Lời giải Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 Trường THCS Gia Quất (Hà Nội) Tháng 4/2026 có đáp án

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

	1đ
a) Số học sinh đạt điểm trong nhóm [6;8) là: $200 - (4 + 20 + 48 + 56) = 72$ (học sinh)	0,5
- Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {8;10} \right)$ là: $f = \frac{n}{N}.100\% = \frac{{56}}{{200}}.100\% = 28\% .$	0,5

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

2)	0,5đ
Không gian mẫu của phép thử là $\Omega = \left\{ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}...;{\rm{ 19;}}\,\,20} \right\}$ . Không gian mẫu có 20 phần tử. Vì các thẻ trong hộp là cùng loại nên các kết quả của phép thử là đồng khả năng. + Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố A là 3; 6; 9; 12	0,25
Xác suất của biến cố $A$ là $P\left( A \right) = \frac{4}{{20}} = \frac{1}{5}$	0,25

Câu 3

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

1		0,25đ
1	Thay $x = 64$ (TMĐK) vào biểu thức $A$ ta được $A = \frac{{\sqrt {64} - 2}}{{\sqrt {64} - 3}} = \frac{6}{5}$ Vậy khi $x = 64$ thì $A = \frac{6}{5}$	0,25
2		0,75đ
2	$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{3}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{9\sqrt x - 10}}{{4 - x}}\,\,(x\, \ge \,0,\,x\, \ne \,4,\,x\, \ne \,9)$ $B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{9\sqrt x - 10}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$ $B = \frac{{x + 2\sqrt x + 3\sqrt x - 6 - 9\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$ $B = \frac{{x - 4\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$	0,25 0,25
	$B = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$ $B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}$	0,25
3		0,5đ
3	$P = B:A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}:\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{{ - 5}}{{\sqrt x + 2}}$ Vì $x \ge 0$ nên $\sqrt x - 3 < \sqrt x + 2$ suy ra $P < 1$ $\left( 1 \right)$ Vì $x \ge 0$ nên $\sqrt x + 2 \ge 2$ suy ra $\frac{1}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \frac{{ - 5}}{{\sqrt x + 2}} \ge \frac{{ - 5}}{2}$ hay $1 + \frac{{ - 5}}{{\sqrt x + 2}} \ge 1 + \frac{{ - 5}}{2}$ Vậy $P \ge \frac{{ - 3}}{2}$ $\left( 2 \right)$ Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $\frac{{ - 3}}{2} \le P < 1$ mà $P \in \mathbb{Z}$ nên $P \in \left\{ { - 1;\,0} \right\}$	0,25
3	Nếu $P = 0$ thì $\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} = 0$ $\Rightarrow x = 9$ (loại). Nếu $P = - 1$ thì $\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} = - 1$ $\Rightarrow \sqrt x - 3 = - \sqrt x - 2$ $\Rightarrow 2\sqrt x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{4}(tm)$ Vậy $x = \frac{1}{4}$ là giá trị cần tìm.	0,25

Câu 4

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Gọi giá niêm yết của một chiếc bàn là và một chiếc quạt điện lần lượt là $x,y\,$ (nghìn đồng) với $0 < x < 850;\;0 < y < 850.$	0,25
Giá của một chiếc bàn là sau khi giảm giá 10% là: $x - 0{,}1x = 0{,}9x$ (nghìn đồng) Giá của một chiếc quạt điện sau khi giảm giá 20% là: $y - 0{,}2y = 0{,}8y$ (nghìn đồng) Vì giá niêm yết của một chiếc bàn là và một chiếc quạt điện có tổng số tiền $850\,\,000$ đồng nên ta có phương trình: $x + y = 850\,\,\,\left( 1 \right)$	0,25
Vì bác Minh đã trả ít hơn $125\,\,000$ đồng khi mua hai sản phẩm trên nên ta có phương trình: $0{,}9x + 0{,}8y = 850 - 125 = 725$ (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 850}\\{0{,}9x + 0{,}8y = 725}\end{array}} \right.$	0,25
Giải hệ phương trình, tìm được $(x;y) = (450;400)$ Vậy giá niêm yết một chiếc bàn là là: $450$ (nghìn đồng) giá niêm yết một chiếc quạt điện là: $400$ (nghìn đồng)	0,25

