Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 3

Hướng dẫn giải

a) Ta có $M = \frac{{14}}{{{x^2} - 2x + 4}} = \frac{{14}}{{\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 3}} = \frac{{14}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 3}}.$

Với mọi $x,$ ta luôn có ${\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0$ nên ${\left( {x - 1} \right)^2} + 3 \ge 0$

Suy ra $\frac{{14}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 3}} \le \frac{{14}}{3},$ hay $M \le \frac{{14}}{3}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left( {x - 1} \right)^2} = 0,$ tức là $x = 1.$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $M$ là $\frac{{14}}{3}$ tại $x = 1.$

b) Ta có $N = \frac{{11}}{{12 - 4x - {x^2}}} = \frac{{11}}{{ - \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 16}} = \frac{{11}}{{ - {{\left( {x + 2} \right)}^2} + 16}}.$

Với mọi $x,$ ta luôn có ${\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0$ nên $- {\left( {x + 2} \right)^2} + 16 \le 16$

Suy ra $\frac{{11}}{{ - {{\left( {x + 2} \right)}^2} + 16}} \ge \frac{{11}}{{16}},$ hay $N \ge \frac{{11}}{{16}}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left( {x + 2} \right)^2} = 0,$ tức là $x = - 2.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $N$ là $\frac{{11}}{{16}}$ tại $x = - 2.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $A = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}$

$= \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^3} - 3xy\left( {x + y} \right) + {z^3} - 3xyz}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}$

$= \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^3} + {z^3} - 3xy\left( {x + y + z} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}$

$= \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^3} - 3\left( {x + y} \right)z\left( {x + y + z} \right) - 3xy\left( {x + y + z} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}$

$$= \frac{{\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - 3\left( {x + y} \right)z - 3xy} \right]}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}$$

$$= \frac{{\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2zx - 3xz - 3yz - 3xy} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}$$

$$= \frac{{\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}} = x + y + z.$$

b) Ta có: $B = \frac{{{x^{24}} + {x^{20}} + {x^{16}} + ... + {x^4} + 1}}{{{x^{26}} + {x^{24}} + {x^{22}} + ... + {x^2} + 1}},$ xét phân thức nghịch đảo của phân thức $B$ là:

$\frac{1}{B} = \frac{{{x^{26}} + {x^{24}} + {x^{22}} + ... + {x^2} + 1}}{{{x^{24}} + {x^{20}} + {x^{16}} + ... + {x^4} + 1}}$

$= \frac{{\left( {{x^{26}} + {x^{22}} + {x^{18}} + ... + {x^6} + {x^2}} \right) + \left( {{x^{24}} + {x^{20}} + ... + {x^4} + 1} \right)}}{{{x^{24}} + {x^{20}} + {x^{16}} + ... + {x^4} + 1}}$

$= \frac{{{x^2}\left( {{x^{24}} + {x^{20}} + ... + {x^4} + 1} \right) + \left( {{x^{24}} + {x^{20}} + ... + {x^4} + 1} \right)}}{{{x^{24}} + {x^{20}} + {x^{16}} + ... + {x^4} + 1}}$

$= \frac{{\left( {{x^{24}} + {x^{20}} + ... + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^{24}} + {x^{20}} + {x^{16}} + ... + {x^4} + 1}} = {x^2} + 1.$

Vậy $B = \frac{1}{{{x^2} + 1}}.$

Hướng dẫn giải

Ta có ${a_k} = \frac{{2k + 1}}{{{{\left( {{k^2} + k} \right)}^2}}} = \frac{{2k + 1}}{{{{\left[ {k\left( {k + 1} \right)} \right]}^2}}} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2} - {k^2}}}{{{k^2} \cdot {{\left( {k + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{k^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}.$

Do đó ${S_{2024}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_{2024}}$

$${S_{2024}} = \left( {\frac{1}{{{1^2}}} - \frac{1}{{{2^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{4^2}}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{{{2023}^2}}} - \frac{1}{{{{2024}^2}}}} \right)$$

$$= 1 - \frac{1}{{{{2024}^2}}} = \frac{{{{2024}^2} - 1}}{{{{2024}^2}}}.$$

Hướng dẫn giải

Do $x,\,\,y,\,\,z \ne 0$ nên từ giả thiết $x + y + z = xyz$ ta có: $\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}} = 1.$

Xét biểu thức: $P = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}$$= {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} - 2\left( {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}} \right)$

