Lời giải Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 Trường THCS Nghĩa Mai (Nghệ An) có đáp án

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Tần số ghép nhóm của nhóm [8; 9) là 10

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [8; 9) là: $\frac{{10}}{{40}} \cdot 100\% = 25\%$

0.5

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

b) Số phần tử của không gian mẫu là: 10

Số phần tử thuận lợi của biến cố: “Trong 2 bạn trúng thưởng có bạn Xuân” là: 4

Xác suất của biến cố là: $\frac{{10}}{{40}} = \frac{2}{5}.$

0.25

Câu 3

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Câu 2 *(1,5 điểm)*	a) Tính giá trị của biểu thức: $A = \sqrt {12} + 3\sqrt {27} - 2\sqrt {75}$ .
Câu 2 *(1,5 điểm)*	Ta có $A = \sqrt {12} + 3\sqrt {27} - 2\sqrt {75} = \sqrt {4.3} + 3\sqrt {9.3} - 2\sqrt {25.3}$	0.25
Câu 2 *(1,5 điểm)*	$= 2\sqrt 3 + 9\sqrt 3 - 10\sqrt 3$ $= \sqrt 3$	0.25
Câu 2 *(1,5 điểm)*	b) Rút gọn biểu thức: $A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right).(1 + \frac{1}{{\sqrt x }})$ với $x > 0,x \ne 1$ ;
Câu 2 *(1,5 điểm)*	Với $x > 0,x \ne 1$ , ta có: $A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right).\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right) = \frac{{\sqrt x + 1 + \sqrt x - 1}}{{x - 1}}.\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$	0,25
Câu 2 *(1,5 điểm)*	$= \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} = \frac{2}{{\sqrt x - 1}}$	0,25
Câu 2 *(1,5 điểm)*	c) Có S = 39,2 và t = 2 thay vào $S = a{t^2}$ ta được 39,2 = a.4 suy ra a = 9,8	0,25
Câu 2 *(1,5 điểm)*	Thay a = 9,8 và t = 5 vào ta có S = 9,8.25 = 245 Vậy sau 5s vật rơi được 245m.	0,25

Câu 4

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Gọi số cử tri nữ và nam của tổ 7 lần lượt là là x và y $\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

Ta có: x + y = 1800

Lúc 9h, Số cử tri nữ đã bỏ phiếu là: 0,8x (cử tri)

Lúc 9h, Số cử tri nam đã bỏ phiếu là: 0,9x (cử tri)

Ta có: 0,8x+0,9y=1540

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x + y = 1800}\\{0{,}8{\rm{x}} + 0{,}9y = 1540}\end{array}} \right.$

Giải được x = 800; y = 1000 (tm)

Vậy số cử tri nữ và nam của tổ 7 lần lượt là 800 và 1000 cử tri

0,25

0,25

0,25

Câu 5

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Gọi lãi suất trong 1 năm cho vay của ngân hàng đó là $x{\rm{ }}\left( {0 < x < 1} \right)\,$

Ta có: Số tiền phải trả sau năm thứ nhất là: $500 + 500x$ (triệu đồng).

Số tiền phải trả sau năm thứ hai là:

$500 + 500x + \left( {500 + 500x} \right)x = 500{x^2} + 1000x + 500$ (triệu đồng).

Vì sau hai năm bác Bình An phải trả 605 triệu đồng nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}500{x^2} + 1000x + 500 = 605\\500{x^2} + 1000x - 105 = 0\end{array}$ .

Giải phương trình ta được ${x_1} = 0{,}1$ (thỏa mãn); ${x_2} = - 2{,}1$ (loại).

Vậy lãi suất mỗi năm của ngân hàng đó là $0{,}1 = 10\% .$

Câu 6

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

c) Phương trình có hai nghiệm theo Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 7 > 0\\{x_1}{x_2} = 4 > 0\end{array} \right.$ nên ${x_1};\,\,{x_2} > 0$

$A = \sqrt {{x_1} + \frac{{7{x_2} + 4}}{{{x_1}}}} + \sqrt {{x_2} + \frac{{7{x_1} + 4}}{{{x_2}}}} = \sqrt {\frac{{x_1^2 + 7{x_2} + 4}}{{{x_1}}}} + \sqrt {\frac{{x_2^2 + 7{x_1} + 4}}{{{x_2}}}}$

Vì ${x_1};\,\,{x_2}$ là nghiệm của phương trình nên $x_1^2 - 7{x_1} + 4 = 0;\,\,x_2^2 - 7{x_2} + 4 = 0$

Suy ra $x_1^2 + 4 = 7{x_1};\,\,x_2^2 + 4 = 7{x_2}$

Khi đó A = $\sqrt {\frac{{x_1^2 + 7{x_2} + 4}}{{{x_1}}}} + \sqrt {\frac{{x_2^2 + 7{x_1} + 4}}{{{x_2}}}} = \sqrt {\frac{{7{x_1} + 7{x_2}}}{{{x_1}}}} + \sqrt {\frac{{7{x_1} + 7{x_2}}}{{{x_2}}}}$

$= 7\left( {\frac{1}{{\sqrt {{x_1}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{x_2}} }}} \right) = 7\sqrt {\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} + \frac{2}{{\sqrt {{x_1}{x_2}} }}} = 7\sqrt {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} + \frac{2}{{\sqrt {{x_1}{x_2}} }}} = \frac{7}{2}\sqrt {11}$

