Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 THCS Hoàng Liệt (Hà Nội tháng 4/2026) có đáp án

a) Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {0{,}5;1} \right)$là:

$100\% - 50\% - 15\% - 5\% = 30\%$

b) Trong 100 khách hàng, số khách hàng chi tiêu không dưới 1 triệu đồng một ngày là:

$100.\left( {50\% + 30\% } \right) = 80$ (người)

Đáp số: a) 30% b) 80 người

Một hộp có 20 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số $1;2;3; \ldots ;20$hai thẻ khác nhau ghi hai số khác nhau, nên ta có $\Omega = \left\{ {1;2;3;...;20} \right\}$

Vậy số kết quả có thể xảy ra là $n(\Omega ) = 20$.

Các kết quả là đồng khả năng.

Tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố M là: $\{ 2{,}7{,}12{,}17\}$.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố là $n(M) = 4$.

Xác suất để lấy ra được một số nguyên tố là:

$P(M) = \frac{{n(M)}}{{n(\Omega )}} = \frac{4}{{20}} = \frac{1}{5}$

Đáp số: $\frac{1}{5}$.

a) Khi ta có $\sqrt x = \sqrt {\frac{1}{{16}}} = \frac{1}{4}$. Thay $x = \frac{1}{{16}}$(TMĐK) vào biểu thức $A$ ta có:

$A = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} + 3}}{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} }} = \frac{{\frac{{13}}{4}}}{{\frac{1}{4}}} = 13$

Vậy $A = 13$.

b) ${\rm{B}} = \left( {\frac{{x + 3}}{{x - 9}} + \frac{1}{{\sqrt x + 3}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }}$

$$= \left[ {\frac{{x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}} \right] \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }}$$

$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }}$
$= \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}$.
c) $T = A \cdot B = \left( {\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}} \right) \cdot \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}} \right) = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$

Vì $x > 0$, ta có $T > 1$, nên $2T > 0$và $5T > 0$.

$2T > \sqrt {5T}$:

$4{T^2} > 5T$

$4{T^2} - 5T > 0$

$T\left( {4T - 5} \right) > 0$

Do $T > 0$, ta phải có $4T - 5 > 0$

$T > \frac{5}{4}$

$\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} > \frac{5}{4}$

$1 + \frac{1}{{\sqrt x }} > \frac{5}{4}$

$\frac{1}{{\sqrt x }} > \frac{1}{4}$

$\sqrt x < 4$

$x < 16$

Kết hợp với điều kiện xác định $x > 0,x \ne 9$, ta có $0 < x < 16$và $x \ne 9$.

Giá trị nguyên lớn nhất của $x$thỏa mãn là $x = 15$.

Vậy $x = 15$.

Gọi số mét khối nước mỗi giờ máy bơm bơm được theo kế hoạch là $x$ (${{\rm{m}}^3}$, với $x \le 50$).

Theo kế hoạch thời gian để bơm đầy bể là: $\frac{{50}}{x}$ (giờ).

Người công nhân vận hành máy đã cho máy bơm hoạt động với công suất tăng thêm $5{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}$ nước mỗi giờ nên thực tế mỗi giờ máy bơm đã bơm được $x + 5$ (${{\rm{m}}^3}$)

Thời gian thực tế để bơm đầy bể là: $\frac{{50}}{{x + 5}}$ (giờ)

Đổi: 1 giờ 40 phút $= \frac{5}{3}$ giờ

Thực tế đã bơm đầy bể sớm hơn quy định là 1 giờ 40 phút nên ta có phương trình:

$\frac{{50}}{x} - \frac{{50}}{{x + 5}} = \frac{5}{3}$

$\frac{{10}}{x} - \frac{{10}}{{x + 5}} = \frac{1}{3}$

$10\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 5}}} \right) = \frac{1}{3}$

$\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 5}} = \frac{1}{{30}}$

$\frac{{x + 5 - x}}{{{x^2} + 5x}} = \frac{1}{{30}}$

Suy ra: ${x^2} + 5x - 150 = 0$

Suy ra: $x = 10$ (thoả mãn) hoặc $x = - 15$ (loại)

Vậy theo kế hoạch, mỗi giờ máy bơm bơm được 10 m$^{3}$nước.

