Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 THCS Gia Quất - Ngọc Thụy (Hà Nội) tháng 4/2026 có đáp án

a) Số học sinh đạt điểm trong nhóm [6;8) là:

$200 - (4 + 20 + 48 + 56) = 72$(học sinh)

b) Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {8;10} \right)$ là: $f = \frac{n}{N}.100\% = \frac{{56}}{{200}}.100\% = 28\% .$

Không gian mẫu của phép thử là $\Omega = \left\{ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}...;{\rm{ 19;}}\,\,20} \right\}$. Không gian mẫu có 20 phần tử.

Vì các thẻ trong hộp là cùng loại nên các kết quả của phép thử là đồng khả năng.

Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố A là 3 ; 6 ; 9 ; 12

Xác suất của biến cố $A$ là $P\left( A \right) = \frac{4}{{20}} = \frac{1}{5}$

1) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 64.$

Thay $x = 64$ (TMĐK) vào biểu thức $A$ ta được: $A = \frac{{\sqrt {64} - 2}}{{\sqrt {64} - 3}} = \frac{6}{5}$

Vậy khi $x = 64$ thì $A = \frac{6}{5}$.

2) Chứng minh $B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}$

$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{3}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{9\sqrt x - 10}}{{4 - x}}\,\,(x\, \ge \,0,\,x\, \ne \,4,\,x\, \ne \,9)$

$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{9\sqrt x - 10}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$= \frac{{x + 2\sqrt x + 3\sqrt x - 6 - 9\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$$= \frac{{x - 4\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$= \frac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$$= \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}$.

Vậy $B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}$, $x\, \ge \,0,\,x\, \ne \,4,\,x\, \ne \,9\,$ (đpcm)

3) Tìm các giá trị của $x$ để biểu thức $P = B:A$ nhận giá trị nguyên.

Xét $P = B:A$ , $x\, \ge \,0,\,x\, \ne \,4,\,x\, \ne \,9\,$

$= \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}:\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}}$

$= \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{{ - 5}}{{\sqrt x + 2}}$

Vì $x \ge 0$$\Rightarrow$$\sqrt x \ge 0$ nên $\sqrt x + 2 > 0$, mà $- 5 < 0$ suy ra $\frac{{ - 5}}{{\sqrt x + 2}} < 0$

$\Rightarrow$$1 + \frac{{ - 5}}{{\sqrt x + 2}} < 1$

$P < 1$ $\left( 1 \right)$

Vì $x \ge 0$ $\Rightarrow$$\sqrt x \ge 0$ nên $\sqrt x + 2 \ge 2$ suy ra $\frac{1}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{{ - 5}}{{\sqrt x + 2}} \ge \frac{{ - 5}}{2}$

$1 + \frac{{ - 5}}{{\sqrt x + 2}} \ge 1 + \frac{{ - 5}}{2}$

$1 + \frac{{ - 5}}{{\sqrt x + 2}} \ge \frac{{ - 3}}{2}$

Vậy $P \ge \frac{{ - 3}}{2}$$\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $\frac{{ - 3}}{2} \le P < 1$ mà $P \in \mathbb{Z}$ nên $P \in \left\{ { - 1\,;\,\;0} \right\}$

Nếu $P = 0$ thì $\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} = 0$ $\Rightarrow x = 9$(loại).

Nếu $P = - 1$ thì $\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} = - 1$

$\Rightarrow \sqrt x - 3 = - \sqrt x - 2$

$2\sqrt x = 1$

$\sqrt x = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow x = \frac{1}{4}$ (thỏa mãn)

Vậy $x = \frac{1}{4}$ là giá trị cần tìm.

