Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 1

c) $\frac{{x + 5}}{{2x - 3}} - \frac{{2x - 7}}{{3 - 2x}} - \frac{{x + 4}}{{3 - 2x}} = \frac{{x + 5}}{{2x - 3}} + \frac{{2x - 7}}{{2x - 3}} + \frac{{x + 4}}{{2x - 3}}$

$$= \frac{{x + 5 + 2x - 7 + x + 4}}{{2x - 3}} = \frac{{4x + 2}}{{2x - 3}}.$$

d) $\frac{{4 - {x^2}}}{{x - 3}} + \frac{{2x - 2{x^2}}}{{3 - x}} + \frac{{5 - 4x}}{{x - 3}} = \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 3}} - \frac{{2x - 2{x^2}}}{{x - 3}} + \frac{{5 - 4x}}{{x - 3}}$

$$= \frac{{4 - {x^2} - 2x + 2{x^2} + 5 - 4x}}{{x - 3}} = \frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{x - 3}} = \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{x - 3}} = x - 3.$$

g) $\frac{x}{{x - 2y}} + \frac{x}{{x + 2y}} + \frac{{4xy}}{{4{y^2} - {x^2}}} = \frac{x}{{x - 2y}} + \frac{x}{{x + 2y}} - \frac{{4xy}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}$

$$= \frac{{x\left( {x + 2y} \right) + x\left( {x - 2y} \right) - 4xy}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}} = \frac{{{x^2} + 2xy + {x^2} - 2xy - 4xy}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}$$

$$= \frac{{2{x^2} - 4xy}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}} = \frac{{2x\left( {x - 2y} \right)}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}} = \frac{{2x}}{{x + 2y}}.$$

h) $\frac{1}{{x - y}} + \frac{{3xy}}{{{y^3} - {x^3}}} + \frac{{x - y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} = \frac{1}{{x - y}} - \frac{{3xy}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} + \frac{{x - y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}$

$$= \frac{{{x^2} + xy + {y^2} - 3xy + {{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} = \frac{{{x^2} - 2xy + {y^2} + {x^2} - 2xy + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}$$

$= \frac{{2\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}$$= \frac{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}$$= \frac{{2\left( {x - y} \right)}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}$.

i) $\left( {\frac{2}{{x + 2}} + \frac{2}{{x - 1}}} \right) \cdot \frac{{{x^2} - 4}}{{4{x^2} - 1}} = \frac{{2x - 2 + 2x + 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}$

$= \frac{{4x + 2}}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 2}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {2x + 1} \right)}}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 2}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}.$

j) $1 + \frac{{{x^3} - x}}{{{x^2} + 1}} \cdot \left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{1}{{1 - {x^2}}}} \right) = 1 + \frac{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} \cdot \left[ {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{1}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}} \right]$

$= 1 - \frac{{x\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{x^2} + 1}} \cdot \frac{{1 + x - 1}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} = 1 - \frac{{x\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{{x^2} + 1}} \cdot \frac{x}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}$

$= 1 - \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{1}{{{x^2} + 1}}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $9 - {x^2} = - \left( {{x^2} - 9} \right) = - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right).$

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ne 0\\x - 3 \ne 0\\9 - {x^2} \ne 0\end{array} \right.$ hay $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 3\\x \ne 3\\ - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) \ne 0\end{array} \right.$tức là $x \ne - 3$ và $x \ne 3.$

b) Với $x \ne - 3$ và $x \ne 3,$ ta có:

$A = \frac{3}{{x + 3}} + \frac{1}{{x - 3}} - \frac{{18}}{{9 - {x^2}}}$$= \frac{3}{{x + 3}} + \frac{1}{{x - 3}} + \frac{{18}}{{{x^2} - 9}}$

$= \frac{3}{{x + 3}} + \frac{1}{{x - 3}} + \frac{{18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$

$= \frac{{3 \cdot \left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{1 \cdot \left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$

$= \frac{{3x - 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$

$= \frac{{3x - 9 + x + 3 + 18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$$= \frac{{4x + 12}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$$= \frac{{4\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$$= \frac{4}{{x - 3}}.$

Vậy với $x \ne - 3$ và $x \ne 3,$ thì $A = \frac{4}{{x - 3}}.$

c) Với $x = - 1$ thoả mãn điều kiện xác định, thay vào biểu thức $A = \frac{4}{{x - 3}},$ ta được:

$A = \frac{4}{{ - 1 - 3}} = \frac{4}{{ - 4}} = - 1.$

Vậy $A = - 1$ khi $x = - 1.$

d) Với $x \ne - 3$ và $x \ne 3,$ thì $A = \frac{4}{{x - 3}}.$

Theo bài $A = - 4,$ suy ra $\frac{4}{{x - 3}} = - 4$

Do đó $x - 3 = - 1,$ nên $x = 2$ (thoả mãn điều kiện xác định).