Gọi $x$ (học sinh) là số học sinh lớp 9 đăng ký vào trường THPT Việt Ba năm học 2025 - 2026.

Gọi $y$ (học sinh) là số học sinh lớp 9 đăng ký vào trường THPT Ngô Thì Nhậm năm học 2025 - 2026.

(Điều kiện: $x,y \in \mathbb{N}{\rm{*}}$ và $x,y < 2000$)*

Tổng số học sinh đăng ký vào hai trường năm học 2025 - 2026 là 2000 em, ta có phương trình: $x + y = 2000\quad (1)$

Số học sinh dự kiến đăng ký vào năm học 2026 - 2027:

Trường Việt Ba tăng 20%, tức là: $x + 20\% x = 1{,}2x$

Trường Ngô Thì Nhậm tăng 15%, tức là: $y + 15\% y = 1{,}15y$

Tổng số học sinh cả hai trường năm 2026 - 2027 là 2360 em, ta có phương trình:
$1{,}2x + 1{,}15y = 2360\quad (2)$

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 2000}\\{1{,}2x + 1{,}15y = 2360}\end{array}} \right.$

Từ phương trình (1), ta rút ra: $y = 2000 - x$. Thay vào phương trình (2):

$1{,}2x + 1{,}15(2000 - x) = 2360$

$1{,}2x + 2300 - 1{,}15x = 2360$

$0{,}05x = 2360 - 2300$

$0{,}05x = 60$

$x = \frac{{60}}{{0{,}05}} = 1200$

Thay $x = 1200$ vào phương trình (1):

$1200 + y = 2000 \Rightarrow y = 800$

Đối chiếu với điều kiện, ta thấy $x = 1200$ và $y = 800$ đều thỏa mãn.

Vậy trong năm học 2025 - 2026:

Số học sinh đăng ký vào trường THPT Việt Ba là 1200 em.

Số học sinh đăng ký vào trường THPT Ngô Thì Nhậm là 800 em.

Phương trình (1): ${x^2} - (m + 1)x + m = 0$ có các hệ số: $a = 1,b = - (m + 1),c = m$.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$, ta cần điều kiện $\Delta > 0$:

$\Delta = {[ - (m + 1)]^2} - 4 \cdot 1 \cdot m = {m^2} + 2m + 1 - 4m = {m^2} - 2m + 1 = {(m - 1)^2}$

Để $\Delta > 0 \Rightarrow {(m - 1)^2} > 0 \Rightarrow m \ne 1$.

Theo định lý Vi-ét, ta có:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} + {x_2} = m + 1}\\{{x_1}{x_2} = m}\end{array}} \right.$

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm là:

$x = 1$ và $x = \frac{c}{a} = m$

Vì đề bài cho ${x_1} < {x_2}$, nên sẽ có hai trường hợp xảy ra:

TH1: ${x_1} = m,{x_2} = 1$ (khi $m < 1$)

TH2: ${x_1} = 1,{x_2} = m$ (khi $m > 1$)

Ta có bất phương trình: $x_1^2{x_2} - {x_1}x_2^2 - 2x_1^2 + 2x_2^2 > 0$

Nhóm các hạng tử để phân tích thành nhân tử:

$\left( {x_1^2{x_2} - {x_1}x_2^2} \right) + \left( {2x_2^2 - 2x_1^2} \right) > 0$

${x_1}{x_2}({x_1} - {x_2}) + 2({x_2} - {x_1})({x_2} + {x_1}) > 0$

$- {x_1}{x_2}({x_2} - {x_1}) + 2({x_2} - {x_1})({x_2} + {x_1}) > 0$

$({x_2} - {x_1}) \cdot \left[ { - {x_1}{x_2} + 2({x_1} + {x_2})} \right] > 0$

Vì theo giả thiết ${x_1} < {x_2} \Rightarrow {x_2} - {x_1} > 0$. Do đó, ta chỉ cần:

$- {x_1}{x_2} + 2({x_1} + {x_2}) > 0$

Thay ${x_1} + {x_2} = m + 1$ và ${x_1}{x_2} = m$ vào bất phương trình vừa rút gọn:

$- m + 2(m + 1) > 0$

$- m + 2m + 2 > 0$

$m + 2 > 0 \Rightarrow m > - 2$

Kết hợp với điều kiện ban đầu để có hai nghiệm phân biệt ($m \ne 1$):

Vậy giá trị $m$ cần tìm là $m > - 2$ và $m \ne 1$.

