Đề cương ôn tập Giữa kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

Hướng dẫn giải

Gọi số người đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba lần lượt là $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c$ (người).

Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày nên $4a = 6b$ hay $\frac{a}{3} = \frac{b}{2}$.

Tổng số người của đội thứ nhất và đội thứ hai gấp năm lần số người của đội ba nên $a + b = 5c$.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a}{3} = \frac{b}{2} = \frac{{a + b}}{{3 + 2}} = \frac{{5c}}{5} = c$ hay $\frac{a}{3} = \frac{b}{2} = c$. Do đó $4a = 6b = 12c$.

Vậy đội thứ 3 hoàn thành công việc trong 12 ngày.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là thời gian hoàn thành công việc với năng suất lao động $100\%$.

$y$ là thời gian hoàn thành với năng suất $125\%$.

Vì công nhân không đổi nên thời gian hoàn thành tỉ lệ nghịch với năng suất lao động nên:

$x.100 = y.125$ hay $\frac{y}{x} = \frac{{100}}{{125}} = \frac{4}{5} = 80\%$.

Do đó, nếu số công nhân không thay đổi thì thời gian làm xong việc giảm đi $100\% - 80\% = 20\%$.

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức đại số rổng của $2a$ và $b$ là: $2a + b$.

b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp lần lượt là $n\,;\,\,n + 1\,;\,\,n + 2$.

Biểu thức đại số hiệu của ba số tự nhiên liên tiếp là:

$n + \left( {n + 1} \right) + \left( {n + 2} \right) = 3n + 3{\rm{ }}\,\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)$.

Hướng dẫn giải

Gọi $x{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$ là chiều rộng hình chữ nhật.

Khi đó, ta có:

Chiều dài hình chữ nhật là: $x - 2 + 3 = x + 1{\rm{ (cm)}}$

Diện tích hình chữ nhật là: $\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Thay $x = 1$ vào biểu thức ta có: $A = 2 \cdot 1 + 1 = 3.$

Vậy với $x = 1$ thì $A = 3$.

Hướng dẫn giải

Chiều rộng hình chữ nhật là $x{\rm{ (cm)}}$

Chiều dài hình chữ nhật là: $x + 5{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Diện tích hình chữ nhật là: $x\left( {x + 5} \right){\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$

Thay $x = 3$ vào biểu thức $x\left( {x + 5} \right)$, ta có:

$x\left( {x + 5} \right) = 3\left( {3 + 5} \right) = 24$.

Vậy diên tích hình chữ nhật là $24{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}$

a) Vì $\Delta ACD$ có $\widehat A$ tù nên $\widehat A$ là góc lớn nhất trong ba góc nên $CD$ là cạnh lớn nhất trong ba cạnh (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất).

Do đó $CD > CA$ (1)

Ta có: $\widehat {BDC} > \widehat A$ (do $\widehat {BDC}$ là góc ngoài của $\Delta ACD$)

Do đó $\widehat {BDC}$ tù.

Vì $\Delta BDC$ có $\widehat {BDC}$ tù nên $\widehat {BDC}$ là góc lớn nhất trong ba góc.

Nên đó $BC$ là cạnh lớn nhất trong ba cạnh (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất).

Do đó $CB > CD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $CB > CD > CA$.

b) Ta có: $\widehat {DEC} > \widehat A$ (do $\widehat {DEC}$ là góc ngoài của tam giác $AED$).

Suy ra $\widehat {DEC}$ tù.

Vì $\Delta DEC$ có $\widehat {DEC}$ tù nên $\widehat {DEC}$ là góc lớn nhất trong ba góc.

Nên $DC$ là cạnh lớn nhất trong ba cạnh (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất).

Do đó $DC > DE$.

Mà $CB > CD$ (theo câu a) nên $CB > DE$.

Do đó $DE < BC$.

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABM$ và $\Delta DCM$ có

$MA = MD$ (giả thiết)

$MB = MC$ (vì $M$ là trung điểm)

$\widehat {ABM} = \widehat {CMD}$ (đối đỉnh)

Do đó $\Delta ABM = \Delta DCM$ (c.g.c)

b) Từ câu a: $\Delta ABM = \Delta DCM$.

Suy ra $\widehat {BAM} = \widehat {MDC}$.

Nên $AB\,{\rm{//}}\,CD$ (hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau).

c) Xét bất đẳng thức trong tam giác $ACD$ có $AD < AC + CD$.