Vậy với $x = 2$ thì $A = - 4.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $1 - {x^2} = - \left( {{x^2} - 1} \right) = - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).$

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\1 - {x^2} \ne 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\ - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0\end{array} \right.,$ tức là $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right..$

Vậy để $B$ xác định thì $x \ne 1$ và $x \ne - 1.$

b) Với $x \ne 1$ và $x \ne - 1$ ta có:

$B = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{4}{{1 - {x^2}}}$$= \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{4}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$= \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$= \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$= \frac{{4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$= \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$= \frac{4}{{x + 1}}$.

Vậy với $x \ne 1$ và $x \ne - 1$ thì $B = \frac{4}{{x + 1}}.$

c) Với $x = - \frac{1}{2}$ thoả mãn điều kiện xác định, thay vào biểu thức $B = \frac{4}{{x + 1}},$ ta được:

$B = \frac{4}{{ - \frac{1}{2} + 1}} = \frac{4}{{\frac{1}{2}}} = 8.$

Vậy với $x = - \frac{1}{2}$ thì $B = 8.$

d) Với $x \ne 1$ và $x \ne - 1$ thì $B = \frac{4}{{x + 1}}.$

Với $x$ là số nguyên, để $B$ nhận giá trị nguyên thì $x + 1$ là ước của $4.$

Mà Ư$\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}.$

Ta có bảng sau:

Do đó: $x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,1;\,\,3} \right\}.$

Mà $x \ne 1$ và $x \ne - 1$ nên $x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,3} \right\}.$

Vậy để $B$ nhận giá trị nguyên thì $x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,3} \right\}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ${x^2} + x - 6 = {x^2} - 2x + 3x - 6 = x\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right).$

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức $C$ là $\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ne 0\\{x^2} + x - 6 \ne 0\\2 - x \ne 0\end{array} \right.,$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x \ne - 3\\\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right.,$ tức là $x \ne - 3$ và $x \ne 2.$

Vậy biểu thức $C$ xác định khi $x \ne - 3$ và $x \ne 2.$

b) Với $x \ne - 3$ và $x \ne 2,$ ta có:

$C = \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{{x^2} + x - 6}} + \frac{1}{{2 - x}}$$= \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{1}{{x - 2}}$

$= \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) - 5 - 1\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}$$= \frac{{{x^2} - 4 - 5 - x - 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

$$= \frac{{{x^2} - x - 12}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{x - 4}}{{x - 2}}.$$

Vậy $x \ne - 3$ và $x \ne 2,$ thì $C = \frac{{x - 4}}{{x - 2}}.$

c) Ta có: ${x^2} - 9 = 0$

$$\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0$$

$x = 3$ (thoả mãn điều kiện) hoặc $x = - 3$ (không thỏa mãn điều kiện)

Thay $x = 3$ vào biểu thức $C = \frac{{x - 4}}{{x - 2}},$ ta được: $C = \frac{{3 - 4}}{{3 - 2}} = \frac{{ - 1}}{1} = - 1.$

Vậy $C = - 1$ khi ${x^2} - 9 = 0.$

d) Với $x \ne - 3$ và $x \ne 2,$ ta có: $C = \frac{{x - 4}}{{x - 2}} = \frac{{x - 2 - 2}}{{x - 2}} = 1 - \frac{2}{{x - 2}}.$

Với $x$ là số nguyên, để $C$ cũng có giá trị nguyên thì $x - 2$ là ước của $2.$

Mà Ư$\left( 2 \right) = \left\{ { - 1;\,\,1;\,\, - 2;\,\,2} \right\}.$

Ta có bảng sau:

Theo bài, $C$ có giá trị là số nguyên dương lớn nhất nên $C = 3.$

Vậy $x = 1$ thì $C$ đạt giá trị nguyên dương lớn nhất là $C = 3.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

⦁ ${x^2} - 2x = x\left( {x - 2} \right).$

⦁ $\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{{x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 4 - {x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}.$

