Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 Phường Vĩnh Tuy (Hà Nội) tháng 4/2026 có đáp án

a) Bảng tần số ghép nhóm là:

b) Tần số tương đối của nhóm $\left[ {50;55} \right)$ là: $\frac{5}{{40}}.100\% = 12{,}5\%$

$n\left( \Omega \right) = 30$

Gọi $\overline A$ là biến cố “ không lấy được quả bóng màu đỏ nào” thì $n\left( {\overline A } \right) = 12$ nên $P\left( {\overline A } \right) = \frac{{12}}{{30}}$$= 0{,}4$

Suy ra $P\left( A \right) = 1 - 0{,}4$$= 0{,}6$.

a) Thay $x = 16$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$:

$A = \frac{{\sqrt {16} + 3}}{{\sqrt {16} - 2}}$$= \frac{{4 + 3}}{{4 - 2}}$$= \frac{7}{2}$

Vậy $A = \frac{7}{2}$ khi $x = 16$.

b) $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{2}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{7\sqrt x + 3}}{{x - 9}}$

$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{2}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{7\sqrt x + 3}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}}$

$B = \frac{{\sqrt x (\sqrt x - 3) + 2(\sqrt x + 3) + 7\sqrt x + 3}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}}$

$B = \frac{{x - 3\sqrt x + 2\sqrt x + 6 + 7\sqrt x + 3}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}} = \frac{{x + 6\sqrt x + 9}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}}$

$B = \frac{{{{(\sqrt x + 3)}^2}}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}} = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}}$

c) $M = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}}:\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 3}}$

$M$ có giá trị lớn nhất khi $1 + \frac{1}{{\sqrt x - 3}} > 0$

$\frac{1}{{\sqrt x - 3}} > 0$

$\sqrt x - 3 > 0$

$\sqrt x > 3$

$x > 9$

Mà $x$ là số nguyên $\Rightarrow x \ge 10$

Kết hợp đkxđ $\Rightarrow x \ge 10$

Với mọi $x$ thỏa mãn ta có: $\sqrt x - 3 \ge \sqrt {10} - 3$

$\Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x - 3}} \le \frac{1}{{\sqrt {10} - 3}}$

$\Rightarrow 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 3}} \le 1 + \frac{1}{{\sqrt {10} - 3}} = 4 + \sqrt {10}$.

Dấu “=’ xảy ra khi $x = 10$(TM)

Vậy $x = 10$ để $M$ có giá trị lớn nhất

Đổi $350$ nghìn đồng $= 0{,}35$ triệu đồng, $1{,}38$ tỉ đồng$= 1380$ triệu đồng

Gọi số áo sơ mi trung bình mỗi tháng một doanh nghiệp đó bán được là $x$ (chiếc áo) ($x \in {\mathbb{N}^*}$)

Sau một tháng doanh nghiệp thu được số tiền sau khi bán được $x$ chiếc áo là: $0{,}35x$ (nghìn đồng)

Lợi nhuận doanh nghiệp đó thu được sau một năm là:

$12.\left( {0{,}35x - 410} \right) = 4{,}2x - 4920$ (triệu đồng)

Theo đề bài ta có bất phương trình:

$4{,}2x - 4920 \ge 1380$

$4{,}2x \ge 6300$

$x \ge 1500$

Mà $x \in {\mathbb{N}^*}$, $x$ nhỏ nhất

$\Rightarrow x = 1500$ (TM)

Vậy mỗi tháng doanh nghiệp đó cần bán được ít nhất $1500$ chiếc áo.

Gọi năng suất dự định là $x$ (sản phẩm/ngày, $x > 0$).

Thời gian dự định hoàn thành công việc là: $\frac{{600}}{x}$ (ngày).

Năng suất làm việc trên thực tế là $x + 10$ (sản phẩm/ngày).

Tổng sản phẩm thực tế doanh nghiệp đã làm được là: $600 + 100 = 700$ (sản phẩm).

Thời gian thực tế hoàn thành công việc là: $\frac{{700}}{{x + 10}}$ (ngày)

Theo đề bài ta có phương trình:

$\frac{{600}}{x} - \frac{{700}}{{x + 10}} = 1$

$600(x + 10) - 700x = x(x + 10)$.