Từ $\Delta ABM = \Delta DCM$ suy ra $AB = CD$ (hai cạnh tương ứng)

Do đó $AD < AC + AB$ nên $\frac{{AD}}{2} < \frac{{AB + AC}}{2}$.

Vậy $AM < \frac{{AB + AC}}{2}$.

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$ có

$BE = BA$ (gt); $\widehat {ABD} = \widehat {EBD}$ (vì $BD$ là tia phân giác $\widehat {ABE}$); cạnh $BD$ chung.

Do đó $\Delta ABD = \Delta EBD$ (c.g.c).

Suy ra $\widehat {BAD} = \widehat {BED} = 90^\circ$ nên $DE \bot BC$.

b) Xét tam giác $ECD$ vuông tại $E$ nên cạnh huyền $DC > DE$.

Mà $DE = AD$ (vì $\Delta ABD = \Delta EBD$) nên $AD < DC.$

c) Ta có $BF = BC$ mà $BE = BA$ nên $AF = EC$.

Xét $\Delta ADF$ và $\Delta EDC$ có:

$AF = EC$ (cmt);

$\widehat {DAF} = \widehat {DEC} = 90^\circ$;

$AD = DE$ (vì $\Delta ABD = \Delta EBD$);

Do đó $\Delta ADF = \Delta EDC\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}$.

a) • Xét $\Delta AQE$ và $\Delta BCE$ có:

$AE = BE$ (vì $E$ là trung điểm của $AB$)

$\widehat {AEQ} = \widehat {BEP}$ (hai góc đối đỉnh)

$QE = CE$ (gt)

Do đó $\Delta AQE = \Delta BCE\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}$.

Suy ra $AQ = BC$ (hai cạnh tương ứng) (1)

• Xét $\Delta APF$ và $\Delta CBF$ có

$PF = BF$ (gt)

$\widehat {AFP} = \widehat {BFC}$ (hai góc đối đỉnh)

$AE = BE$ (vì $F$ là trung điểm của $AC$)

Do đó $\Delta APF = \Delta CBF\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}$.

Suy ra $AP = BC$ (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AP = AQ$.

b) Ta có $\widehat {QAB} = \widehat {ABC}\,;\,\,\widehat {PAC} = \widehat {ACB}$ (các cặp góc tương ứng của tam giác bằng nhau)

Xét tam giác $ABC$ có $\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat {QAB} + \widehat {BAC} + \widehat {PAC} = \widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ$.

Do đó, ba điểm $P,\,\,A\,,\,\,Q$ thẳng hàng.

c) Ta có $\widehat {QAB} = \widehat {ABC}\,;\,\,\widehat {PAC} = \widehat {ACB}$ (cmt)

Suy ra $BQ\,{\rm{//}}\,AC$ và $CP\,{\rm{//}}\,AB$ (các cặp góc so le trong).

d) Ba đường thẳng $AR\,,\,\,BP\,,\,\,CQ$ là ba đường trung tuyến của tam giác $QRP$ nên đồng quy.

Hướng dẫn giải

Gọi $B'$ là điểm sao cho $d$ là đường trung trực của $BB'$.

Do $d$ là đường trung trực của $BB'$ và $C$ thuộc $d$ nên $CB' = CB.$

Khi đó $AC + CB = AC + CB' \ge AB'$.

Khi đó, giá trị nhỏ nhất của $AC + CB' = AB'$.

Mà $AC + CB' = AB'$ khi $C$ nằm giữa $A$ và $B'$.

Vậy $C$ là điểm nằm giữa $A$ và $B'$ với $B'$ là điểm sao cho $d$ là đường trung trực của $BB'$.

a) Ta có $\left| {HA - HB} \right|$ ≥ 0 với điểm $H$ tùy ý và $\left| {HA - HB} \right|$ = 0.

Vị trí điểm $H$ mà $HA = HB$, tức là chỉ với các điểm $H$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Mặt khác, $H$ phải thuộc $d$ nên $H$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và đường trung trực của đoạn thẳng $AB$. Có giao điểm này vì $AB$ không vuông góc với $d$.

Tóm lại: Khi $H$ là giao điểm của $d$ và đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ thì $\left| {MA - MB} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất và bằng 0.

b)

Vì $AB$ không song song với $d$ nên $AB$ cắt $d$ tại $N$.

Với điểm $H$ bất kỳ thuộc $d$ mà $H$ không trùng với $N$ thì ta có tam giác $HAB$.

Theo hệ quả bất đẳng thức tam giác, ta có: $\left| {HA - HB} \right| < AB$.

