Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 THCS Chương Dương (Hà Nội) tháng 5/2026 có đáp án

Lập bảng:

Số học sinh có điểm từ $6{,}5$ điểm trở lên là $7 + 29 = 36$ (học sinh)

Xác suất của biến cố $A$: “Chọn được học sinh có điểm từ $6{,}5$ điểm trở lên” là $\frac{{36}}{{40}}.100\% = 90\%$

1) Thay $x = 8$ (TMĐK) vào biểu thức $A$, ta được:

$A = \frac{6}{{\sqrt 8 }} = \frac{6}{{2\sqrt 2 }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy khi $x = 8$ thì $A = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}$.

2) Với $x > 0\,,\,\,x \ne 1$, ta có:

$B = \frac{{2 - 4\sqrt x }}{{x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}$

$= \frac{{2 - 4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}$

$= \frac{{2 - 4\sqrt x + 2\left( {\sqrt x - 1} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{2 - 4\sqrt x + 2\sqrt x - 2 + x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$$= \frac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$.

Vậy với $x > 0\,,\,\,x \ne 1$ thì $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$.

3) Ta có: $P = A \cdot B = \frac{6}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{6}{{\sqrt x + 1}}$.

Vì $x > 0$ nên $\sqrt x > 0$ suy ra $\sqrt x + 1 > 1$, do đó $0 < \frac{6}{{\sqrt x + 1}} < \frac{6}{1} = 6$.

Suy ra $0 < P < 6$. Để $P$ là số nguyên tố thì $P$ có thể nhận các giá trị $2\,;\,\,3\,;\,\,5$.

• Với $P = 2$ thì $\frac{6}{{\sqrt x + 1}} = 2$ nên $\sqrt x + 1 = 3$ suy ra $\sqrt x = 2$, do đó $x = 4$ (TMĐK).

• Với $P = 3$ thì $\frac{6}{{\sqrt x + 1}} = 3$ nên $\sqrt x + 1 = 2$ suy ra $\sqrt x = 1$, do đó $x = 1$ (loại do $x \ne 1$).

• Với $P = 5$ thì $\frac{6}{{\sqrt x + 1}} = 5$ nên $\sqrt x + 1 = \frac{6}{5}$ suy ra $\sqrt x = \frac{1}{5}$, do đó $x = \frac{1}{{25}}$ (TMĐK).

Vậy $x \in \left\{ {4\,;\,\,\frac{1}{{25}}} \right\}$ thì $P$ có giá trị là số nguyên tố.

Gọi tử số của phân số cần tìm là $x$ $\left( {x \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vì tử số bé hơn mẫu số là 11 nên mẫu số là $x + 11$ (ĐK: $x \ne - 11$).

Phân số ban đầu là: $\frac{x}{{x + 11}}$.

Bớt tử số đi 7 đơn vị, ta được tử số mới là: $x - 7$.

Tăng mẫu số lên 4 đơn vị, ta được mẫu số mới là: $x + 11 + 4 = x + 15$ (ĐK: $x \ne - 15$).

Phân số mới là phân số nghịch đảo của phân số ban đầu nên ta có phương trình:

$\frac{{x - 7}}{{x + 15}} = \frac{{x + 11}}{x}$ (ĐK: $x \ne 0$)

$x\left( {x - 7} \right) = \left( {x + 15} \right)\left( {x + 11} \right)$

${x^2} - 7x = {x^2} + 26x + 165$

$33x = - 165$

$x = - 5$ (TMĐK).

Mẫu số là: $- 5 + 11 = 6$.

Vậy phân số cần tìm là $\frac{{ - 5}}{6}$.

Gọi số ngày chi đoàn dự kiến hoàn thành công việc là $x$ (ngày) $\left( {x > 1} \right)$.

Năng suất dự kiến mỗi ngày trồng được: $\frac{{600}}{x}$ (cây).

Thực tế hoàn thành sớm 1 ngày nên số ngày làm thực tế là: $x - 1$ (ngày).

Năng suất thực tế mỗi ngày trồng được: $\frac{{600}}{{x - 1}}$ (cây).