${x^2} + 110x - 6000 = 0$

$\left( {x - 40} \right)\left( {x + 150} \right) = 0$

$\left[ \begin{array}{l}x = 40 & (TM)\\x = - 150\,\,(KTM)\end{array} \right.$

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày cơ sở sản xuất phải làm $40$ sản phẩm.

${x^2} - 4x + 2m + 1 = 0$

$\Delta ' = {2^2} - (2m + 1) = 3 - 2m$

Để có 2 nghiệm phân biệt: $\Delta ' > 0$$\Rightarrow 3 - 2m > 0$$\Rightarrow m < \frac{3}{2}$.

Theo Vi-ét: ${x_1} + {x_2} = 4$ và ${x_1}{x_2} = 2m + 1$.

Theo đề bài ta có: $x_1^2 + ({x_1} + {x_2}){x_2} = 4{m^2} + 3$

$x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2 = 4{m^2} + 3$$\Rightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - {x_1}{x_2} = 4{m^2} + 3$

${4^2} - (2m + 1) = 4{m^2} + 3$$\Rightarrow 15 - 2m = 4{m^2} + 3$

$4{m^2} + 2m - 12 = 0$$\Rightarrow 2{m^2} + m - 6 = 0$

$\left( {m + 2} \right)\left( {2m - 3} \right) = 0$

$\left[ \begin{array}{l}m = - 2\,(TM)\\m = \frac{3}{2}\,(KTM)\end{array} \right.$

Vậy $m = - 2$.

a) Thể tích nước trong cốc chính là thể tích của khối trụ có bán kính đáy $r = 3\;{\rm{cm}}$ và chiều cao mực nước ${h_n} = 12{\rm{ cm}}$.

${V_{nuoc}} = \pi .{r^2}.{h_n}$$= {3{,}14.3^2}.12$$= 3{,}14.9.12$$= 339{,}12\left( {{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$

b) Thể tích tối đa của cốc là: ${V_{coc}} = \pi .{r^2}.h$$= {3{,}14.3^2}.15$$= 423{,}9{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$

Thể tích của 3 viên bi là: ${V_{bi}} = 3 \cdot \left( {\frac{4}{3}\pi {R^3}} \right)$$= {4.3{,}14.2^3}$$= 4.3{,}14.8$$= 100{,}48{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$

Tổng thể tích nước và bi là: ${V_{nuoc}} + {V_{bi}} = 339{,}12 + 100{,}48 = 439{,}6{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$

Vì $439{,}6 > 423{,}9$ nên nước có bị tràn ra ngoài.

Thể tích nước tràn ra là: $439{,}6 - 423{,}9 = 15{,}7{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$

a) Chứng minh bốn điểm $A$, $F$, $H$, $E$ cùng thuộc một đường tròn.

* Vì $BE$ là đường cao của $\Delta ABC$ nên $BE \bot AC$

$\Rightarrow \widehat {AEH} = 90^\circ$ hay $\Delta AEH$ vuông tại $E$

suy ra ba điểm $A$, $E$, $H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$ $\left( 1 \right)$

* Vì $CF$ là đường cao của $\Delta ABC$ nên $CF \bot AB$

$\Rightarrow \widehat {AFH} = 90^\circ$ hay $\Delta AFH$ vuông tại $F$

suy ra ba điểm $A$, $F$, $H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra bốn điểm $A$, $F$, $H$, $E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$

b) Chứng minh $AD.AM = AB.AC$.

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {ACM} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ).

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AMC$ có:

$\widehat {ADB} = \widehat {ACM} = 90^\circ$

$\widehat {ABD} = \widehat {AMC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$)

$\Rightarrow ΔABD∽ΔAMC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AM}}$ (cạnh tương ứng)

$\Rightarrow AD.AM = AB.AC$ (đpcm).

c) Chứng minh các điểm $H$, $K$, $M$ thẳng hàng và $PI{\rm{//}}HK$.

* Chứng minh $H$, $K$, $M$ thẳng hàng.

Ta có $CH{\rm{//}}BM$ (cùng vuông góc với $AB$).