0.25

Câu 7

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý


a) Hai tam giác BCE vuông tại E và tam giác BCF vuông tại F có chung cạnh huyền BC Do đó 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC. Vậy tứ giác BCEF nội tiếp.
b) Tứ giác BCEF nội tiếp nên $\widehat{CFE}=\widehat{EBC}\ (=\frac{1}{2}\text{sđ}\overset{\frown}{EC})$ . Tứ giác HFBD nội tiếp nên $\widehat{EBC}=\widehat{CFD}\ (=\frac{1}{2}\text{sđ}\overset{\frown}{HD})$ Suy ra $\widehat {CFE} = \widehat {CFD}$ nên $FC$ là tia phân giác của $\widehat {EFD}$ $\Delta DFE$ có FH là phân giác trong nên $\frac{{HI}}{{HE}} = \frac{{FI}}{{FE}}$ Do $FB \bot FH$ nên FB là phân giác ngoài của tam giác DFE Suy ra $\frac{{BI}}{{BE}} = \frac{{FI}}{{FE}}$ nên $\frac{{BI}}{{BE}} = \frac{{HI}}{{HE}}$ hay $BE \cdot HI = BI \cdot HE$
Tia EF cắt đường tròn (O) tại P . Chứng minh: $A{P^2} = 2AD.OM$ Tứ giác $BCEF$ nội tiếp nên $\widehat {BFE} + \widehat {BCA} = 180^\circ$ suy ra $\widehat {AFP} + \widehat {BCA} = 180^\circ$ Tứ giác $APBC$ nội tiếp nên $\widehat {APB} + \widehat {BCA} = 180^\circ$ suy ra $\widehat {AFP} = \widehat {APB}$ . Do đó $ΔABP∽ΔAPF\text{(g.g)}$ Suy ra $\frac{{AB}}{{AP}} = \frac{{AP}}{{FA}}$ nên $A{P^2} = AB.FA\,\,\,(1)$ Do đó $ΔAHF∽ΔABD\text{(g.g)}$ Suy ra $\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{FA}}{{AD}}$ nên $AB.FA = AD.AH$ (2) Từ (1), (2) suy ra $A{P^2} = AD.AH$ (3) Vẽ đường kính AK của (O) nên $BHCK$ là hình bình hành suy ra H, M, K thẳng hàng. Tam giác AHK có $OM$ là đường trung bình nên $AH = 2OM$ (4) Từ (3), (4) suy ra $A{P^2} = 2AD.OM$

Câu 8

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Bán kính của đường tròn đáy của hình trụ là: $S \approx 3{,}14 \cdot {R^2} = 12{,}56$ Suy ra ${R^2} = 4$ nên $R = 2\,\,{\rm{cm}}.$ Thể tích của hộp thực phẩm là: $V = 3{,}14 \cdot {R^2} \cdot h = 3{,}14 \cdot 4 \cdot 5 = 62{,}8\,\,\left( {c{m^3}} \right).$	0,5 0,5
Gọi x (cm, x > 0) là chiều dài cung tròn được ghép tạo thành hình nón. Suy ra đường tròn đáy của hình nón có độ dài là x (cm). Bán kính R của hình tròn sẽ trở thành đường sinh của hình nón. Gọi bán kính của đáy là r (cm, r > 0). Suy ra $2\pi r = x$ nên $r = \frac{x}{{2\pi }}$ . Chiều cao của hình nón là: $h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}}$ . Thể tích của hình nón là: $V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{\pi }{3}{\left( {\frac{2}{{2\pi }}} \right)^2}\sqrt {{R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}}$ . Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: ${V^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{9} \cdot \frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}} \cdot \frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}}\left( {{R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} \right) \le \frac{{4{\pi ^2}}}{9}{\left( {\frac{{\frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}} + {R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}{3}} \right)^3} = \frac{{4{\pi ^2}}}{9} \cdot \frac{{{R^6}}}{{27}}$ Do đó $V$ lớn nhất khi và chỉ khi $\frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}} = {R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}$ nên $x = 4\sqrt 6 \,\pi$ (cm)	0,25 0,25

a) Bán kính của đường tròn đáy của hình trụ là:

S \approx 3{,}14 \cdot {R^2} = 12{,}56

Suy ra

{R^2} = 4

nên

R = 2\,\,{\rm{cm}}.

Thể tích của hộp thực phẩm là:

V = 3{,}14 \cdot {R^2} \cdot h = 3{,}14 \cdot 4 \cdot 5 = 62{,}8\,\,\left( {c{m^3}} \right).

0,5 0,5

Gọi x (cm, x > 0) là chiều dài cung tròn được ghép tạo thành hình nón. Suy ra đường tròn đáy của hình nón có độ dài là x (cm). Bán kính R của hình tròn sẽ trở thành đường sinh của hình nón. Gọi bán kính của đáy là r (cm, r > 0). Suy ra

2\pi r = x

nên

r = \frac{x}{{2\pi }}

. Chiều cao của hình nón là:

h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}}

. Thể tích của hình nón là:

V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{\pi }{3}{\left( {\frac{2}{{2\pi }}} \right)^2}\sqrt {{R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}}

. Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

{V^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{9} \cdot \frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}} \cdot \frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}}\left( {{R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} \right) \le \frac{{4{\pi ^2}}}{9}{\left( {\frac{{\frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}} + {R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}{3}} \right)^3} = \frac{{4{\pi ^2}}}{9} \cdot \frac{{{R^6}}}{{27}}

Do đó

V

lớn nhất khi và chỉ khi

\frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}} = {R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}

nên

x = 4\sqrt 6 \,\pi

(cm)

0,25 0,25