Vì mỗi ngày trồng nhiều hơn dự định 30 cây nên ta có phương trình:

$\frac{{600}}{{x - 1}} - \frac{{600}}{x} = 30$

$\frac{{20}}{{x - 1}} - \frac{{20}}{x} = 1$

$20x - 20\left( {x - 1} \right) = x\left( {x - 1} \right)$

$20x - 20x + 20 = {x^2} - x$

${x^2} - x - 20 = 0$

$\left( {x - 5} \right)\left( {x + 4} \right) = 0$

$x = 5$ (TMĐK) hoặc $x = - 4$ (loại).

Vậy số ngày chi đoàn dự kiến hoàn thành công việc là 5 ngày.

Phương trình: ${x^2} - \left( {2m + 1} \right)x - 3 = 0$ (*).

Ta có $a \cdot c = 1 \cdot \left( { - 3} \right) = - 3 < 0$.

Do đó, phương trình $(*)$ luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu ${x_1},{x_2}$ với mọi giá trị của $m$.

Theo đề bài ${x_1} < {x_2}$, mà hai nghiệm trái dấu nên ta có: ${x_1} < 0$ và ${x_2} > 0$.

Từ đó suy ra: $\left| {{x_1}} \right| = - {x_1}$ và $\left| {{x_2}} \right| = {x_2}$.

Theo yêu cầu bài toán: $\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| = 5$

$- {x_1} - {x_2} = 5$

$- \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 5$

${x_1} + {x_2} = - 5$ $(1)$

Theo định lý Viète, ta có: $(2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có: $2m + 1 = - 5$ hay $2m = - 6$ suy ra $m = - 3$.

Vậy để phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn bài toán thì cần tìm là $m = - 3$.

a) Thể tích hai nửa hình cầu là $\frac{4}{3}.\pi .{\left( {1{,}8:2} \right)^3} = 0{,}972\pi \left( {{m^3}} \right)$

Thể tích hình trụ là $\pi .{\left( {1{,}8:2} \right)^2}.3{,}62 = 2{,}9322\pi \left( {{m^3}} \right)$

Thể tích bồn chứa xăng là $0{,}972\pi + 2{,}9322\pi = 3{,}9042\pi \approx 12{,}2654\left( {{m^3}} \right)$

b) Diện tích mặt ngoài của hai nửa hình cầu là $4\pi .{\left( {1{,}8:2} \right)^2} = 3{,}24\pi \left( {{m^2}} \right)$

Diện tích xung quanh hình trụ là $2\pi .\left( {1{,}8:2} \right) = 1{,}8\pi \left( {c{m^2}} \right)$

Diện tích cần sơn tĩnh điện là $3{,}24\pi + 1{,}8\pi = 5{,}04\pi \left( {{m^2}} \right)$

Họ cần trả số tiền là $5{,}04.\pi .150\,000 \approx 2\,375\,044$ (đồng)

a) Chứng minh năm điểm $M,A,N,O,B$ cùng thuộc một đường tròn và $NM$ là tia phân giác của $\widehat {ANB}$.
Ta có hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ với đường tròn $\left( O \right)$ ( $A,B$ là các tiếp điểm) nên $MA \bot OA\,;\,\,MB \bot OB$

Ta cũng có $ON \bot CD$ tại $N$ (GT)

$\Delta AMO$ vuông tại $A$ nên các điểm $M,A,O$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $MO$.

$\Delta BMO$ vuông tại $B$ nên các điểm $M,O,B$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $MO$.

$\,\Delta NMO$ vuông tại $N$ nên các điểm $M,N,O$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $MO$.
Do đó các điểm $M,A,N,O,B$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $MO$.
Ta có $\widehat {MAB} = \widehat {MBA}$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
Ta có $\widehat {MAB} = \widehat {MNB}$ ( 2 góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Ta có $\widehat {MBA} = \widehat {MNA}$ ( 2 góc nôi tiếp cùng chắn môt cung)
Do đó $\widehat {MNB} = \widehat {MNA}$

Nên $NM$ là tia phân giác của $\widehat {ANB}$

b) Chứng minh: $NI\;{\rm{.}}\;NM = NA\;{\rm{.}}\;NB = N{D^2}$.
Xét $\Delta AMN$ và $\Delta IBN$ có

$\widehat {MNB} = \widehat {MNA}$ (chứng minh trên); $\widehat {AMN} = \widehat {IBN}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AN$)