$BH{\rm{//}}CM$ (cùng vuông góc với $AC$)

⇒ Tứ giác $BHCM$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Do $K$ là trung điểm của đường chéo $BC$, nên $K$ cũng phải là trung điểm của đường chéo $HM$. Vậy $H$, $K$, $M$ thẳng hàng (đpcm).

* Chứng minh $PI{\rm{//}}HK$.

Ta có $\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}$ (cùng chắn cung $MC$)

$\widehat {{E_1}} = \widehat {ABC}$ (cmt)

Nên $\widehat {{A_1}} + \widehat {{E_1}} = \widehat {{B_1}} + \widehat {ABC} = \widehat {ABM} = 90^\circ$

Trong $\Delta AJE$ có $\widehat {{A_1}} + \widehat {{E_1}} = 90^\circ$ nên $\widehat {AJE} = 90^\circ$ hay $EF \bot AM$

Xét $\Delta AJE$ và $\Delta ACM$có:

${\hat A_1}$ chung.

$\widehat {AJE} = \widehat {ACM} = 90^\circ$

$\Rightarrow ΔAJE∽ΔACM$ (g.g).

$\Rightarrow \frac{{AJ}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AM}}$ (cạnh tương ứng)

$\Rightarrow AJ.AM = AE.AC$ (1)

Xét $\Delta AEH$ và $\Delta ADC$có

$\widehat {HAE}$chung.

$\widehat {AEH} = \widehat {ADC} = 90^\circ$

$\Rightarrow ΔAEH∽ΔADC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}}$ (cạnh tương ứng)

$\Rightarrow AH.AD = AE.AC$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow AD \cdot AH = AJ \cdot AM$$\Rightarrow \frac{{AJ}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AM}}$ $\left( 3 \right)$

Xét $\Delta APJ$ và $\Delta AID$ có:

$\widehat {{A_2}}$ chung; $\widehat J = \widehat D = 90^\circ$

$\Rightarrow ΔAPJ∽ΔAID$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{{AJ}}{{AD}} = \frac{{AP}}{{AI}}\,\,\,\left( 4 \right)$

Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ ta có $\frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AM}}$

$\Rightarrow PI{\rm{//}}HM$ (Thales đảo)

hay $PI{\rm{//}}HK$

Số lượng hộp quả táo, hộp quả cam và hộp quả quýt nhập về được ký hiệu lần lượt là $x$,$\,y$,$\,z$

($x$,$y$,$z \in \mathbb{N}$,$x \ge 1$,$y \ge 1$,$z \ge 1$).

Chi phí nhập mỗi hộp táo là $100\,\,000$ đồng, mỗi hộp quả cam là $200\,\,000$ đồng; mỗi hộp quả quýt là $100\,\,000$đồng và tổng chi phí nhập không được vượt quá $1\,\,000\,\,000$ đồng nên ta có :

$100{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 000x + 200{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 000y + 100{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 000z \le 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 000$ suy ra $x + 2y + z \le 10$.

Cửa hàng cần nhập ít nhất $3$ hộp quả táo và cam cộng lại suy ra $x + y \ge 3$.

Lợi nhuận (lãi) thu về từ việc bán mỗi loại trái cây là $200\,\,000$ đồng cho mỗi hộp quả táo, $300\,\,000$đồng cho mỗi hộp quả cam và $100\,\,000$ cho mỗi hộp quả quýt nên ta có biểu thức

$S = 2x + 3y + z$ (trăm nghìn đồng).

$S = 2x + 3y + z$$= \left( {x + 2y + z} \right) + \left( {x + y} \right)$

$\Rightarrow S \le 10 + \left( {x + 2y + z} \right) - y - z$

$S \le 10 + 10 - 1 - 1 = 18$ (do $\,y \ge 1$$\Rightarrow - y \le - 1;\,\,z \ge 1$$\Rightarrow - z \le - 1$)

Dấu “=” xảy ra khi $y = z = 1$; $x = 7$.

Người bán hàng có được lợi nhuận cao nhất khi nhập $7$ hộp táo, $1$ hộp cam và $1$ hộp quýt.