Khi $H \equiv N$ thì $\left| {HA - HB} \right| = AB$.

Vậy $\left| {MA - MB} \right|$ lớn nhất là bằng $AB$, khi đó $M \equiv N$ là giao điểm của hai đường thẳng $d$ và $AB$.

Hướng dẫn giải

Nhận thấy $100 = 99 + 1 = x + 1$. Do đó, với $x = 99,$ thay $100 = x + 1$ ta được:

$P\left( x \right) = {x^{99}} - 100{x^{98}} + 100{x^{97}} - 100{x^{96}} + ... + 100x - 1$

$P\left( {99} \right) = {x^{99}} - \left( {x + 1} \right){x^{98}} + \left( {x + 1} \right){x^{97}} - \left( {x + 1} \right){x^{96}} + ... + \left( {x + 1} \right)x - 1$

$= {x^{99}} - {x^{99}} - {x^{98}} + {x^{98}} + {x^{97}} - {x^{97}} - {x^{96}} + ... + {x^2} + x - 1$

$= \left( {{x^{99}} - {x^{99}}} \right) + \left( { - {x^{98}} + {x^{98}}} \right) + \left( {{x^{97}} - {x^{97}}} \right) + \left( { - {x^{96}} + {x^{96}}} \right)... + \left( { - {x^2} + {x^2}} \right) + x - 1$

$= x - 1 = 99 - 1 = 98$.

Vậy $P\left( {99} \right) = 98$.

Hướng dẫn giải

Theo bài ra, ta có: $\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}$;

$\frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{b + c}}{{bc}} = \frac{{c + a}}{{ca}}$;

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$.

Suy ra $\frac{1}{a} = \frac{1}{c}$; $\frac{1}{b} = \frac{1}{a}$ hay $a = b = c$.

Với $a$, $b$, $c$ là ba số khác 0, thay $b = a$; $c = a$ vào biểu thức $M$, ta được:

$M = \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = \frac{{{a^2} + {a^2} + {a^2}}}{{{a^2} + {a^2} + {a^2}}} = \frac{{3{a^2}}}{{3{a^2}}} = 1$.

Vậy $M = 1$.

Hướng dẫn giải

Ta có

$\frac{{2a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + 2\;b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + 2\;d}}{{\;d}}$

$\frac{{2a + b + c + d}}{a} - 1 = \frac{{a + 2\;b + c + d}}{b} - 1 = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} - 1 = \frac{{a + b + c + 2\;d}}{{\;d}} - 1$

$\frac{{2a + b + c + d - a}}{a} = \frac{{a + 2\;b + c + d - b}}{b} = \frac{{a + b + 2c + d - c}}{c} = \frac{{a + b + c + 2\;d - d}}{{\;d}}$

$\frac{{a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + d}}{{\;d}}$ $\left( 1 \right)$

Vì $a + b + c + d \ne 0$ nên từ $\left( 1 \right)$ suy ra: $\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c} = \frac{1}{{\;d}}$ hay $a = b = c = d$.

Với $a$, $b$, $c$, $d$ khác 0, thay $b = a$; $c = a$ và $d = a$ vào biểu thức $M$ ta được:

$M = \frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{b + c}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{a + b}} + \frac{{d + a}}{{b + c}} = \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$.

Vậy $M = 4$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có

$\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{b + c - a}}{a} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{a + b - c + b + c - a + c + a - b}}{{c + a + b}} = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1$

Suy ra $a + b - c = c$ suy ra $a + b = 2c$;

$b + c - a = a$ suy ra $b + c = 2a$;

$c + a - b = b$ suy ra $c + a = 2b$.

$$B = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right) = \frac{{a + b}}{a} \cdot \frac{{c + a}}{c} \cdot \frac{{b + c}}{b} = \frac{{2c}}{a} \cdot \frac{{2b}}{c} \cdot \frac{{2a}}{b} = 8$$

Vậy $B = 8$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{{{x^2} - yz}}{a} = \frac{{{y^2} - zx}}{b} = \frac{{{z^2} - xy}}{c}$

Suy ra $\frac{a}{{{x^2} - yz}} = \frac{b}{{{y^2} - zx}} = \frac{c}{{{z^2} - xy}}$

Suy ra ${\left( {\frac{a}{{{x^2} - yz}}} \right)^2} = {\left( {\frac{b}{{{y^2} - zx}}} \right)^2} = {\left( {\frac{c}{{{z^2} - xy}}} \right)^2}$

