Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 Cụm Chuyên môn số 14 Tháng 4/2026 có đáp án

a) Số học sinh đạt từ điểm $5$ trở lên là: $6 + 12 + 21 = 39$ (học sinh).

b) Tỉ số phần trăm giữa số học sinh đạt từ điểm $8$ trở lên với tổng số học sinh là:

$\frac{{21.100}}{{40}}$% $= 52{,}5$%

Không gian mẫu của phép thử: “Gieo con xúc xắc một lần” là $\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}$.

Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là $6$.

Kết quả thuận lợi của biến cố A: $\left\{ {4;6} \right\}$.

Số kết quả thuận lợi của biến cố A: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là hợp số” là $2$.

Xác suất của biến cố A là $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

1) Tính giá trị biểu thức $A$ tại $x = 16$.

Thay $x = 16$ (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức $A$, ta được:

$A = \frac{{\sqrt {16} - 3}}{{\sqrt {16} }}$$= \frac{{4 - 3}}{4} = \frac{1}{4}$.

Vậy khi $x = 16$ thì giá trị của biểu thức $A$ bằng $\frac{1}{4}$.

2) Chứng minh $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$.

$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{2}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x + 4}}{{x - 4}}$

$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{2\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$$= \frac{{x - 2\sqrt x - \left( {2\sqrt x + 4} \right) + 2\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$$

$= \frac{{x - 2\sqrt x - 2\sqrt x - 4 + 2\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$$= \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)\,}}$

$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$$= \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$ (đpcm).

3) Tìm $x$ để $\sqrt {A \cdot B} < \frac{2}{3}$.

$A \cdot B = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}}$

$\sqrt {A \cdot B} < \frac{2}{3}$

Để căn thức có nghĩa, ta cần $A \cdot B \ge 0$ nên $\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} \ge 0$

Vì $\sqrt x + 2 > 0$ với mọi $x > 0$, nên ta cần $\sqrt x - 3 \ge 0$, tức là $x \ge 9$.

Khi đó, bình phương hai vế của bất phương trình $\sqrt {A \cdot B} < \frac{2}{3}$:

$\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} < \frac{4}{9}$

$\frac{{9(\sqrt x - 3) - 4(\sqrt x + 2)}}{{9(\sqrt x + 2)}} < 0$

$9\sqrt x - 27 - 4\sqrt x - 8 < 0$

$5\sqrt x < 35$

$\sqrt x < 7$

$x < 49$

Kết hợp với điều kiện $x \ge 9$ và điều kiện xác định ban đầu, ta có:

Vậy $9 \le x < 49$.

Gọi giá niêm yết của một chiếc máy xay sinh tố là $x$ (đồng).

Gọi giá niêm yết của một chiếc nồi cơm điện là $y$ (đồng).

Điều kiện: $0 < x,\,\,y < 2\,\,200\,\,000$.

Vì tổng giá niêm yết của hai sản phẩm là $2\,\,200\,\,000$ đồng nên ta có phương trình:

$x + y = 2\,\,200\,\,000\quad (1)$

Thực tế, giá của từng sản phẩm sau khi giảm giá là:

Giá máy xay sinh tố sau khi giảm $30\%$ là: $x \cdot (100\% - 30\% ) = 0{,}7x$ (đồng).

Giá nồi cơm điện sau khi giảm $20\%$ là: $y \cdot (100\% - 20\% ) = 0{,}8y$ (đồng).

Vì tổng số tiền bạn An phải trả thực tế là 1 610 000 đồng nên ta có phương trình:

$0{,}7x + 0{,}8y = 1\,\,610\,\,000\quad (2)$

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 2\,\,200\,\,000}\\{0{,}7x + 0{,}8y = 1\,\,610\,\,000}\end{array}} \right.$

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{0{,}8x + 0{,}8y = 1\,\,760\,\,000}\\{0{,}7x + 0{,}8y = 1\,\,610\,\,000}\end{array}} \right.$

Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới theo vế, ta được:

$0{,}1x = 150\,\,000$ suy ra $x = 1\,\,500\,\,000$ (thoả mãn)

Thay $x = 1\,\,500\,\,000$ vào phương trình (1)

$1\,\,500\,\,000 + y = 2\,\,200\,\,000$ suy ra $y = 700\,\,000$ (thoả mãn)

Vậy, giá niêm yết của máy xay sinh tố là $1\,\,500\,\,000$ đồng; giá niêm yết của nồi cơm điện là $700\,\,000$ đồng.

Gọi số dãy ghế ban đầu trong phòng là $x$ (dãy).

Điều kiện: $x \in {\mathbb{N}^*}$ và $x > 5$.

Khi đó, số chỗ ngồi trên mỗi dãy ghế lúc đầu là: $\frac{{40}}{x}$ (chỗ).

Số dãy ghế lúc sau là: $x + 1$ (dãy).

Số chỗ ngồi trên mỗi dãy ghế lúc sau là: $\frac{{40}}{x} + 1$ (chỗ).