Gọi giá niêm yết của một chiếc bàn là và một chiếc quạt điện lần lượt là $x,y\,$(nghìn đồng) với $0 < x < 850;\;0 < y < 850.$

Vì giá niêm yết của một chiếc bàn là và một chiếc quạt điện có tổng số tiền $850\;000$đồng nên ta có phương trình: $x + y = 850\,\,$ $\left( 1 \right)$

Giá của một chiếc bàn là sau khi giảm giá 10% là: $x - 10\% x = x - 0{,}1x = 0{,}9x$(nghìn đồng)

Giá của một chiếc quạt điện sau khi giảm giá 20% là: $y - 20\% y = y - 0{,}2y = 0{,}8y$(nghìn đồng)

Vì bác Minh đã trả ít hơn $125\;000$ đồng khi mua hai sản phẩm trên nên ta có phương trình: $0{,}9x + 0{,}8y = 850 - 125 = 725$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 850}\\{0{,}9x + 0{,}8y = 725}\end{array}} \right.$

Giải hệ phương trình, tìm được $\left\{ \begin{array}{l}x = 450\\y = 400\end{array} \right.$

Vậy giá niêm yết một chiếc bàn là là: $450$(nghìn đồng).

Giá niêm yết một chiếc quạt điện là: $400$(nghìn đồng).

Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là $x\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$ ($x > 4$).

Vận tốc ca nô chạy xuôi dòng từ $A$ đến $B$ là: $x + 4\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$.

Vận tốc ca nô chạy ngược dòng từ $B$ đến $A$ là: $x - 4\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$.

Thời gian ca nô ca nô chạy xuôi dòng từ$A$ đến $B$ là: $\frac{{48}}{{x + 4}}$ giờ.

Thời gian ca nô chạy ngược dòng từ $B$ đến$A$ là: $\frac{{48}}{{x - 4}}$ giờ.

Vì thời gian cả đi lẫn về hết $5$ giờ nên theo bài ra ta có phương trình:

$$\frac{{48}}{{x + 4}} + \frac{{48}}{{x - 4}} = 5$$

$$\frac{{48\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} + \frac{{48\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{5\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}$$

$$\frac{{96x}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{5{x^2} - 80}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}$$

$$5{x^2} - 96x - 80 = 0$$

Tìm được$\,{x_1} = 20$ (tmđk); ${x_2} = - \frac{4}{5}$ (loại)

Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là $20\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$.

Cho phương trình ${x^2} - 2x{\rm{ + }}\,m - {\rm{ }}1 = 0$ ($m$là tham số).

Ta có:

$\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 4\,.\;1\,.\left( {m - 1} \right)$

$= 8 - 4m$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1}\,;\;{x_2}$ thì $\Delta > 0$

Hay $8 - 4m > 0$

$m < 2$ $\left( * \right)$

Với $m < 2$phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1}\,;\;{x_2}$

Theo định lý Vi-et, ta có: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1}.{x_2} = m - 1}\end{array}} \right.$

Ta có: $x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 12$

$(x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2) - 3{x_1}{x_2} = 12$

${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = 12$

$4 - 3\left( {m - 1} \right) = 12$

$m = - \frac{5}{3}$ (thỏa mãn $\left( * \right)$)

Vậy $m = - \frac{5}{3}$ thỏa mãn ycbt.

a) Tính diện tích nhôm để làm một vỏ lon nước.

Bán kính đáy của vỏ lon hình trụ là: $7:2 = 3{,}5$ (cm)

Diện tích nhôm để làm vỏ lon nước là:

${S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi \cdot 3{,}5 \cdot 7{,}8 + 2\pi \cdot {3{,}5^2} = 79{,}1\pi {\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}$

b) Vỏ lon mẫu mới hình trụ có chiều cao 12,5 cm và bán kính đáy 2,8 cm nên diện tích nhôm để làm vỏ lon nước là:

${S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi \cdot 2{,}8 \cdot 12{,}5 + 2\pi \cdot {2{,}8^2} = 85{,}68\pi {\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}$

Vì $85{,}68\pi > 79{,}1\pi$ nên mẫu mới sử dụng nguyên liệu nhiều hơn.

a) Có $CD \bot AB$ tại $I$ nên $\widehat {KIB} = {90^0}$

$\Delta KIB$ vuông tại $I$ nên ba điểm $K,B,I$thuộc đường tròn đường kính $KB$(1)

Xét $(O)$ có $\widehat {AEB} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow$ $\widehat {KEB} = {90^0}$

$\Delta KEB$ vuông tại $E$ nên ba điểm $K,E,B$thuộc đường tròn đường kính $KB$ (2)

Từ (1) (2) ta suy ra 4 điểm $K,{\rm{ }}E,{\rm{ }}B,{\rm{ }}I$ cùng thuộc đường tròn đường kính $KB$

b) Gọi $P$ là giao điểm của hai tia $BE$ và $DC$, $Q$ là giao điểm của $AP$ và $BK$. Chứng minh $AP \bot BK$ tại $Q$ và $PQ.PA = PE.PB$.