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức $D$ là $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ne 0\\x - 2 \ne 0\\\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}} \ne 0\end{array} \right.,$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 2\\\frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} \ne 0\end{array} \right.,$ tức là $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right..$

Với $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ ta có:

$$D = \left( {\frac{{x - 4}}{{{x^2} - 2x}} + \frac{2}{{x - 2}}} \right):\left( {\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}}} \right)$$

$$= \left[ {\frac{{x - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}}} \right]:\frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}$$

$$= \frac{{\left( {x - 4} \right) + 2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{ - 4}} = \frac{{ - 3x + 4}}{4}.$$

Vậy với $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ thì $D = \frac{{ - 3x + 4}}{4}.$

b) Với $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ ta có: $D > 0$ khi $\frac{{ - 3x + 4}}{4} > 0,$ do đó $- 3x + 4 > 0$ vì $4 > 0.$

Suy ra $3x < 4,$ nên $x < \frac{4}{3}.$

Kết hợp với điều kiện $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ ta được $x < \frac{4}{3}$ và $x \ne 0.$

Vậy với $x < \frac{4}{3}$ và $x \ne 0$ thì $D > 0.$

c) Để $D$ là số nguyên âm lớn nhất thì $D = - 1,$ khi đó:

$\frac{{ - 3x + 4}}{4} = - 1$

$- 3x + 4 = - 4$

$- 3x = - 8$

$x = \frac{8}{3}$ (thoả mãn điều kiện).

Vậy với $x = \frac{8}{3}$ thì $D$ có giá trị là số nguyên âm lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức $M$ là $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.,$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.,$ tức là $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right..$

Với $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ ta có:

$$M = \frac{1}{{{x^2} - 2x}} \cdot \left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - 4} \right) + 1 = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - \frac{{4x}}{x}} \right) + 1$$

$$= \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{{x^2} + 4 - 4x}}{x} + 1 = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{x} + 1$$

$$= \frac{{x - 2}}{{{x^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}}.$$

Vậy với $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ thì $M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}}.$

b) Ta có $\left| {4 - x} \right| = 2$

Trường hợp 1. $4 - x = 2$

$x = 2$ (không thoả mãn).

Trường hợp 1. $4 - x = - 2$

$x = 6$ (thoả mãn).

Thay $x = 6$ vào biểu thức $M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}},$ ta được:

$$M = \frac{{{6^2} + 6 - 2}}{{{6^2}}} = \frac{{36 + 6 - 2}}{{36}} = \frac{{10}}{9}.$$

Vậy $M = \frac{{10}}{9}$ khi $\left| {4 - x} \right| = 2.$

c) Với $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ ta có $M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}} = 1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}.$

Đặt $\frac{1}{x} = t\,\,\,\left( {t \ne 0;\,\,t \ne \frac{1}{2}} \right),$ khi đó:

$$M = 1 + t - 2{t^2} = - 2\left( {{t^2} - \frac{1}{2}t - \frac{1}{2}} \right) = - 2\left( {{t^2} - 2 \cdot t \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{{16}}} \right)$$

$$= - 2\left[ {{{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)}^2} - \frac{9}{{16}}} \right] = \frac{9}{8} - 2{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2}.$$

Vì ${\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 0$ nên $- 2{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2} \le 0,$ do đó $P \le \frac{9}{8}.$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $t - \frac{1}{4} = 0,$ tức là $t = \frac{1}{4}$ (thoả mãn).

Với $t = \frac{1}{4},$ ta có $\frac{1}{x} = \frac{1}{4},$ suy ra $x = 4.$

Vậy giá trị lớn nhất của $M$ là $\frac{9}{8}$ khi $x = 4.$

a) $50x - 60 = 0$

$50x = 60$

$x = \frac{6}{5}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{6}{5}.$

b) $4 - 3x = 5$

$$3x = - 1$$

$x = - \frac{1}{3}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - \frac{1}{3}.$

c) $\frac{2}{3}x + 2\frac{1}{2} = 0$

$\frac{2}{3}x = - 2\frac{1}{2}$

$\frac{2}{3}x = - \frac{5}{2}$

$x = - \frac{5}{3}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - \frac{5}{3}.$