Câu 5

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là $x\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$ ĐK: $x > 4$ .	0,25
Khi đó vận tốc ca nô chạy xuôi dòng từ $A$ đến $B$ là: $x + 4\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$ . Vận tốc ca nô chạy ngược dòng từ $B$ đến $A$ là: $x - 4\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$ . Thời gian ca nô ca nô chạy xuôi dòng từ $A$ đến $B$ là: $\frac{{48}}{{x + 4}}$ giờ. Thời gian ca nô chạy ngược dòng từ $B$ đến $A$ là: $\frac{{48}}{{x - 4}}$ giờ.	0,25
Vì thời gian cả đi lẫn về hết $5$ giờ nên theo bài ra ta có phương trình: $\frac{{48}}{{x + 4}} + \frac{{48}}{{x - 4}} = 5$	0,25
$5{x^2} - 96x - 80 = 0$ Tìm được $\,{x_1} = 20$ (tmđk); ${x_2} = - \frac{4}{5}$ (loại) Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là $20\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$ .	0,25

Câu 6

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Tính được $\Delta$ = 8 – 4m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x $_{1}$ , x $_{2}$ :

$\begin{array}{l}\Delta > 0\\8 - 4m > 0\\m < 2\end{array}$

Với $m < 2$ phương trình có hai nghiệm phân biệt x $_{1}$ , x $_{2.}$

Theo định lý Viète, ta có: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1}.{x_2} = m - 1}\end{array}} \right.$

Ta có: $x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 12$

$\begin{array}{l}(x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2) - 3{x_1}{x_2} = 12\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = 12\\4 - 3(m - 1) = 12\\m = \frac{{ - 5}}{3}\,(tm)\end{array}$

Vậy $m = \frac{{ - 5}}{3}$

0,25

Câu 7

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Bán kính đáy của vỏ lon hình trụ là: $7:2 = 3{,}5\;(cm)$ Diện tích nhôm để làm vỏ lon nước là: ${S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi .3{,}5.7{,}8 + 2\pi {.3{,}5^2} = 79{,}1\pi \;\left( {c{m^2}} \right)$	0,25 0,25
Vỏ lon mẫu mới hình trụ có chiều cao $12{,}5\;cm$ và bán kính đáy $2{,}8\;cm$ nên diện tích nhôm để làm vỏ lon nước là: ${S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi .2{,}8.12{,}5 + 2\pi {.2{,}8^2} = 85{,}68\pi \;\left( {c{m^2}} \right)$ Vì $85{,}68\pi \; > 79{,}1\pi$ nên mẫu mới sử dụng nguyên liệu nhiều hơn.	0,5

Câu 8

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

Vẽ hình đúng đến câu a

a)

Ta có $CD \bot AB$ tại I nên $\widehat {KIB} = 90^\circ$
Vì $\Delta KIB$ vuông tại I nên ba điểm K, I, B thuộc đường tròn đường kính KB (1)

Xét (O) có $\widehat {AEB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra $\widehat {KEB} = 90^\circ$

$\Delta KEB$ vuông tại E nên ba điểm K, E, B thuộc đường tròn đường kính KB (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm K, E, B, I cùng thuộc đường tròn đường kính KB

b)

Chứng minh được K là trực tâm, suy ra $AP \bot BK$

Chỉ ra được điểm Q thuộc đường tròn (O)
Chỉ ra được: $\widehat {PEA} = \widehat {PQB} = 90^\circ$
Xét $\Delta PEA$ và $\Delta PQB$ có

$\widehat {QPB} = \widehat {EPA}$

$\widehat {PEA} = \widehat {PQB} = 90^\circ \,\,(cmt)$

Suy ra,
Do đó $\frac{{PE}}{{PQ}} = \frac{{PA}}{{PB}}$ hay $PA.PQ = PE.PB$ (đpcm).

c)