Khi đó $P = {3^2} - 2 \cdot 1 = 9 - 2 = 7.$

Vậy $P = 7.$

Hướng dẫn giải

Với $a \ne - b;\,\,b \ne - c;\,\,c \ne - a$ ta xét $\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} = 1.$ $\left( 1 \right)$

Do $a \ne - b;\,\,b \ne - c;\,\,c \ne - a$ nên $a + b + c \ne 0.$

Khi đó ta nhân hai vế của $\left( 1 \right)$ với $a + b + c$ thì được:

$\frac{{a\left( {a + b + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{b\left( {a + b + c} \right)}}{{c + a}} + \frac{{c\left( {a + b + c} \right)}}{{a + b}} = a + b + c$

Hay $\frac{{{a^2} + a\left( {b + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{{b^2} + b\left( {a + c} \right)}}{{c + a}} + \frac{{{c^2} + c\left( {a + b} \right)}}{{a + b}} = a + b + c$

Nên $\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + a + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + b + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} + c = a + b + c$

Suy ra $\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0.$

Vậy $\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0.$

Hướng dẫn giải

Với $x \ne --y;$ $y \ne --z;$ $z \ne --x,$ ta có:

$A = \frac{{{x^2} - yz}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}} + \frac{{{y^2} - xz}}{{\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)}} + \frac{{{z^2} - xy}}{{\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}$

$= \frac{{\left( {{x^2} - yz} \right)\left( {y + z} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} + \frac{{\left( {{y^2} - xz} \right)\left( {z + x} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} + \frac{{\left( {{z^2} - xy} \right)\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}$

$= \frac{{{x^2}y + {x^2}z - {y^2}z - y{z^2} + {y^2}z + x{y^2} - x{z^2} - {x^2}z + {z^2}x + {z^2}y - {x^2}y - x{y^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}$

$= \frac{0}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} = 0.$

Vậy $A = 0.$

Hướng dẫn giải

Với $a,\,\,b,\,\,c \ne 0,$ ta có

$B = \left( {ab + bc + ca} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) - abc\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)$

$= ab\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + bc\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + ca\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) - \left( {\frac{{abc}}{{{a^2}}} + \frac{{abc}}{{{b^2}}} + \frac{{abc}}{{{c^2}}}} \right)$

$= b + a + \frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} + c + b + c + \frac{{ca}}{b} + a - \frac{{bc}}{a} - \frac{{ac}}{b} - \frac{{ab}}{c}$

$= 2\left( {a + b + c} \right).$

Vậy $B = 2\left( {a + b + c} \right).$

Hướng dẫn giải

Điều kiện $a,\,\,b,\,\,c \ne 0.$

Với $a + b + c = 0,$ ta có $a + b = - c;\,\,b + c = - a;\,\,c + a = - b.$

Ta có $C = \left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right)\left( {\frac{c}{{a - b}} + \frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}}} \right)$

$= \underbrace {\left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right) \cdot \frac{c}{{a - b}}}_M + \underbrace {\left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right) \cdot \frac{a}{{b - c}}}_N + \underbrace {\left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right) \cdot \frac{b}{{c - a}}}_P$

Xét $M = \left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right) \cdot \frac{c}{{a - b}}$

$= 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \left( {\frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right)$$= 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \frac{{{b^2} - bc + ac - {a^2}}}{{ab}}$

$= 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \frac{{\left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right) - c\left( {b - a} \right)}}{{ab}}$$= 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \frac{{\left( {b - a} \right)\left( {b + a - c} \right)}}{{ab}}$

$= 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \frac{{ - \left( {a - b} \right)\left( { - c - c} \right)}}{{ab}}$$= 1 + \frac{{c \cdot 2c}}{{ab}} = 1 + \frac{{2{c^3}}}{{abc}}.$

Tương tự, $N = 1 + \frac{{2{a^3}}}{{abc}};\,\,P = 1 + \frac{{2{b^3}}}{{abc}}.$

Khi đó $C = M + N + P = 1 + \frac{{2{c^3}}}{{abc}} + 1 + \frac{{2{a^3}}}{{abc}} + 1 + \frac{{2{b^3}}}{{abc}} = 3 + \frac{{2\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)}}{{abc}}.$

