Lời giải Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 Trường THCS Lý Sơn (Hà Nội) có đáp án

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

1)	a) Khối 9 trường THCS A có số học sinh tham gia thi khảo sát là: 10 + 22 + 52 + 100 + 80 = 264 (học sinh)	0,5
	b) Tần số ghép nhóm của nhóm $\left[ {6\,\,;\,\,8} \right)$ là: 100 Tần số tương đối nghép nhóm của nhóm $\left[ {6\,\,;\,\,8} \right)$ là: $\frac{{100.100\% }}{{264}} \approx 37{,}88\%$	0,25 0,25

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

2)

Không gian mẫu $\Omega = \left\{ {1\,\,;\,\,2\,\,;\,\,3\,;\,4\,\,;\,\,......\,\,;\,\,19\,\,;\,\,20} \right\}$ , có 20 phần tử,

suy ra: $n\left( \Omega \right) = 20$

Vì các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau nên các kết quả có thể xảy ra là đồng khả năng.

Có 8 kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Lấy được viên bi ghi số nguyên tố” là: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19. Suy ra: n(A)= 8

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left( A \right) = \frac{8}{{20}} = \frac{2}{5}$

0,25

Câu 3

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a)	Thay x = 9 (TMĐK) vào biểu thức A Tính được $A = \frac{3}{5}$ kết luận	0,25
b)	$B = \;\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)}} - \;\frac{{2.\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right).\;\left( {\sqrt x - 5} \right)}}} \right):\;\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}}$ $\left( {x\; \ge 0;x\; \ne 25;x\; \ne 4} \right)$ $B = \frac{{\sqrt x - \;2}}{{\sqrt x + 5}}.\;\frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 2}}$ $B = \frac{{\sqrt x - \;2}}{{\sqrt x + 2}}$ Vậy $B = \frac{{\sqrt x - \;2}}{{\sqrt x + 2}}$ với $x\; \ge 0;x\; \ne 25;x\; \ne 4$	0,25 0,25 0,25
c)	Ta có: $P = \;\frac{A}{{B\;}} = \;\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\;:\;\frac{{\sqrt x - \;2}}{{\sqrt x + 2}}\; = \;\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.\;\frac{{\sqrt x + \;2}}{{\sqrt x - 2}}$ nên $P = \;\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$ Để P không âm tức là $P\; \ge 0$ suy ra $\;\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\; \ge 0$ Lập luận xét hai trường hợp tìm được x = 0 (thỏa mãn hoặc $x > 4$ và $x \ne 25$	0,25 0,25

Câu 4

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Đổi 1,5 giờ = 90 phút

Gọi thời gian bạn Dũng chạy bộ và bơi ngày hôm nay thứ tự là x (phút) và y (phút) (ĐK: x ; y > 0)

Số calo bạn Dũng tiêu thụ cho chạy bộ là: 10x (calo)

Số calo bạn Dũng tiêu thụ cho bơi là: 15y (calo)

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 90\\10x + 15y = 1200\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình ta được: x = 30 (TMĐK) và y = 60 (TMĐK)

KL: Vậy bạn Dũng đã dành 30 phút ( $= \frac{1}{2}$ giờ) cho hoạt động chạy bộ và 60 phút (1 giờ) cho hoạt động bơi.

0,25

Câu 5

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

2

Gọi số bộ quần áo mỗi ngày xưởng phải may theo kế hoạch là $x$ (bộ quần áo) ĐK: $x \in {\mathbb{N}^*}$ .

Thời gian may xong $360$ bộ quần áo theo kế hoạch là $\frac{{360}}{x}$ (ngày)

Thực tế, mỗi ngày xưởng may được $x + 4$ (bộ quần áo)

Thời gian may xong $360$ bộ quần áo theo thực tế là $\frac{{360}}{{x + 4}}$ (ngày)

Vì xưởng đã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{{360}}{x} - \frac{{360}}{{x + 4}} = 1$

$\frac{{360\left( {x + 4} \right) - 360x}}{{x\left( {x + 4} \right)}} = 1$

$360x + 1440 - 360x = {x^2} + 4x$

${x^2} + 4x - 1440 = 0$

Giải phương trình được: ${x_1} = 36$ (thỏa mãn ĐK)

${x_2} = - 40$ (loại)

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may $36$ bộ quần áo.

0,25đ

Câu 6

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Ta thấy $\Delta = {\left( {m - 4} \right)^2} \ge 0$ với mọi m. Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cần $\Delta > 0$ , suy ra: $m \ne 4$ Theo định lý Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = m\,\,\,\,;\,\,\,{x_1}.{x_2} = 2m - 4$
Xét biểu thức: $\left\vert {{x_1}} \right\vert + \left\vert {{x_2}} \right\vert = 3\,\,$ ${\left( {\left\vert {{x_1}} \right\vert + \left\vert {{x_2}} \right\vert } \right)^2} = {3^2}\,\,$ $x_1^2 + x_2^2 + 2.\left\vert {{x_1}{x_2}} \right\vert = 9$ ${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 2\left\vert {{x_1}{x_2}} \right\vert = 9$ ${m^2} - 2\left( {2m - 4} \right) + 2\left\vert {2m - 4} \right\vert = 9$ () TH1: $2m - 4 \ge 0$ tức $m \ge 2$ , thu gọn () ta được m $^{2}$ = 9 Suy ra: m = - 3 (loại) và m = 3 (TMĐK) TH2: $2m - 4 < 0$ tức $m < 2$ , thu gọn (*) ta được m $^{2}$ – 8m + 7 = 0 Suy ra: m = 1 (TMĐK) và m = 7 (loại) Vậy $m \in \left\{ {1\,\,;\,\,3} \right\}$ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: $\left\vert {{x_1}} \right\vert + \left\vert {{x_2}} \right\vert = 3$ .