d) $15 - 4x = x - 5$

$x - 4x = - 5 - 15$

$- 5x = - 20$

$x = 4.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 4.$

e) $3\left( {x - 2} \right) - \left( {2x - 4} \right) = x + 1$

$$3x - 6 - 2x + 4 = x + 1$$

$$3x - 2x - x = 1 + 6 - 4$$

$0x = 3$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

f) $x - 3\left( {2 - x} \right) = 2x - 4$

$$x - 6 + 3x = 2x - 4$$

$$x + 3x - 2x = - 4 + 6$$

$$2x = 2$$

$$x = 1.$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1.$

g) $\frac{{7x - 1}}{6} = \frac{{16 - x}}{5} - 2x$

$\frac{{5\left( {7x - 1} \right)}}{{30}} = \frac{{6\left( {16 - x} \right)}}{{30}} - \frac{{2x \cdot 30}}{{30}}$

$35x - 5 = 96 - 6x - 60x$

$35x + 6x + 60x = 96 + 5$

$101x = 101$

$x = 1.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1.$

h) $\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{x + 7}}{4} = \frac{{5 - 3x}}{2}$

$\frac{{4\left( {2x - 1} \right)}}{{12}} - \frac{{3\left( {x + 7} \right)}}{{12}} = \frac{{6\left( {5 - 3x} \right)}}{{12}}$

$8x - 4 - 3x - 21 = 30 - 18x$

$8x - 3x + 18x = 30 + 4 + 21$

$23x = 55$

$x = \frac{{55}}{{23}}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{{55}}{{23}}.$

i) ${\left( {x + 3} \right)^2} - 13 = x\left( {x + 4} \right)$

$${x^2} + 6x + 9 - 13 = {x^2} + 4x$$

$${x^2} - {x^2} + 6x - 4x = 13 - 9$$

$$2x = 4$$

$x = 2.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 2.$

j) $\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) - 4 = {\left( {x - 2} \right)^2}$

${x^2} - 25 - 4 = {x^2} - 4x + 4$

${x^2} - {x^2} + 4x = 4 + 25 + 4$

$4x = 33$

$x = \frac{{33}}{4}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{{33}}{4}.$

k) $\frac{{x - 4}}{{2\,\,021}} + \frac{{x - 3}}{{2\,\,022}} = \frac{{x - 2}}{{2\,\,023}} + \frac{{x - 1}}{{2\,\,024}}$

$$\left( {\frac{{x - 4}}{{2\,\,021}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 3}}{{2\,\,022}} - 1} \right) = \left( {\frac{{x - 2}}{{2\,\,023}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 1}}{{2\,\,024}} - 1} \right)$$

$$\frac{{x - 4 - 2\,\,021}}{{2\,\,021}} + \frac{{x - 3 - 2\,\,022}}{{2\,\,022}} = \frac{{x - 2 - 2\,\,023}}{{2\,\,023}} + \frac{{x - 1 - 2\,\,024}}{{2\,\,024}}$$

$$\frac{{x - 2\,\,025}}{{2\,\,021}} + \frac{{x - 2\,\,025}}{{2\,\,022}} - \frac{{x - 2\,\,025}}{{2\,\,023}} - \frac{{x - 2\,\,025}}{{2\,\,024}} = 0$$

$$\left( {x - 2\,\,025} \right)\left( {\frac{1}{{2\,\,021}} + \frac{1}{{2\,\,022}} - \frac{1}{{2\,\,023}} - \frac{1}{{2\,\,024}}} \right) = 0$$

Suy ra $x - 2\,\,025 = 0$ (vì $\frac{1}{{2\,\,021}} + \frac{1}{{2\,\,022}} - \frac{1}{{2\,\,023}} - \frac{1}{{2\,\,024}} \ne 0)$

$x = 2\,\,025.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 2\,\,025.$

l) $x - \frac{{x + \frac{{x + 1}}{5}}}{3} = 1 - \frac{{\frac{{1 - 2x}}{3}}}{5}$

$x - \frac{{5x + x + 1}}{5} \cdot \frac{1}{3} = 1 - \frac{{1 - 2x}}{3} \cdot \frac{1}{5}$

$x - \frac{{6x + 1}}{{15}} = 1 - \frac{{1 - 2x}}{{15}}$

$$\frac{{15x - \left( {6x + 1} \right)}}{{15}} = \frac{{15 - \left( {1 - 2x} \right)}}{{15}}$$

$$15x - 6x - 1 = 15 - 1 + 2x$$

$$15x - 6x - 2x = 15 - 1 + 1$$

$$7x = 15$$

$x = \frac{{15}}{7}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{{15}}{7}.$