Vì tổng số chỗ ngồi lúc sau là 55 nên ta có phương trình:

$(x + 1)\left( {\frac{{40}}{x} + 1} \right) = 55$

$40 + x + \frac{{40}}{x} + 1 = 55$

$x + \frac{{40}}{x} - 14 = 0$

${x^2} - 14x + 40 = 0$

$\Delta ' = {( - 7)^2} - 1 \cdot 40 = 49 - 40 = 9 > 0$

$\sqrt {\Delta '} = 3$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = 7 + 3 = 10$ (thỏa mãn điều kiện $x > 5$)

${x_2} = 7 - 3 = 4$ (không thỏa mãn điều kiện $x > 5$)

Vậy lúc đầu trong phòng tư vấn có 10 dãy ghế.

Theo định lý Viète, ta có:

$S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = 2$

$P = {x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} = - 2\, \ne 0$$\Rightarrow {x_1} \ne 0,\,{x_2} \ne 0$.

Ta có $\frac{m}{{{x_1} + {x_2}}} + \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = 6$

$\frac{m}{{{x_1} + {x_2}}} + \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} = 6$

$\frac{m}{{{x_1} + {x_2}}} + \frac{{{{({x_1} + {x_2})}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = 6$

$\frac{m}{2} + \frac{{{2^2} - 2( - 2)}}{{ - 2}} = 6$

$\frac{m}{2} + \frac{{4 + 4}}{{ - 2}} = 6$

$\frac{m}{2} - 4 = 6$

$m = 20$

Vậy $m = 20$.

Một hộp sữa có dạng hình trụ với bán kính đáy $4{,}5\,\left( {cm} \right)$ và chiều cao hộp sữa gấp đôi bán kính đáy. (Lấy $\pi \approx 3{,}14$).

a) Tính diện tích xung quanh của hộp sữa.

- Chiều cao cảu hộp sữa hình trụ: $h = 2r = 2.4{,}5 = 9\,\left( {cm} \right)$

- Diện tích xung quanh của hộp sữa:

$${S_{xq}} = 2\pi rh = 2.3{,}14.4{,}5.9 = 254{,}34\,\left( {c{m^2}} \right)$$

Vậy diện tích xung quanh của hộp sữa là: $254{,}34\,\left( {c{m^2}} \right)$

b) Tính thể tích lượng sữa chứa bên trong hộp. Biết rằng để đảm bảo chất lượng khi đóng gói và vận chuyển, lượng sữa trong hộp chiếm $90\%$ thể tích hộp sữa. (Bỏ qua bề dày của hộp sữa).

- Thể tích của hộp sữa hình trụ:

$$V = \pi {r^2}h = 3{,}14.{\left( {4{,}5} \right)^2}.9 = 572{,}27\,\left( {c{m^3}} \right)$$

- Vì lượng sữa chiếm $90\%$ thể tích hộp, nên thể tích sữa là:

$$90\% .572{,}27 = 515{,}04\,\left( {c{m^3}} \right)$$

Vậy thể tích sữa trong hộp là: $515{,}04\,\left( {c{m^3}} \right)$.

a) Chứng minh $MAOB$ là tứ giác nội tiếp.

Xét $\Delta MAO$ vuông tại $A$ có cạnh huyền $MO$ nên $A$,$M$,$O$ thuộc đường tròn đường kính $MO$ Xét $\Delta MBO$vuông tại $B$ có cạnh huyền $MO$ nên $B$,$M$ ,$O$ thuộc đường tròn đường kính $MO$ Do đó $M$, $O$, $A$, $B$ thuộc đường tròn đường kính $MO$.

Vậy $MAOB$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $OM{\rm{ // }}BC$ và $I{M^2} = IB.ID$.

Chứng minh $OM{\rm{ // }}BC$

Xét $\left( O \right)$ có $MA$ và $MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau nên: $MA = MB$; $\widehat {AOM} = \widehat {BOM}$; $\widehat {AMO} = \widehat {BMO}$

Xét $\Delta OAB$ cân tại $A$ ($OA = OB = R$) có $OM$ là phân giác đồng thời là đường cao hay $OH \bot AB$. (3)

Xét $\left( O \right)$có đường kính $AC$ nên: $\widehat {ABC} = 90^\circ$ hay $BC \bot AB$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $OH{\rm{ // }}BC$ hay $OM{\rm{ // }}BC$.

Chứng minh: $I{M^2} = IB.ID$.

• Xét $\left( O \right)$ có: $\widehat {BDC} = \widehat {BAC}$ góc nội tiếp cùng chắn

Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {AMO} + \widehat {AOM} = 90^\circ \\\widehat {BAC} + \widehat {AOM} = 90^\circ \end{array} \right.$ nên $\widehat {AMO} = \widehat {BAC}$; $\widehat {MDI} = \widehat {BDC}$ (đối đỉnh); $\widehat {AMO} = \widehat {BMO}$

Suy ra: $\widehat {BMO} = \widehat {MDI}$

• Xét $\Delta IDM$ và $\Delta IMB$có: $\widehat {MIB}$ chung ; $\widehat {BMO} = \widehat {MDI}$

nên $ΔIDM∽ΔIMB$ (g.g)

Suy ra: $\frac{{ID}}{{IM}} = \frac{{IM}}{{IB}}$ hay $I{M^2} = IB.ID$ (đpcm) (5).

c) Gọi $L$ là giao điểm của $IK$ và $HC$. Chứng minh $IM = IH$ và $M,B,L$ thẳng hàng.