Ta thấy

\Delta = {\left( {m - 4} \right)^2} \ge 0

với mọi m. Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cần

\Delta > 0

, suy ra:

m \ne 4

Theo định lý Viète, ta có:

{x_1} + {x_2} = m\,\,\,\,;\,\,\,{x_1}.{x_2} = 2m - 4

Xét biểu thức:

\left\vert {{x_1}} \right\vert + \left\vert {{x_2}} \right\vert = 3\,\,

{\left( {\left\vert {{x_1}} \right\vert + \left\vert {{x_2}} \right\vert } \right)^2} = {3^2}\,\,

x_1^2 + x_2^2 + 2.\left\vert {{x_1}{x_2}} \right\vert = 9

{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 2\left\vert {{x_1}{x_2}} \right\vert = 9

{m^2} - 2\left( {2m - 4} \right) + 2\left\vert {2m - 4} \right\vert = 9

(*) *TH1:

2m - 4 \ge 0

tức

m \ge 2

, thu gọn (*) ta được m

^{2}

= 9 Suy ra: m = - 3 (loại) và m = 3 (TMĐK) *TH2:

2m - 4 < 0

tức

m < 2

, thu gọn (*) ta được m

^{2}

– 8m + 7 = 0 Suy ra: m = 1 (TMĐK) và m = 7 (loại) Vậy

m \in \left\{ {1\,\,;\,\,3} \right\}

thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn:

\left\vert {{x_1}} \right\vert + \left\vert {{x_2}} \right\vert = 3

.

Câu 7

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

1)	Ta có bán kính đáy hình trụ là: R = 3 cm. Khi đó thể tích nước trong ly là: $V = \pi .{R^2}.h = {3{,}14.3^2}.15 = 423{,}9\left( {c{m^3}} \right)$ .	0,25 0,25
1)	Mỗi quả cầu có bán kính r = 1 cm. Khi đó thể tích 5 quả cầu là $V' = 5.\frac{4}{3}.\pi .{r^3} = 5.\frac{4}{3}{.3{,}14.1^3} \approx 20{,}9\left( {c{m^3}} \right)$ . Vậy thể tích nước còn lại trong ly là: $V - V' \approx 403{,}0\left( {c{m^3}} \right)$	0,25 0,25

Câu 8

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

2)	Hình vẽ đúng hết câu a)	0,25
a)	Vì $AB \bot PQ$ tại D nên $\Delta IPD$ vuông tại D, suy ra ba điểm P, D, I cùng thuộc đường tròn đường kính PI (1)	0,25
a)	Xét đường tròn (O; R) có $\widehat {PMQ}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, nên: $\widehat {PMQ} = 90^\circ$ hay $\widehat {PMI} = 90^\circ$	0,25
a)	Suy ra $\Delta MIP$ vuông tại M, suy ra ba điểm P, M, I cùng thuộc đường tròn đường kính PI (2)	0,25
a)	Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm P, M, I, D cùng thuộc đường tròn đường kính PI.	0,25
b)
b)	Chứng minh: $ΔQID∽ΔQPM\text{(g.g)}$ . Từ đó suy ra: QI . QM = QD . QP* (1) Chứng minh: $ΔQDB∽ΔQBP\text{(g.g)}$ . Từ đó suy ra: QD . QP = QB $^{2}$* (2) Từ (1) và (2) suy ra: QI . QM = QB $^{2}$	0,25 0,25 0,25
b)	* Tính $\widehat {APB}$ Xét $\Delta OAD$ vuông tại D có: $OD = \frac{1}{2}.OQ = \frac{1}{2}.R$ Ta có: $\cos \widehat {AOD} = \frac{{OD}}{{OA}} = \frac{1}{2}$ nên $\widehat {AOD} = 60^\circ .$ Suy ra: $\widehat {AOB} = 120^\circ$ . Từ đó suy ra: $\widehat {APB} = 60^\circ$ .	0,25 0,25
c)	Chứng minh: $\Delta APB$ và $\Delta AMC$ là các tam giác đều Chứng minh: $\widehat {MAP} = \widehat {CAB}$ (cùng cộng với $\widehat {PAC}$ để bằng 60 $^{o}$ ) Chứng minh: $\Delta AMP = \Delta ACB\,(c - g - c)$ Từ đó ta có: MP = BC* mà MA = MC. Suy ra S = MP + MA = BC + MC = MB Do MB là dây cung nên MB có giá trị lớn nhất khi MB là đường kính của đường tròn (O ; R)	0,25 0,25

Câu 9

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Chiểu rộng của bể là: x mét (ĐK: x > 0)

Chiều dài của bể là: 2*x* mét

Chiều cao của bể là: h mét

Vì thể tích của bể là $4{\rm{ }}500{\rm{ }}{m^3}$ nên ta có: $h = \frac{{4500}}{{2{x^2}}} = \frac{{2250}}{{{x^2}}}\left( m \right)$

Diện tích cần xây dựng là:

$S = 2{x^2} + 6xh = 2{x^2} + 6x.\frac{{2250}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{13500}}{x} = 2\left( {{x^2} + \frac{{6750}}{x}} \right)$

$S = 2\left[ {{{\left( {x - 15} \right)}^2} + \left( {30x + \frac{{6750}}{x}} \right) - 225} \right]$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương 30x và $\frac{{6750}}{x}$ , từ đó chứng minh được:

$S \ge 1350$

Dấu “ = “ xảy ra khi: x = 15 (TMĐK)

Khi đó chi phí thấp nhất để bác Thìn có thể xây được bể là:

1350 . 520000 = 702 triệu đồng

0,25