Mặt khác, do $a + b + c = 0$ nên ta có ${\left( {a + b + c} \right)^3} = 0$

Suy ra ${\left( {a + b} \right)^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)c\left( {a + b + c} \right) = 0$

$${a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right) + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)c\left( {a + b + c} \right) = 0$$

$${a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {ab + ac + bc + {c^2}} \right) = 0$$

$${a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left[ {a\left( {b + c} \right) + c\left( {b + c} \right)} \right] = 0$$

$${a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right) = 0$$

$${a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( { - c} \right)\left( { - a} \right)\left( { - b} \right) = 0$$

$${a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0$$

$${a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc.$$

Vậy $C = 3 + \frac{{2 \cdot \left( {3abc} \right)}}{{abc}} = 3 + 6 = 9.$

Hướng dẫn giải

Ta có $\widehat {BEF} = \widehat {xBE} = 30^\circ$ (Vì $Bx\parallel AF$ và hai góc ở vị trí so le trong).

$\widehat {BFA} = \widehat {xBF} = 60^\circ$.

Xét tam giác vuông $ABF$ có $\widehat {FBA} = 30^\circ$ suy ra $AF = \frac{1}{2}BF.$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông $ABF$ có:

$$A{B^2} + A{F^2} = B{F^2}$$

$$A{B^2} + A{F^2} = {\left( {2AF} \right)^2}$$

$$A{B^2} = 3A{F^2}$$

$${\left( {AC + BC} \right)^2} = 3A{F^2}$$

$${\left( {42 + 1{,}65} \right)^2} = 3A{F^2}$$

$$43,{65^2} = 3A{F^2}$$

$$AF = \sqrt {\frac{{43,{{65}^2}}}{3}}$$

$$AF \approx 25{,}2\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}$$

Xét $\Delta ABF$ và $\Delta AEB$ có:

$$\widehat {ABF} = \widehat {AEB} = 30^\circ$$

$\widehat A$ chung

Do đó, (g.g).

Suy ra $\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{AE}}$, do đó $AE = \frac{{A{B^2}}}{{AF}} = \frac{{43,{{65}^2}}}{{25{,}2}} = 75{,}6{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Sau hai lần quan sát, tàu đã chạy được: $75{,}6 - 25{,}5 = 50{,}4\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ (nghìn đồng) là giá phòng khách sạn cần đặt ra ($x > 400$).

Thì giá chênh lệch sau khi tăng là: $x - 400$ (nghìn đồng).

Số phòng cho thuê giảm đi nếu giá $x$ nghìn đồng/ngày là: $\frac{{\left( {x - 400} \right) \cdot 2}}{{20}} = \frac{{x - 400}}{{10}}$ (phòng).

Số phòng cho thuê với giá $x$ nghìn đồng/ngày là: $50 - \frac{{x - 400}}{{10}} = 90 - \frac{x}{{10}}$ (phòng).

Tổng doanh thu trong 1 ngày là: $f\left( x \right) = x\left( {90 - \frac{x}{{10}}} \right) = \frac{{ - {x^2}}}{{10}} + 90x$.

Suy ra $f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 900x}}{{10}} = \frac{{ - {{\left( {x - 450} \right)}^2} - 202\,500}}{{10}} = \frac{{ - {{\left( {x - 450} \right)}^2}}}{{10}} - 20\,250 \le 20\,250$.

Dấu “=” xảy ra khi $x = 450$.

Vậy nếu cho thuê phòng với giá 450 nghìn đồng/ngày thì doanh thu trong một ngày lớn nhất đạt $20\,250\,000$ đồng.

Hướng dẫn giải

Đặt tên các đỉnh như hình vẽ. Đặt $CJ = x\,\,\left( {{\rm{m}},\,x > 0} \right)$.

Chứng minh được tam giác $AJC$ và $BKA$ là hai tam giác đồng dạng nên

$\frac{{CJ}}{{AK}} = \frac{{JA}}{{KB}}$ hay $\frac{x}{5} = \frac{{12}}{{KB}}$ do đó $KB = \frac{{60}}{x}$.

Diện tích của khu nuôi cá là $S\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {x + 5} \right)\left( {\frac{{60}}{x} + 12} \right)$

$$S\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {60 + 12x + \frac{{300}}{x} + 60} \right)$$

$S\left( x \right) = 6x + \frac{{150}}{x} + 60 = 6\left( {x + \frac{{25}}{x} + 10} \right) = 6\left( {\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{x} + 20} \right) = 6\left[ {\frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{x} + 20} \right] \ge 120$.

Dấu “=” xảy ra khi $x - 5 = 0$ nên $x = 5.$

Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng là $120\,\,{{\rm{m}}^2},$ đạt được khi $x = 5\;\left( {\rm{m}} \right)$.