Một ly nước dạng hình trụ có chiều cao là 15 cm , đường kính đáy là 5 cm , lượng nước tinh

khiết trong ly cao 10 cm . Ly nước được đặt cố định trên mặt bàn bằng phẳng như hình vẽ bên.

a) Bán kinh đáy là: $r = 5:2 = 2{,}5{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Thể tích lượng nước tinh khiết được chứa trong ly là:

$${V_1} = \pi {r^2}.{h_1} \approx 3{,}14.2{,}5.10 = 78{,}5{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$$

Vậy thể tích lượng nước tinh khiết được chứa trong ly là $78{,}5{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}$.

b) Thể tích của ly nước hình trụ là:

$$V = \pi {r^2}.h \approx 3{,}14.2{,}5.15 = 117{,}75{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$$

Thể tích của 5 viên bi là:

$$117{,}75 - 78{,}5 = 39{,}25{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$$

Thể tích của mỗi viên bi là:

$$39{,}25:5 = 7{,}85{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$$

Vậy tích của mỗi viên bi là $7{,}85{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}$.

a) Vì $I$ là chân đường vuông góc kẻ từ $O$ đến đường thẳng $BC$

$\Rightarrow OI \bot BC$$\Rightarrow \widehat {SIO} = 90^\circ$$\Rightarrow \Delta SOI$ vuông tại $I$

$\Rightarrow 3$ điểm $S,O,I$ cùng thuộc đường tròn đường kính $SO$$\left( 1 \right)$

Vì $SA$ là tiếp tuyến tại của đường tròn $\left( O \right)$

$\Rightarrow SA \bot OA$$\Rightarrow \widehat {SAO} = 90^\circ$$\Rightarrow \Delta SAO$ vuông tại $A$

$\Rightarrow 3$ điểm $S,A,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $SO$$\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ bốn điểm $S,A,O,I$ cùng thuộc đường kính $SO$

Do đó tứ giác $SAOI$ là tứ giác nội tiếp.

Vậy tứ giác $SAOI$ là tứ giác nội tiếp.

b) Xét tứ giác nội tiếp $SAOI$ có:

$\widehat {SOA} = \widehat {SIA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn ) $\left( 3 \right)$

Xét $\Delta AOH$ vuông tại $H$, ta có:

$\widehat {OAH} + \widehat {SOA} = 90^\circ$ (Tổng ba góc trong tam giác) $\left( 4 \right)$

Xét $\Delta ADI$ vuông tại $D$, ta có:

$\widehat {IAD} + \widehat {SIA} = 90^\circ$ (Tổng ba góc trong tam giác) $\left( 5 \right)$

Từ $\left( 3 \right)$, $\left( 4 \right)$ và $\left( 5 \right)$ suy ra: $\widehat {OAH} = \widehat {IAD}$

Vậy $\widehat {OAH} = \widehat {IAD}$.

c) Xét $\Delta OBC$, ta có: $OB = OC = R$

$\Rightarrow \Delta OBC$ cân tại $O$

Mà $OI \bot BC$

$\Rightarrow OI$ là đường trung tuyến

$\Rightarrow I$ là trung điểm của $BC$

Xét $\Delta BCE$ ta có: $I$ là trung điểm của $BC$; $Q$ là trung điểm của $BE$

$\Rightarrow IQ$ là đường trung bình (định nghĩa)

$\Rightarrow IQ{\rm{ // }}CE$(tính chất)

Mà $CE \bot AB$

$\Rightarrow IQ \bot AB$ (từ vuông góc đến song song)

$\Rightarrow \widehat {BQI} = 90^\circ$

Xét $\Delta BAD$ và $\Delta BIQ$, ta có:

$\widehat {ABC}$ chung

$\widehat {ADB} = \widehat {BQI} = 90^\circ$

$\Rightarrow ΔBAD∽ΔBIQ$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{{BA}}{{BI}} = \frac{{BD}}{{BQ}}$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow BQ \cdot BA = BD \cdot BI$(đpcm)

Vì $\frac{{BA}}{{BI}} = \frac{{BD}}{{BQ}}$(cmt) $\Rightarrow \frac{{BQ}}{{BI}} = \frac{{BD}}{{BA}}$

Xét $\Delta BDQ$ và $\Delta BAI$, ta có:

$\widehat {ABC}$ chung

$\frac{{BQ}}{{BI}} = \frac{{BD}}{{BA}}$

$\Rightarrow ΔBDQ∽ΔBAI$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat {QAI} = \widehat {BDQ}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {KDC} = \widehat {BDQ}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat {QAI} = \widehat {KDC}$$\left( * \right)$

Ta có:

$\widehat {BAD} = 90^\circ - \widehat {ABC} = 90^\circ - \frac{1}{2}.\widehat {AOC} = 90^\circ - \frac{1}{2}.\left( {180^\circ - 2\widehat {OAC}} \right)$(vì $\Delta OAC$ cân tại $O$)$= \widehat {OAC}$

$\Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {BAD} + \widehat {IAD} = \widehat {OAC} + \widehat {OAH} = \widehat {KAC}$$\left( { * * } \right)$

Từ $\left( * \right)$ và $\left( { * * } \right)$$\Rightarrow \widehat {KDC} = \widehat {KAC}$

Gọi $M$ là giao điểm của $AK$ và $DC$

$\Rightarrow ΔDMK∽ΔAMC$

$\Rightarrow \frac{{MD}}{{MA}} = \frac{{MK}}{{MC}}$$\Rightarrow \frac{{MD}}{{MK}} = \frac{{MA}}{{MC}}$

$\Rightarrow \widehat {MDA} = \widehat {MKC} = 90^\circ$

$\Rightarrow AK \bot KC$

Mà $AK \bot SO$

$\Rightarrow CK{\rm{ // }}SO$ (từ vuông góc đến song song)

Vậy $BQ \cdot BA = BD \cdot BI$ và $CK{\rm{ // }}SO$.

Gọi $x$là số lần cửa hàng giảm giá 10 000 đồng (với $x$là số nguyên không âm).

Giá bán mỗi đôi ($P$): $P = 1\;500\;000 - 10\;000x$

Số lượng bán ra mỗi tháng ($Q$): $Q = 100 + 5x$

Chi phí nhập mỗi đôi ($C$): $C = 1\;100\;000$ đồng.

Số lượng bán ra không vượt quá 140 đôi: suy ra $x \le 8$

Lợi nhuận mỗi đôi: ${L_{pair}} = P - C = \left( {1\;500\,000 - 10\;000x} \right) - 1100\;000 = 400\;000 - 10\;000x$

Tổng lợi nhuận:

$$L\left( x \right) = L \cdot Q = \left( {400\,000 - 10\,000x} \right)\left( {100 + 5x} \right)$$

$L\left( x \right) = 10\,000\left( {40 - x} \right) \cdot 5\left( {20 + x} \right) = 50\,000\left( {40 - x} \right)\left( {20 + x} \right)$
$L\left( x \right) = 50{,}000\left( { - {x^2} + 20x + 800} \right)$

$L\left( x \right) = - 50\,000\left( {{x^2} - 20x + 100 - 900} \right)$

$L\left( x \right) = - 50\,000\left[ {{{\left( {x - 10} \right)}^2} - 900} \right]$

Vì ${\left( {x - 10} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x$ nên $L\left( x \right) \le 45\,000\,000$

Dấu “=” xảy ra khi $x = 10$

Mà $x \le 8$ suy ra $x = 8$

Giá bán 1 đôi giày là $P = 1\;500\;000 - 10\;000 \cdot 8 = 1\;500\;000 - 80\;000 = 1\;420\;000$

Vậy cửa hàng nên bán mỗi đôi giày với giá 1 420 000 đồng để đạt lợi nhuận lớn nhất.