Lại có $\frac{{{a^2}}}{{{{\left( {{x^2} - yz} \right)}^2}}} = \frac{{bc}}{{\left( {{y^2} - zx} \right)\left( {{z^2} - xy} \right)}} = \frac{{{a^2} - bc}}{{\left( {{x^4} - 2{x^2}yz + {y^2}{z^2}} \right) - \left( {{y^2}{z^2} - x{y^3} - x{z^3} + {x^2}yz} \right)}}$

$$= \frac{{{a^2} - bc}}{{{x^4} - 3{x^2}yz + x{y^3} + x{z^3}}} = \frac{{{a^2} - bc}}{{x\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}$$

Tương tự $\frac{{{b^2}}}{{{{\left( {{y^2} - zx} \right)}^2}}} = \frac{{{b^2} - ac}}{{y\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}$;

$$\frac{{{c^2}}}{{{{\left( {{z^2} - xy} \right)}^2}}} = \frac{{{c^2} - ab}}{{z\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}$$

Suy ra $\frac{{{a^2} - bc}}{{x\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}} = \frac{{{b^2} - ac}}{{y\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}} = \frac{{{c^2} - ab}}{{z\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}$

Do đó $\frac{{{a^2} - bc}}{x} = \frac{{{b^2} - ac}}{y} = \frac{{{c^2} - ab}}{z}$.

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba lần lượt là $a;\,\,b;\,\,c$ (học sinh) $\left( {a,\,b,\,c\, \in {\mathbb{N}^*},\,\,a,\,b,\,c < 52} \right)$.

Vì lớp 7A có 52 học sinh được chia làm ba tổ nên ta có: $a + b + c = 52$ (1).

Số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba sau khi thêm bớt lần lượt là $a - 1,\,\,b - 2,\,\,c + 3$ (học sinh).

Vì tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm vào 3 học sinh thì số học sinh của tổ một, tổ hai, tổ ba tỉ lệ nghịch với $3;\,\,4;\,\,2$ do đó, ta có $3\left( {a - 1} \right) = 4\left( {a - 2} \right) = 2\left( {c + 3} \right)$.

Suy ra $\frac{{a - 1}}{4} = \frac{{b - 2}}{3} = \frac{{c + 3}}{6}$ (2)

Từ (1) và (2) áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{a - 1}}{4} = \frac{{b - 2}}{3} = \frac{{c + 3}}{6} = \frac{{a - 1 + b - 2 + c + 3}}{{4 + 3 + 6}} = \frac{{52}}{{13}} = 4$

Suy ra $a - 1 = 16;\,\,b - 2 = 12;\,\,c + 3 = 24$.

Do đó, $a = 17;\,\,b = 14;\,\,c = 21$.

Vậy số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt là 17 học sinh; 14 học sinh và 21 học sinh.

Hướng dẫn giải

Đổi 4 giờ 15 phút = $\frac{{17}}{4}$ giờ, 3 giờ 45 phút = $\frac{{15}}{4}$ giờ.

Gọi $a,b$ lần lượt là vận tốc xe ô tô xuất phát từ $A$ và xuất phát từ $B$ $\left( {a,b > 0,{\rm{ km/h}}} \right)$.

Hai ô tô cùng khởi hành và đi ngược chiều nhau, đến điểm gặp nhau xe thứ hai đi được quãng đường dài hơn xe thứ nhất là $20{\rm{ km}}$ nên vị trí gặp nhau cách điểm chính giữa đoạn đường $AB$ là $10{\rm{ km}}$.

Gọi độ dài quãng đường $AB$ là $s{\rm{ }}\left( {s > 0,{\rm{km}}} \right)$.

Vì thời gian đi ngược chiều của hai xe là như nhau nên ta có:

$\frac{{\frac{1}{2}s - 10}}{a} = \frac{{\frac{1}{2}s + 10}}{b}$ suy ra $\frac{{2\left( {\frac{1}{2}s - 10} \right)}}{a} = \frac{{2\left( {\frac{1}{2}s + 10} \right)}}{b}$ hay $\frac{{s - 20}}{a} = \frac{{s + 20}}{b}$ (1)

Nếu cùng đi hết quãng đường $AB$ như nhau thì vận tốc và thời gian của mỗi xe là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, suy ra $\frac{{17}}{4}a = \frac{{15}}{4}b$ suy ra $17a = 15b$, do đó $\frac{a}{{15}} = \frac{b}{{17}}$ (2)

Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được: $\frac{{s - 20}}{{15}} = \frac{{s + 20}}{{17}}$

Suy ra $17\left( {s - 20} \right) = 15\left( {s + 20} \right)$

Hay $17s - 340 = 15s + 300$

$2s = 340 + 300$

$s = 320$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy quãng đường $AB$ dài $150{\rm{ km}}$.

