng) nên ta có $25x + 10y \le 1000$

hay $5x + 2y \le 200$

Lợi nhuận cửa hàng thu được là $L = 4x + 2y$ (triệu đồng)

Suy ra $3L = 12x + 6y = 2\left( {5x + 2y} \right) + 2\left( {x + y} \right) \le 2.200 + 2.70 = 540$. Do đó $L \le 180$

Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 70\\5x + 2y = 200\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 50\end{array} \right.$.

Vậy để lợi nhuận thu được lớn nhất thì cửa hàng cần nhập $20$ xe ga và $50$ xe số.