Xét $\Delta PEK$ vuông tại E có EJ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền PK nên JK = JE = JP
Suy ra cân tại J
Nên $\widehat {JPE} = \widehat {JEP}$
Vì $\Delta OEB$ cân tại O ( $OE = OB = R$ ) nên $\widehat {OBE} = \widehat {OEB}$
Xét $\Delta PIB$ vuông tại I có $\widehat {IBP} + \widehat {IPB} = 90^\circ$
Hay $\widehat {JPE} + \widehat {OBE} = 90^\circ$ suy ra $\widehat {JEO} = 90^\circ$
Vạy JE là tiếp tuyến của (O)

Chứng minh: $KM\,{\rm{//}}\,IF$

Hình minh hoạ

Gọi H là trực tâm $\Delta PQE$
Chứng minh tứ giác QHEK là hình bình hành
Suy ra K, M, H thẳng hàng
Chứng minh nên $\frac{{PI}}{{PF}} = \frac{{PA}}{{PE}}$
Chứng minh nên $\frac{{PK}}{{PH}} = \frac{{PA}}{{PE}}$
Suy ra $\frac{{PH}}{{PF}} = \frac{{PK}}{{PI}}$
Áp định lí Thalès đảo trong $\Delta PIF$ suy ra $KH\,{\rm{//}}\,IF$ hay $KM\,{\rm{//}}\,IF$ (đpcm)

Câu 9

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là $x$ (máy) Điều kiện $x > 0$ . Trong một giờ, số quả bóng pickleball sản xuất được là $40x$ (quả bóng) Như vậy, số giờ để sản xuất $100\,\,000$ quả bóng là $\frac{{10\,000}}{{40x}} = \frac{{250}}{x}$ (giờ) Mỗi giờ phải trả $160$ nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là $100$ nghìn đồng nên chi phí sản xuất là $100\,\,000x + \frac{{250}}{x}.160\,\,000 = 100\,\,000x + \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}$ (đồng) Chứng minh BĐT Cauchy: Cho hai số $a,b \ge 0$ , ta có $\begin{array}{l}{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\\a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0\\a + b \ge 2\sqrt {ab} \end{array}$ Dấu "=" xảy ra khi $a = b$	0,25
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $100\,\,000x$ và $\frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}$ , ta được: $100\,\,000x + \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x} \ge 2\sqrt {100\,\,000x.\frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}}$ $100\,\,000x + \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x} \ge 40\,\,000\,\,000$ Dấu "=" xảy ra khi $100\,\,000x = \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}$ $\begin{array}{l}{x^2} = \frac{{40\,\,000\,\,000\,}}{{100\,\,000}}\\{x^2} = 400\end{array}$ Suy ra $x = 20$ (TM) Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là $20$ máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.	0,25

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là

x

(máy) Điều kiện

x > 0

. Trong một giờ, số quả bóng pickleball sản xuất được là

40x

(quả bóng) Như vậy, số giờ để sản xuất

100\,\,000

quả bóng là

\frac{{10\,000}}{{40x}} = \frac{{250}}{x}

(giờ) Mỗi giờ phải trả

160

nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là

100

nghìn đồng nên chi phí sản xuất là

100\,\,000x + \frac{{250}}{x}.160\,\,000 = 100\,\,000x + \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}

(đồng) Chứng minh BĐT Cauchy: Cho hai số

a,b \ge 0

, ta có

\begin{array}{l}{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\\a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0\\a + b \ge 2\sqrt {ab} \end{array}

Dấu "=" xảy ra khi

a = b

0,25

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương

100\,\,000x

và

\frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}

, ta được:

100\,\,000x + \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x} \ge 2\sqrt {100\,\,000x.\frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}}

100\,\,000x + \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x} \ge 40\,\,000\,\,000

Dấu "=" xảy ra khi

100\,\,000x = \frac{{40\,\,000\,\,000}}{x}

\begin{array}{l}{x^2} = \frac{{40\,\,000\,\,000\,}}{{100\,\,000}}\\{x^2} = 400\end{array}

Suy ra

x = 20

(TM) Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là

20

máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

0,25