Chứng minh $IM = IH$

- Kẻ đường kính $BE$

Xét $\left( O \right)$có đường kính $AC$ nên: $\widehat {ADC} = 90^\circ$ hay $AD \bot MC$

Xét $\Delta MHA$vuông tại $H$ có cạnh huyền $MA$ nên $A$,$M$,$H$ thuộc đường tròn đường kính $MA$ Xét $\Delta MDA$vuông tại $D$ có cạnh huyền $MA$ nên $A$,$M$,$D$ thuộc đường tròn đường kính $MA$ Do đó $M$, $D$, $A$, $H$ thuộc đường tròn đường kính $MA$ hay $MDHA$ nội tiếp.

Suy ra $\widehat {ADH} = \widehat {AMO}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $\overset{\frown}{AH}$)

Vì $MAOB$ nội tiếp nên $\widehat {AMO} = \widehat {OBA}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $\overset{\frown}{AO}$)

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {ADE} = \widehat {ABE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $\overset{\frown}{AE}$)

Suy ra $\widehat {ADH} = \widehat {ADE}$ nên tia $DH$ trùng tia $DE$ hay $D$,$H$,$E$ thẳng hàng.

Xét $\left( O \right)$ có đường kính $BE$ nên: $\widehat {EDB} = 90^\circ$ hay $ED \bot IB$.

Xét $\Delta IHB$ vuông tại $H$có đường cao $HD$ nên: $I{H^2} = ID.IB$.

Lại có $I{M^2} = IB.ID$ (câu b) suy ra $IM = IH$.

Chứng minh: $M,B,L$ thẳng hàng.

Gọi $IK$ cắt $CB$ tại $F$.

Ta có $OM{\rm{ // }}BC$ suy ra: $\frac{{FC}}{{IM}} = \frac{{FK}}{{KI}}$;$\frac{{BF}}{{IH}} = \frac{{FK}}{{KI}}$ nên $\frac{{FC}}{{IM}} = \frac{{BF}}{{IH}}$.

Mà $IM = IH$ hay $FC = BF$suy ra $F$là trung điểm của $BC$.

Ta có $FC{\rm{ // }}HI$ suy ra: $\frac{{LC}}{{LH}} = \frac{{CF}}{{HI}} = \frac{{2.CF}}{{2.HI}} = \frac{{BC}}{{MH}}$ hay $\frac{{LC}}{{LH}} = \frac{{BC}}{{MH}}$.

Vì $OM{\rm{ // }}BC$ nên $\widehat {BCL} = \widehat {MHL}$.

Xét $\Delta LCB$ và $\Delta LHM$có: $\widehat {BCL} = \widehat {MHL}$; $\frac{{LC}}{{LH}} = \frac{{BC}}{{MH}}$.

Do đó $ΔLCB∽\ ΔLHM$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat {CLB} = \widehat {HLM}$ hay tia $LB$ trùng tia $LM$ nên $M,B,L$ thẳng hàng.

Gọi $x$ (xe) là số xe điện cùng loại cần sản xuất thêm để lợi nhuận trung bình của công ty là lớn nhất. Điều kiện: $x \in \mathbb{N}*$

Khi đó: Tổng số xe công ty sản xuất là $3000 + x$ (xe)

Lợi nhuận trung bình mỗi xe khi tăng sản lượng là $100 - 0{,}03x$ (triệu đồng)

Lợi nhuận trung bình của công ty khi tăng sản lượng là: $A = \left( {3000 + x} \right)\left( {100 - 0{,}03x} \right)$ (triệu đồng)

Ta có $A = \left( {3000 + x} \right)\left( {100 - 0{,}03x} \right)$$= - 0{,}03{x^2} + 10x + 300\,\,000$

$$= - 0{,}03\left( {{x^2} - 2.\frac{{500}}{3}x + \frac{{250\,\,000}}{9} - \frac{{250\,\,000}}{9}} \right) + 300\,\,000$$

$$= - 0{,}03{\left( {x - \frac{{500}}{3}} \right)^2} + \frac{{2500}}{3} + 300\,\,000$$

$$= - 0{,}03{\left( {x - \frac{{500}}{3}} \right)^2} + \frac{{902\,\,500}}{3}$$

Mà $- 0{,}03{\left( {x - \frac{{500}}{3}} \right)^2} \le 0$ với mọi giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện nên $A \le \frac{{902\,\,500}}{3}.$

Dấu xảy ra khi $x = \frac{{500}}{3} \approx 166{,}67$.

Mà $x \in \mathbb{N}*$ nên $x = 167$.

Vậy công ty nên sản xuất thêm 167 xe điện cùng loại để lợi nhuận trung bình của công ty là lớn nhất.