Hướng dẫn giải

Gọi số gạo có trong mỗi kho lần lượt là $x,y,z{\rm{ }}\left( {x,y,z > 0} \right)$.

Vì gạo được chứa trong ba kho tỉ lệ với $1{,}3;{\rm{ 2}}\frac{1}{2};{\rm{ 1}}\frac{1}{5}$ nên ta có $\frac{x}{{1{,}3}} = \frac{y}{{2\frac{1}{2}}} = \frac{z}{{1\frac{1}{5}}}$ (1)

Gạo trong kho thứ hai nhiều hơn gạo trong kho thứ nhất $43{,}2$ tấn nên có $y - x = 43{,}2$ (2)

Từ (1) và (2) áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{{1{,}3}} = \frac{y}{{2\frac{1}{2}}} = \frac{z}{{1\frac{1}{5}}} = \frac{{y - x}}{{2\frac{1}{2} - 1{,}3}} = \frac{{43{,}2}}{{1{,}2}} = 36$

Do đó, $x = 1{,}3 \cdot 36 = 46{,}8$; $y = 2\frac{1}{2} \cdot 36 = 90$; $z = 1\frac{1}{5} \cdot 36 = 43{,}2$.

Vậy ban đầu trong kho thứ nhất có $46{,}8$ tấn gạo, kho thứ hai có 90 tấn gạo, kho thứ ba có $43{,}2$ tấn gạo.

Sau một tháng, kho thứ nhất đã tiêu thụ số tấn gạo là: $46{,}8 \cdot 40\% = 18{,}72$ (tấn)

Sau một tháng, kho thứ hai đã tiêu thụ số tấn gạo là: $90 \cdot 30\% = 27$ (tấn)

Sau một tháng, kho thứ ba đã tiêu thụ số tấn gạo là: $43{,}2 \cdot 25\% = 10{,}8$ (tấn).

Vậy sau một tháng, khối lượng gạo đã tiêu thụ là: $18{,}72 + 27 + 10{,}8 = 56{,}52$ (tấn gạo)

Hướng dẫn giải

Gọi tổng số vở ba lớp 7A, 7B, 7C nhận được là $x$ $\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Gọi số vở dự định chia cho ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là $a,b,c$.

Theo đề, ban đầu chia vở cho ba lớp theo tỉ lệ $7;6;5$ nên ta có:

$\frac{a}{7} = \frac{b}{6} = \frac{c}{5} = \frac{{a + b + c}}{{7 + 6 + 5}} = \frac{x}{{18}}$.

Suy ra $a = \frac{{7x}}{{18}};b = \frac{{6x}}{{18}};c = \frac{{5x}}{{18}}$ (1)

Gọi số vở chia cho ba lớp 7A, 7B, 7C sau khi thay đổi là $a',b',c'$. Ta có:

$\frac{{a'}}{6} = \frac{{b'}}{5} = \frac{{c'}}{4} = \frac{{a' + b' + c'}}{{6 + 5 + 4}} = \frac{x}{{15}}$

Suy ra $a' = \frac{{6x}}{{15}};b' = \frac{{5x}}{{15}};c' = \frac{{4x}}{{15}}$ (2)

So sánh (1) và (2) nhận thấy $a < a';b = b',c > c'$.

Do đó, lớp nhận được ít hơn 12 quyển là lớp 7C.

Suy tra $\frac{{5x}}{{18}} - \frac{{4x}}{{15}} = 12$ hay $\frac{x}{{90}} = 12$ nên $x = 1080$ (quyển).

Số vở lớp 7A nhận trong thực tế là: $a' = \frac{{6x}}{{15}} = \frac{{6.1080}}{{15}} = 432$ (quyển)

Số vở lớp 7B nhận trong thực tế là: $b' = \frac{{5x}}{{15}} = \frac{{5.1080}}{{15}} = 360$ (quyển)

Số vở lớp 7C nhận trong thực tế là: $c' = \frac{{4x}}{{15}} = \frac{{4.1080}}{{15}} = 288$ (quyển)

Vậy trong thực tế ba lớp 7A, 7B, 7C nhận được lần lượt 432 quyển, 360 quyển và 288 quyển.