Do đó
$\Rightarrow \frac{{NA}}{{NI}} = \frac{{NM}}{{NB}}$(tỉ số các cạnh tương ứng) $\Rightarrow NI\;{\rm{.}}\;NM = NA\;{\rm{.}}\;NB$

Ta có $\widehat {ANB} = \widehat {AOB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$)

Mà $NM$ là tia phân giác của $\widehat {ANB}$ nên $\widehat {ANM} = \frac{1}{2}\widehat {ANB}$
Do đó $\widehat {ANM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \widehat {AEB}$

$\Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,BE \Rightarrow \widehat {NDB} = \widehat {DBE}$ (so le trong)
Ta lại có $\widehat {DAN} = \widehat {DBE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $DE$)

Do đó $\widehat {DAN} = \widehat {BDN} = \left( {\widehat {DBE}} \right)$
Mặt khác $\widehat {AND} + \widehat {ANM} = 180^\circ$ (kề bù); $\widehat {BND} + \widehat {BNM} = 180^\circ$ (kề bù)

Mà $\widehat {ANM} = \widehat {BNM}$ (chứng minh trên) nên $\widehat {AND} = \widehat {DNB}$.

Do đó

$\Rightarrow \frac{{NA}}{{ND}} = \frac{{ND}}{{NB}}$ (tỉ số các cạnh tương ứng)

$\Rightarrow NA\;{\rm{.}}\;NB = N{D^2}$

Ta có $NM$ là tia phân giác của $\widehat {ANB}$ (chứng minh trên)

Mà $NI\;{\rm{.}}\;NM = NA\;{\rm{.}}\;NB$ (chứng minh trên) nên $NI\;{\rm{.}}\;NM = NA\;{\rm{.}}\;NB = N{D^2}$.
c) Chứng minh $IK\,{\rm{//}}\,AC$.

$\Delta OCD$ cân tại $O$ (vì $OC = OD$) nên đường cao $ON$ cũng là đường trung tuyến.

Do đó $NC = ND$
Theo chứng minh câu b) có $NI\;{\rm{.}}\;NM = N{D^2} = N{C^2} \Rightarrow \frac{{NI}}{{NC}} = \frac{{NC}}{{NM}}$
Ta có $CK \bot AO\,;\,\,AM \bot AO$ nên $CK\,{\rm{//}}\,MA \Rightarrow \frac{{NC}}{{NM}} = \frac{{NK}}{{NA}}$ (định lí Thales)

$\Rightarrow \frac{{NI}}{{NC}} = \frac{{NK}}{{NA}}$

$\Rightarrow IK\,{\rm{//}}\,AC$ (định lí Thales đảo).

Gọi $x,y$ lần lượt là vận tốc của robot ở đoạn đường dài $8m$ và đoạn đường dài $18m$ để mức tiêu hao năng lượng của robot là thấp nhất.

ĐK: $x > 0;y > 0;x + y \le 5$ Đơn vị: m/s

Hao phí động cơ là $x + y$ (m/s)

Hao phí điều khiển là $\frac{8}{x} + \frac{{18}}{y}$ (s)

Mức tiêu hao năng lượng là $x + y + \frac{8}{x} + \frac{{18}}{y}$

Ta có: $x + y + \frac{8}{x} + \frac{{18}}{y} = \left( {\frac{8}{x} + 2x} \right) + \left( {\frac{{18}}{y} + 2y} \right) - \left( {x + y} \right)$

Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương ta có:

$\begin{array}{l}\frac{8}{x} + 2x \ge 2\sqrt {\frac{8}{x}.2x} = 8;\,\\\frac{{18}}{y} + 2y \ge 2\sqrt {\frac{{18}}{y}.2y} = 12;\end{array}$

Từ $x + y \le 5$ suy ra $- \left( {x + y} \right) \ge - 5$

Từ đó suy ra: $\left( {\frac{8}{x} + 2x} \right) + \left( {\frac{{18}}{y} + 2y} \right) - \left( {x + y} \right) \ge 8 + 12 - 5 = 15$

Dấu “=” xảy ra khi $x = 2;y = 3$ (thoả mãn)

Vậy để mức tiêu hao năng lượng của robot là thấp nhất thì vận tốc của robot ở đoạn đường dài $8m$ và đoạn đường dài $18m$ lần lượt là $2$ (m/s) và $3$ (m/s).