+) $\Delta ABP$ có 2 đường cao $PI;AE$cắt nhau tại $K \Rightarrow$$K$là trực tâm của tam giác $\Delta ABP$

$\Rightarrow$$AP \bot BK$tại $Q$ .

+) Có $\widehat {PQB} = {90^0}$ $\Rightarrow$$Q \in (O)$

Xét $\Delta PEA$ và $\Delta PQB$ có

$\widehat {QPB} = \widehat {EPA}$

$\widehat {PEA} = \widehat {PQB} = {90^0}$ (cmt)

Suy ra, $\Delta PEA\~\Delta PQB(g - g)$$\Rightarrow \frac{{PE}}{{PQ}} = \frac{{PA}}{{PB}}{\rm{ hay }}PA.PQ = PE.PB{\rm{ (dpcm)}}$

c) Chứng minh: $JE$là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$

Xét $\Delta PEK$ vuông tại $E$ có $EJ$là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $PK$nên $JK = JE = JP$

Suy ra $\Delta PJE$ cân tại $J$nên $\widehat {JPE} = \widehat {JEP}$

$\Delta OEB$ cân tại $O$ ($OE = OB = R$) nên $\widehat {OBE} = \widehat {OEB}$

Xét $\Delta PIB$ vuông tại $I$ có $\widehat {IBP} + \widehat {IPB} = {90^0}$

Hay $\widehat {JPE} + \widehat {OBE} = {90^0}$ suy ra $\widehat {JEO} = {90^0}$

Vậy $JE$ là tiếp tuyến của $(O)$

d) Chứng minh: $KM//IF$

Gọi $H$ là trực tâm $\Delta PQE$$\Rightarrow$$QH//KE$

Chứng minh tứ giác $QHEK$là hình bình hành (vì $QH//KE$; $QK//HE$)

Suy ra $K,M,H$thẳng hàng

Chứng minh $\Delta PIA\~\Delta PFE(g - g)$ nên $\frac{{PI}}{{PF}} = \frac{{PA}}{{PE}}$

Chứng minh $\Delta PHE\~\Delta PKA(g - g)$ nên $\frac{{PK}}{{PH}} = \frac{{PA}}{{PE}}$

Suy ra $\frac{{PH}}{{PF}} = \frac{{PK}}{{PI}}$

Áp định lí Thales đảo trong $\Delta PIF$ suy ra $KH//IF$ hay $KM//IF$ (đpcm)

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là $x$ (máy). Điều kiện: $x > 0$.

Trong một giờ, số quả bóng pickleball sản xuất được là $40x$ (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất $10\,000$ quả bóng là $\frac{{10\,000}}{{40x}} = \frac{{250}}{x}$ (giờ)

Mỗi giờ phải trả $160$ nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là $100$ nghìn đồng nên chi phí sản xuất là $100\,000x + \frac{{250}}{x}.160000 = 100\,000x + \frac{{40000000}}{x}$ (đồng)

+ Chứng minh BĐT Cauchy: Cho hai số $a,b \ge 0$, ta có

$\begin{array}{l}{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\\a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0\\a + b \ge 2\sqrt {ab} \end{array}$

Dấu "=" xảy ra khi $a = b$

+ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $100\,000x$ và $\frac{{40000000}}{x}$, ta được:

$\begin{array}{l}100\,000x + \frac{{40000000}}{x} \ge 2\sqrt {100\,000x.\frac{{40000000}}{x}} \\100\,000x + \frac{{40000000}}{x} \ge 4000\,000\end{array}$

Dấu "=" xảy ra khi $100\,000x = \frac{{40000000}}{x}$ nên ${x^2} = \frac{{40000000}}{{100\,000}}$ suy ra ${x^2} = 400$

Suy ra $x = 20$ (TM)

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là $20$ máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.